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Tio Petros

El Teorema de Pick

El Teorema de Pick En matemáticas nada es tan inocente como parece, y muchas veces, tras un tema aparentemente anodino se esconden conceptos sutiles y bellos. Uno de los propósitos de este blog es precisamente encontrarlos.

A primera vista parece que una cuadrícula pocas sorpresas puede ofrecernos. Y la realidad es bien distinta. Vamos a echar un vistazo a un teorema poco conocido que se llama el Teorema de Pick , relativo a polígonos inscritos en una malla cuadriculada. Comenzaremos delimitando al ámbito de aplicación del teorema.

Diremos, dada una malla cuadriculada que tesela un plano, que un polígono P es un polígono de Pick relativo a dicha malla cuando todos los vértices del mismo son puntos de la malla.

El teorema de Pick afirma que:

Dado un polígono de Pick, su área vale A= I+B/2-1 , donde I es el número de puntos de la malla internos al polígono y B es el número de puntos de la malla pertenecientes a la frontera del mismo .

En la figura que encabeza este post, el área del polígono valdrá A=31 + 15/2-1= 37’5

No me negarán que es sorprendente que pueda hallarse la superficie de un polígono, convexo o no, sencillo o complicado, de una manera tan simple: contando puntos.

Detrás de este simple fórmula hay bastante más de lo que parece. Empezaremos a desentrañarlos desde el propio concepto de área, que no es sino la versión bidimensional de un concepto más general: el de medida.

Una medida es una función de conjunto. Esto es radicalmente diferente a una función numérica habitual, en la que a cada valor de la variable independiente le corresponde un valor de la función. Una función de conjunto está definida en el conjunto de partes P(X) de un conjunto X , de forma que a ciertos subconjuntos Y de X les corresponde ciertos valores numéricos. Por complejos motivos que ahora no vamos a mencionar, resulta que en el caso más general no es posible aplicar una medida a todos los subconjuntos de un conjunto X dado, sino tan sólo a algunos de ellos. Todos estos forman una estructura denominada sigma-álgebra. Dado un conjunto X y una sigma-álgebra > de X , una medida sobre X es una función de conjunto m que satisface:

1.- la medida del conjunto vacío es cero.
2.- la medida de una unión finita o al menos numerable de subconjuntos disjuntos de X es igual a la suma de las medidas de los subconjuntos.

La propiedad 1 es evidente: la nada debe medir cero para cualquier medida que merezca tal nombre. La propiedad 2 se denomina aditividad numerable y es bien fácil de entender: ni se gana ni se pierde área juntando o separando trozos.

Pues bien, dado un polígono de Pick P, es fácil comprobar que v(P)= = I+B/2-1 es efectivamente una medida. La primera propiedad es trivial, porque el conjunto vacío NO es un polígono de Pick, luego no tiene aplicación la fórmula, y se le asigna por decreto el cero a tal conjunto.

La aditividad numerable es algo más laboriosa, pero no mucho. De ello nos encargaremos en el próximo post.

Cuando esto esté realizado, habremos demostrado que la fórmula del teorema de Pick es efectivamente una medida, y faltará ver que dicha medida se corresponde con el concepto habitual de área que conocemos todos.

Mientras tanto, que pasen un feliz fin de semana.
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22 comentarios

Supra TK Society -

You know that they say "practice makes perfect". Pretend that you are rich and you will become rich. Do you think so?

monserrat -

no la lei bien pero una pregunta es la segunda propiedad de los triangulos es q tengo que exponer y no la he encontrado.

aritosteles -

Dados el punto A(1,−2,−3), la recta r :  x + y + 1 = 0
z = 0
y el plano  : x−2y−3z+1 =
0, se pide
a) Ecuaci´on del plano que pasa por A, es paralelo a r y perpendicular a .
b) Ecuaci´on de la recta que pasa por A, corta a r y es paralela a .

eratostenes -

Tio petros: 1. Dados los puntos A(−1, 1, 1), B(1,−3,−1) y C(1, 0, 3), y la recta de ecuaci´on r :
x − 1
1
=
y − 1
−1
=
z − 1
1
a) Hallar las coordenadas del punto de la recta r coplanario con A B y C.
b) Hallar las coordenadas del punto D de r de modo que el tetraedro de v´ertices A,
B, C y D tenga un volumen de 1 u3

nayara -

yo tambien estoy interesada en informacion sobre los 17 grupos cristalográficos, pero no encuentro información. En el link que has dado anteriormente no aparece ninguna página porque está fuera de uso. ¿Podríais darme algún sitio donde pueda encontrar esta información?

