Raíces cuadrada y cúbica a mano
Tenemos a continuación una colaboración de lujo de Jorge Alonso , que nos explica el algoritmo razonado de la extracción de raíces cuadradas a mano, para proseguir con el de... ¡las raíces cúbicas!. Estas últimas vendrán en el post siguiente.
Tio Petros
1. INTRODUCCION
En la escuela me enseñaron a extraer raíces cuadradas manualmente. A mi padre, también le enseñaron a extraer las raíces cúbicas. A ninguno de los dos nos explicaron por qué funcionaban ambos algoritmos.
2. RAIZ CUADRADA
Vamos a ver cómo extraer la raíz cuadrada de un número, y lo haremos a través de unos ejemplos.
2.1. Raíz de 2911
Queremos hallar la raíz cuadrada de 2911. ¿Cómo podríamos hacer?
Para empezar, ¿cuántos dígitos tendrá su raíz? El número más pequeño con dos dígitos es 10, y su cuadrado es 100; 2911 es mayor que 100, por lo que tendrá, al menos, dos dígitos. El número más pequeño con tres dígitos es 100, y 1002 = 10000 > 2911. En conclusión, la raíz es de dos dígitos, que podemos escribir como 10a+b.
¿Es 2911 un cuadrado perfecto? No lo sabemos, pero podemos suponer que no lo será, con lo que podemos escribir:
2911=(10a + b)2 + r
Al final, si es un cuadrado perfecto, obtendremos r=0. ¿Cuántos dígitos tendrá r? Quizás uno, quizás dos; no podemos decirlo.
Expandimos el cuadrado de la expresión anterior:
2911=100a2 + 20ab + b2 + r
y vemos que 2911 tiene como sumando principal a 100a2, lo que nos lleva a pensar que
deduciendo que a=5.
Entonces, 2911-100a2 = 2911 - 2500 = 411.
El siguiente paso será hallar b. Hasta ahora tenemos que
411 = 20ab + b2 + r
y podemos estimar el valor de b dividiendo la igualdad anterior por 20a:
Así que:
Probamos este valor de b en
411 = 20ab + b2 + r = b(20a+b) + r
obteniendo
411 = 4(20·5+4)+ r = 416 + r
que nos lleva a que r tiene valor negativo, lo que no puede ser. Entonces b no puede valer 4; veamos con b=3:
411 = 3(20·5+3) + r = 309 + r
Lo hemos logrado! El valor de b es 3, y el de r es 411-309=102:
2911=(10a+b)2 + r = 532 + 102
Todo este procedimiento suele escribirse en una forma más compacta, conocida por todos:
2.2 Raíz de 291134
En base al conocimiento anterior, vamos a calcular la raíz cuadrada de 291134.
De forma análoga, deducimos que el número de cifras de la raíz es tres. Expresémoslo igual que antes, pero ahora con a representando un número de dos cifras:
291134=(10a + b)2 + r = 100a2 + 20ab + b2 + r
Al igual que antes vemos que 291134 tiene como sumando principal a 100a2, lo que nos lleva a:
es decir, a=53 como ya averiguamos en los pasos anteriores.
Para b, aplicamos justamente el mismo método que antes, lo que nos lleva a:
En general, como no conoceríamos la raíz cuadrada de 2911, haríamos el procedimiento al completo:
conclusión: 291134=5392 + 613
2.3 Raíz de 2911,34
Y ¿cuál es la raíz cuadrada de 2911,34? Podemos escribir
con lo que
2911,34=53,92 + 6,13
Esto no es ni más ni menos que aplicar el procedimiento conocido, teniendo presente la posición de la coma decimal:
2.4 Raíz de 29113
En este caso la raíz tiene tres dígitos, pero al buscar el valor de a nos encontramos con que
con lo que no nos sirve lo calculado hasta ahora. Hay que aplicar todo el procedimiento desde el principio:
2.5 En conclusión
Como se puede observar, el número de dígitos de la raíz es igual a la mitad del número de dígitos del radicando, redondeando hacia arriba. Para esto, dividimos el radicando en grupos de dos cifras, empezando por la derecha. Después, hallamos la raíz cuadrada del primer grupo (de la izquierda), que será el valor a. A partir de entonces se aplica siempre el mismo método de hallar b con cada nuevo grupo. Para los decimales de la raíz, se bajan grupos de dos ceros en el radicando.
