Todos los blogs del mundo están alojados en Blogia.
El método de inducción matemática es una herramienta muy potente de demostración. Cuando tenemos una afirmación que atañe a un conjunto numerable de objetos, podemos demostrar que todos ellos cumplen una determinada propiedad demostrando dos cosas:
1.- Que la cumple el primer objeto.
2.- Que si la cumple el n-ésimo, entonces también la cumple el (n+1)-ésimo
La hipótesis de que la cumple el n-ésimo no hace falta demostrarla, y se llama hipótesis de inducción.
¿Porqué funciona este método para todas los objetos, quizás infinitos, del conjunto de estudio? Funciona por "efecto dominó": si conseguimos demostrar para n=1, entonces debe ser cierta para n=2 aplicando la segunda cláusula de la demostración, pero si se cumple para n=2, volviéndola a aplicar debe cumplirse para n=3...y esta situación es extrapolable a todo el conjunto, mientras este sea numerable.
Sin embargo, este método debe usarse con cuidado. Veamos una demostración falsa basada en el método de inducción:
Demostraremos la afirmación:
TODOS LOS BLOGS DEL MUNDO MUNDIAL ESTAN ALOJADOS EN BLOGIA
Conseguiremos demostrar este absurdo demostrando que si en un conjunto de blogs existe un blog alojado en blogia, entonces todos lo están. Una vez demostrado esto, aplicando tal afirmación al conjunto de todos los blogs del mundo, tenemos demostrada nuestra efirmación.
PRIMER PASO: n=1
Es evidente que en un conjunto de un solo blog se cumple que si existe un blog alojado en blogia, entonces todos lo están. Es incuestionable.
SEGUNDO PASO: SI SE CUMPLE PARA n, SE CUMPLE PARA n+1
Asumamos por hipótesis de inducción que se cumple para n: Si un conjunto de n blogs tiene uno alojado en Blogia, todoas están alojados en Blogia. Tomemos ahora un conjunto de (n+1) blogs. Quitamos un blog de forma que quede al menos un blog de Blogia en el conjunto. Como tenemos ahora n blogs, por hipótesis de inducción todos ellos están alojados en blogia. Sacamos un blog de este conjunto (que ovbiamente será de blogia), e introducimos el que habíamos casado antes. Volvemos a tener n blogs con al menos uno de Blogia, luego todos lo son. Ahora introducimos el que teníamos fuera, que sabemos es de Blogia, y tenemos el conjunto de (n+1) blogs, todos ellos alojados en Blogia.
Cumplidas las dos condiciones, tenemos demostrado que si un conjunto de blogs tiene al menos uno en blogia, todos lo están, luego el conjunto de todos los blogs del mundo mundial también cumple esta propiedad. Dado que al menos este blog (Tio Petros) está alojado en Blogia, concluimos que Todos los blogs del mundo están alojados en Blogia.
Puede el lector encontrar el fallo del razonamiento?
1.- Que la cumple el primer objeto.
2.- Que si la cumple el n-ésimo, entonces también la cumple el (n+1)-ésimo
La hipótesis de que la cumple el n-ésimo no hace falta demostrarla, y se llama hipótesis de inducción.
¿Porqué funciona este método para todas los objetos, quizás infinitos, del conjunto de estudio? Funciona por "efecto dominó": si conseguimos demostrar para n=1, entonces debe ser cierta para n=2 aplicando la segunda cláusula de la demostración, pero si se cumple para n=2, volviéndola a aplicar debe cumplirse para n=3...y esta situación es extrapolable a todo el conjunto, mientras este sea numerable.
Sin embargo, este método debe usarse con cuidado. Veamos una demostración falsa basada en el método de inducción:
Demostraremos la afirmación:
TODOS LOS BLOGS DEL MUNDO MUNDIAL ESTAN ALOJADOS EN BLOGIA
Conseguiremos demostrar este absurdo demostrando que si en un conjunto de blogs existe un blog alojado en blogia, entonces todos lo están. Una vez demostrado esto, aplicando tal afirmación al conjunto de todos los blogs del mundo, tenemos demostrada nuestra efirmación.
PRIMER PASO: n=1
Es evidente que en un conjunto de un solo blog se cumple que si existe un blog alojado en blogia, entonces todos lo están. Es incuestionable.
SEGUNDO PASO: SI SE CUMPLE PARA n, SE CUMPLE PARA n+1
Asumamos por hipótesis de inducción que se cumple para n: Si un conjunto de n blogs tiene uno alojado en Blogia, todoas están alojados en Blogia. Tomemos ahora un conjunto de (n+1) blogs. Quitamos un blog de forma que quede al menos un blog de Blogia en el conjunto. Como tenemos ahora n blogs, por hipótesis de inducción todos ellos están alojados en blogia. Sacamos un blog de este conjunto (que ovbiamente será de blogia), e introducimos el que habíamos casado antes. Volvemos a tener n blogs con al menos uno de Blogia, luego todos lo son. Ahora introducimos el que teníamos fuera, que sabemos es de Blogia, y tenemos el conjunto de (n+1) blogs, todos ellos alojados en Blogia.
Cumplidas las dos condiciones, tenemos demostrado que si un conjunto de blogs tiene al menos uno en blogia, todos lo están, luego el conjunto de todos los blogs del mundo mundial también cumple esta propiedad. Dado que al menos este blog (Tio Petros) está alojado en Blogia, concluimos que Todos los blogs del mundo están alojados en Blogia.
Puede el lector encontrar el fallo del razonamiento?
4 comentarios
Kunashiri -
Yomismo -
Paralitixmen -
En el primer caso es cierto que el "todos" agrupa a todos sus miembros porque sólo está él. Sin embargo en el resto de casos el todos ya no posee el valor "1" sino que va adquiriendo el valor "n" para el caso "n", y así sucesivamente, lo que es un error.
jose -