El Teorema de Pick
En matemáticas nada es tan inocente como parece, y muchas veces, tras un tema aparentemente anodino se esconden conceptos sutiles y bellos. Uno de los propósitos de este blog es precisamente encontrarlos.A primera vista parece que una cuadrícula pocas sorpresas puede ofrecernos. Y la realidad es bien distinta. Vamos a echar un vistazo a un teorema poco conocido que se llama el Teorema de Pick , relativo a polígonos inscritos en una malla cuadriculada. Comenzaremos delimitando al ámbito de aplicación del teorema.
Diremos, dada una malla cuadriculada que tesela un plano, que un polígono P es un polígono de Pick relativo a dicha malla cuando todos los vértices del mismo son puntos de la malla.
El teorema de Pick afirma que:
Dado un polígono de Pick, su área vale A= I+B/2-1 , donde I es el número de puntos de la malla internos al polígono y B es el número de puntos de la malla pertenecientes a la frontera del mismo .
En la figura que encabeza este post, el área del polígono valdrá A=31 + 15/2-1= 375
No me negarán que es sorprendente que pueda hallarse la superficie de un polígono, convexo o no, sencillo o complicado, de una manera tan simple: contando puntos.
Detrás de este simple fórmula hay bastante más de lo que parece. Empezaremos a desentrañarlos desde el propio concepto de área, que no es sino la versión bidimensional de un concepto más general: el de medida.
Una medida es una función de conjunto. Esto es radicalmente diferente a una función numérica habitual, en la que a cada valor de la variable independiente le corresponde un valor de la función. Una función de conjunto está definida en el conjunto de partes P(X) de un conjunto X , de forma que a ciertos subconjuntos Y de X les corresponde ciertos valores numéricos. Por complejos motivos que ahora no vamos a mencionar, resulta que en el caso más general no es posible aplicar una medida a todos los subconjuntos de un conjunto X dado, sino tan sólo a algunos de ellos. Todos estos forman una estructura denominada sigma-álgebra. Dado un conjunto X y una sigma-álgebra > de X , una medida sobre X es una función de conjunto m que satisface:
1.- la medida del conjunto vacío es cero.
2.- la medida de una unión finita o al menos numerable de subconjuntos disjuntos de X es igual a la suma de las medidas de los subconjuntos.
La propiedad 1 es evidente: la nada debe medir cero para cualquier medida que merezca tal nombre. La propiedad 2 se denomina aditividad numerable y es bien fácil de entender: ni se gana ni se pierde área juntando o separando trozos.
Pues bien, dado un polígono de Pick P, es fácil comprobar que v(P)= = I+B/2-1 es efectivamente una medida. La primera propiedad es trivial, porque el conjunto vacío NO es un polígono de Pick, luego no tiene aplicación la fórmula, y se le asigna por decreto el cero a tal conjunto.
La aditividad numerable es algo más laboriosa, pero no mucho. De ello nos encargaremos en el próximo post.
Cuando esto esté realizado, habremos demostrado que la fórmula del teorema de Pick es efectivamente una medida, y faltará ver que dicha medida se corresponde con el concepto habitual de área que conocemos todos.
Mientras tanto, que pasen un feliz fin de semana.
22 comentarios
Supra TK Society -
monserrat -
aritosteles -
z = 0
y el plano : x−2y−3z+1 =
0, se pide
a) Ecuaci´on del plano que pasa por A, es paralelo a r y perpendicular a .
b) Ecuaci´on de la recta que pasa por A, corta a r y es paralela a .
eratostenes -
x − 1
1
=
y − 1
−1
=
z − 1
1
a) Hallar las coordenadas del punto de la recta r coplanario con A B y C.
b) Hallar las coordenadas del punto D de r de modo que el tetraedro de v´ertices A,
B, C y D tenga un volumen de 1 u3
nayara -
fabrizio botter -
yo estaba necesitando esta informacion
hausdorff_mat -
yxmin -
erminda cortes -
dos proponentes presentan tengo dos proponentes que presentan ofertas econòmicas, proponente (a) y proponente (b), para participar en la adjudicaciòn de dos items xxxx, el proponente (a) presenta un valor de $100 en el item 1 y en el item 2 $100, el proponente (b) no presneta valor en el item 1 pero presnta valor en el item 2 de $180
tu como entiendes la ausencia de valor en el item 1
como cero o como vacio
tommy -
salu2
tommy -
Anónimo -
Nacho -
TioPetros -
http://blogia.com/tiopetrus/index.php?idarticulo=200309261
mewt -
Un par de detallitos:
Asumo que donde dices poligono en realidad se sobreentiende polígono simplemente convexo (sin agujeros, para los legos en grupos fundamentales ;-)
Para Carlos, hay un contraejemplo muy sencillo, un pentágono regular (ninguna malla puede tener simetría pentagonal, como se demuestra en crsitalografía, así que un pentagono regular no puede ser un polígono de Pick para ninguna malla) de hecho, dada una malla cualquiera, una condición necesaria para que un polígono sea de Pick es que su área sea racionalmente equivalente al área del dominio fundamental de la malla... Tio Petros, ya que te pones con el teorema de Pick, tienes al alcance de la mano la excusa perfecta para ponerte a hablar de simetrías de mosaicos en el plano! :-P
Carlos -
Carlos -
_______A_______
____________ C
3C _________
___________C
B
Dado que los vértices deben estar en la malla, ésta tiene que tener las cuadrículas (que son todas iguales, por ser malla) de altura C ,imaginemos que A=K*C , si K no es entero, entonces la malla debería tener de largo A (suponiendo que sus cuadrículas no son cuadrados, sino rectángulos; con cuadrados es aún más fácil) , y si hacemos que B=Q*A , con Q no entero, entonces ya no hay malla que contenga todos los vértices. Si K fuera entero, por ser Q no entero, pasaría lo mismo.
Tiruró -
Gracias.
Carlos -
TioPetros -
juan -
y la verdad, me molesta. parecen interesantes...
de todas formas, tio petros, en el parrafo en negrita tienes una errata: pones una I donde debria haber una B, o eso creo.
no nos tardes mucho en demostrar la aditividad numerable, que me da pereza hacer las cuentas a mi...
Nico -