Como hemos dicho al inicio, en el próximo post hablaremos del algoritmo de extracción de las raíces cúbicas a mano
Tio Petros
1. INTRODUCCION
En la escuela me enseñaron a extraer raíces cuadradas manualmente. A mi padre, también le enseñaron a extraer las raíces cúbicas. A ninguno de los dos nos explicaron por qué funcionaban ambos algoritmos.
2. RAIZ CUADRADA
Vamos a ver cómo extraer la raíz cuadrada de un número, y lo haremos a través de unos ejemplos.
2.1. Raíz de 2911
Queremos hallar la raíz cuadrada de 2911. ¿Cómo podríamos hacer?
Para empezar, ¿cuántos dígitos tendrá su raíz? El número más pequeño con dos dígitos es 10, y su cuadrado es 100; 2911 es mayor que 100, por lo que tendrá, al menos, dos dígitos. El número más pequeño con tres dígitos es 100, y 1002 = 10000 > 2911. En conclusión, la raíz es de dos dígitos, que podemos escribir como 10a+b.
¿Es 2911 un cuadrado perfecto? No lo sabemos, pero podemos suponer que no lo será, con lo que podemos escribir:
2911=(10a + b)2 + r
Al final, si es un cuadrado perfecto, obtendremos r=0. ¿Cuántos dígitos tendrá r? Quizás uno, quizás dos; no podemos decirlo.
Expandimos el cuadrado de la expresión anterior:
2911=100a2 + 20ab + b2 + r
y vemos que 2911 tiene como sumando principal a 100a2, lo que nos lleva a pensar que
deduciendo que a=5.
Entonces, 2911-100a2 = 2911 - 2500 = 411.
El siguiente paso será hallar b. Hasta ahora tenemos que
411 = 20ab + b2 + r
y podemos estimar el valor de b dividiendo la igualdad anterior por 20a:
Así que:
Probamos este valor de b en
411 = 20ab + b2 + r = b(20a+b) + r
obteniendo
411 = 4(20·5+4)+ r = 416 + r
que nos lleva a que r tiene valor negativo, lo que no puede ser. Entonces b no puede valer 4; veamos con b=3:
411 = 3(20·5+3) + r = 309 + r
Lo hemos logrado! El valor de b es 3, y el de r es 411-309=102:
2911=(10a+b)2 + r = 532 + 102
Todo este procedimiento suele escribirse en una forma más compacta, conocida por todos:
2.2 Raíz de 291134
En base al conocimiento anterior, vamos a calcular la raíz cuadrada de 291134.
De forma análoga, deducimos que el número de cifras de la raíz es tres. Expresémoslo igual que antes, pero ahora con a representando un número de dos cifras:
291134=(10a + b)2 + r = 100a2 + 20ab + b2 + r
Al igual que antes vemos que 291134 tiene como sumando principal a 100a2, lo que nos lleva a:
es decir, a=53 como ya averiguamos en los pasos anteriores.
Para b, aplicamos justamente el mismo método que antes, lo que nos lleva a:
En general, como no conoceríamos la raíz cuadrada de 2911, haríamos el procedimiento al completo:
conclusión: 291134=5392 + 613
2.3 Raíz de 2911,34
Y ¿cuál es la raíz cuadrada de 2911,34? Podemos escribir
con lo que
2911,34=53,92 + 6,13
Esto no es ni más ni menos que aplicar el procedimiento conocido, teniendo presente la posición de la coma decimal:
2.4 Raíz de 29113
En este caso la raíz tiene tres dígitos, pero al buscar el valor de a nos encontramos con que
con lo que no nos sirve lo calculado hasta ahora. Hay que aplicar todo el procedimiento desde el principio:
2.5 En conclusión
Como se puede observar, el número de dígitos de la raíz es igual a la mitad del número de dígitos del radicando, redondeando hacia arriba. Para esto, dividimos el radicando en grupos de dos cifras, empezando por la derecha. Después, hallamos la raíz cuadrada del primer grupo (de la izquierda), que será el valor a. A partir de entonces se aplica siempre el mismo método de hallar b con cada nuevo grupo. Para los decimales de la raíz, se bajan grupos de dos ceros en el radicando.