fabrizio botter -

muy buena pag. gracias
yo estaba necesitando esta informacion

hausdorff_mat -

,>>>>>>>>

yxmin -

la verdad no esta nada entendible su teorema, deverian dar un concepto mas concreto

erminda cortes -

deseo saber la definiciòn entre el vacio y el cero (0), caso concreto:
dos proponentes presentan tengo dos proponentes que presentan ofertas econòmicas, proponente (a) y proponente (b), para participar en la adjudicaciòn de dos items xxxx, el proponente (a) presenta un valor de $100 en el item 1 y en el item 2 $100, el proponente (b) no presneta valor en el item 1 pero presnta valor en el item 2 de $180
tu como entiendes la ausencia de valor en el item 1
como cero o como vacio

tommy -

gaby t.k.m.m.m.m.
salu2

tommy -

gaby t.k.m.m.m.m.

Anónimo -

Nacho -

WAU!

TioPetros -

Gracias a todos por vuestra atención. La pregunta de Tiruró queda perfectamente respondida con la intervención de Newt: No es cierto que para todo polígono existe una malla que lo hace polígono de Pick de dicha malla. Por cierto, Newt: de los mosaicos y simetrías en el plano hablamos hace ya bastante tiempo, refieriéndonos a la clasificación de los grupos cristalográficos planos y a los mosaicos de la Alhambra. Lo tienes aquí:

http://blogia.com/tiopetrus/index.php?idarticulo=200309261

mewt -

Me encanta este teorema desde que lei (hará unos 7 u 8 años) el artículo de Ian Stewart en I&C hablando del problema de los manzanos, la verja y las cabras ;-)
Un par de detallitos:
Asumo que donde dices poligono en realidad se sobreentiende polígono simplemente convexo (sin agujeros, para los legos en grupos fundamentales ;-)
Para Carlos, hay un contraejemplo muy sencillo, un pentágono regular (ninguna malla puede tener simetría pentagonal, como se demuestra en crsitalografía, así que un pentagono regular no puede ser un polígono de Pick para ninguna malla) de hecho, dada una malla cualquiera, una condición necesaria para que un polígono sea de Pick es que su área sea racionalmente equivalente al área del dominio fundamental de la malla... Tio Petros, ya que te pones con el teorema de Pick, tienes al alcance de la mano la excusa perfecta para ponerte a hablar de simetrías de mosaicos en el plano! :-P

Carlos -

Vaya, el dibujo no ha salido y no se entiende nada... que conste que era un contraejemplo de que no todos los polígonos son de Pick para mallas con su cuadrícula no necesariamente cuadrada. Si tiene que ser necesariamente cuadrada, es mucho más fácil, cualquier rectángulo con longitud = K* Altura , con un K no entero.

Carlos -

No todos los polígonos son de Pick:
_______A_______
____________ C
3C _________
___________C
B
Dado que los vértices deben estar en la malla, ésta tiene que tener las cuadrículas (que son todas iguales, por ser malla) de altura C ,imaginemos que A=K*C , si K no es entero, entonces la malla debería tener de largo A (suponiendo que sus cuadrículas no son cuadrados, sino rectángulos; con cuadrados es aún más fácil) , y si hacemos que B=Q*A , con Q no entero, entonces ya no hay malla que contenga todos los vértices. Si K fuera entero, por ser Q no entero, pasaría lo mismo.

Tiruró -

Me parece muy interesante este teorema y ahora mismo me asalta una cuestión. ¿Para cualquier polígono existe una malla tal que si ponemos el polígono en ella sea Polígono de Pick? Si es así... ¿existe algún algoritmo que permita hallar esta malla?

Gracias.

Carlos -

Si tuvieran que hablarnos en la carrera de todos los teoremas , resultados, curiosidades y subáreas de la matemática, probablemente duraría toda una vida ...

TioPetros -

Por supuesto que teneis razón. Queda correjida la errata. Seguiremos la semana que viene.

juan -

es increible: llevo (muchos) años en la carrera y nadie me habia hablado de los poligonos de pick.
y la verdad, me molesta. parecen interesantes...

de todas formas, tio petros, en el parrafo en negrita tienes una errata: pones una I donde debria haber una B, o eso creo.

no nos tardes mucho en demostrar la aditividad numerable, que me da pereza hacer las cuentas a mi...

Nico -

Cuando cursé una asignatura de estadística en la carrera, el profesor se sacó las sigma-álgebras de la manga sin mayores explicaciones... Por fin entiendo lo que son. Gracias Tío Petros, estoy impaciente por ver los siguientes artículos. Por cierto, una pequeña puntualización: creo que en la definición del teorema de Pick se te ha ido una I por una B.
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