Como hemos dicho al inicio, en el próximo post hablaremos del algoritmo de extracción de las raíces cúbicas a mano
83 comentarios
Silvy Seibert -
El comentarista curioso -
yaneth -
jha! -
(kmo se saka el 2do numde arriba despues del punto je!
@l3J0 -
gracias por su atencion.
saludos
............................................................................................................................................................................................................
hjnj -
hermes -
tiene razón coco
es mejor el método de resolución
maye -
nose -
andre_sito q confusion mano -
JUAN CARLOS TORRES SILVA -
wilson -
KREN -
y como se hace una ecuacion???
iTzEl EsTeFaNiA -
Pancha -
Ah y ademas haganlo sin calculadora ¡¡¡por favor!!!
carmen -
mateo -
Fredy -
aslo mas con
dibujos no se
invntate algo
pepa -
francis -
lauura -
yoo no le enteendii
solo tenia una peqeeñaa dudaa
porque lo abnia olvidado pero
esooo namas no !!
NO SIRVE
solo pedia algo simplee
noo tee enreedeesss wey
marcos -
erika -
Anonimo -
Diego -
Y la raiz cúbica de un número negativo seguro que es negativa, para empezar. ademas es la raiz cúbica del número positivo cambiada de signo. esto los podeis recordar si pensais en las raices como exponentes del tipo 1/n y separais en factores.
En cuanto a la expliación, no es demasiado rigurosa y hay cosas muy cogidas por los pelos, pero para una aproximacion no es mal algoritmo.
Catalina -
Y la verdad que yo si le entendí muy bien a las explicaciones, apliqué razonamiento y leerlo más de 1 vez, además de seguir los pasos ir resolviendolo a medida que lees... que creo que es lo que necesitan los chav@s qe te dicn que no entienden, tmb hay que ayudarnos u___u.
Te felicito, muchas gracias, gracias a ti descubrí un nuevo metodo... a mi no me lo enseñaron, pero con éste están muy sencillas las raices xD....
Muy interesante tu página :D
amilkar -
lara -
porfavor respondeme a lo k te dicho
lara -
mira profesor o lo que seas ,yo estoy intentando captarlo y na de na sabes?
te doy mi msn y me escribes un correo respondiendome a la siguiente pregunta:
¿me puedes dar clases por msn?
estoy desesperda y necesito ayuda con las mates porque sino me arriesgo a repetir y no es agradable por la diferencia de edad.
por favor te ruego me respondas lo antes posible,porque sino no se que hacer.
Gracias y respondeme porfaaaaaaaaa.
bs ,lara.
lola -
carlikos -
si puedes explicate mejor¡¡
NOELIA -
ayudadme k lo tengo k hacer pa mañana
anonimo -
mauricio -
queria preguntar si puede dar clases por msn
respondame en un mensaje
mauri_losleones@hotmail.com
muchas grasias por su atencion ..
adios
mauricio -
226576
por favor
jose brian -
67254
40032
624538
874620
Carlos Villalba. -
sofia -
gracias
Guillermo -
SALUDOS
anónomo -
please
thank you
nicole -
ezee -
xfavor
graxiassss
kattia ruiz -
shido que bien con esta pagina hommy
estos que les pasa
elllos webones viendo tu explicacion y todavia se quejan
chessjejej
sige con la pag me encanto n_n
ciao
Ernesto David -
Bollo -
Lili@n@ -
gissela romero -
gabriela -
guille -
gracias otra vez. sigue asi
Mario -
Por cierto, a la gente que no les gusten las matemáticas, que se aburran, o que no entiendan lo que este señor expone, no seais tan ignorantes de postear mierda para quitarle prestigio. Un saludo.
miriam -
claudia -
Anónimo -
anónimo -
Anónimo -
katherine -
Gracias,
por ayudarme con la tarea de matemáticas
michelin259 -
pedazo -
gonzalo -
Patrick -
coco -
Jesús Méndez -
Luz -
andrea -
silvia -
0,04
alejandro -
daniel -
calculadora -
Alguien -
hesler -
almamena_99 -
gauss brusss -
cesar -
pepa -
julio -
Panzer_SS(KNITO) -
jesus -
Anónimo -
Luis -
samu -
muchas gracias Jorge Alonso !
omalaled -
Saludos
Luis -
omalaled -
No entiendo por qué en su día no me explicaron esta razón. Creo que hubiera sido mucho más pedagógico.
Espero con ansias el de las raíces cúbicas.
Saludos.