El teorema de Jordan
Un teorema es una frase que afirma algo, seguida de la demostración. Este teorema es extraordinario, único diría yo, por tres motivos: Primero: el enunciado es tan simple que lo entiende cualquiera, independientemente de su formación. Segundo: la afirmación que hace parece tan obvia que todo el mundo se asombra de que eso sea un teorema que necesite demostración. Tercero: la demostración es endiabladamente difícil. Si se hace por métodos elementales es larguísima y tediosa en extremo; se puede hacer una demostración mucho más corta, pero para ello hay que invocar conocimientos muy sofisticados de topología, que es una rama de la matemática de lo que hablaremos otro día.Una curva de Jordan toda curva plana que resulte de deformar una circunferencia con la condición adicional de que no se corte a sí misma. Técnicamente diríamos que una curva J es de Jordan si es homeomorfa a S1. Esto es menos impresionante de lo que parece a primera vista. Merece la pena explicarlo. Para empezar S1 es la nomenclatura de la circunferencia, S2 de la esfera, etc. Y tras la palabra homeomorfismo se esconde la noción de transformación continua con inversa continua. Por ejemplo: si deformamos una circunferencia S1 y la convertimos en una estrella de ocho puntas, cada punto de la primera se corresponde con un punto de la segunda, no hemos roto la línea en la deformación, y podemos regresar a la situación inicial volviendo a colocar cada punto de la estrella en donde estaba antes de comenzar a deformar. Esto no ocurre si transformamos S1 en un ocho, porque hay un punto de intersección de la curva consigo mismo y por lo tanto dos puntos de S1 van a parar al mismo punto del ocho. Si queremos invertir el proceso, al punto de intersección del ocho le debiéramos hacer corresponder dos puntos de S1, lo que tenemos prohibido por definición.
Ya sabemos lo que es una curva de Jordan, y sabemos lo que es un homeomorfismo. Pasamos a enunciar el teorema:
Sea J una curva de Jordan sobre un plano P. P-J se divide en dos partes, una interior a la curva y otra exterior, ambas conexas. La interior es acotada, la exterior no lo es y la frontera común de ambas es precisamente J.
C. Jordan conjeturó y creyó haber demostrado el teorema que llevaría su nombre, pero dicha demostración era incorrecta y no pudo vencer esta dificultad. Murió sin haberlo demostrado rigurosamente. La primera demostración satisfactoria del Teorema de Jordan debe esperar hasta 1.905, y es debida a O. Veblen (Theory of Plane Curves in Nonmetrical Análisis Situs, Trans.AMER.Soc. 6 (1905),83-98).
Más tarde surgieron generalizaciones para n dimensiones con E.J.Brower, que fueron demostradas por J.W.Alexander en 1922.
El amplio desarrollo de las teorías topológicas de homotopía y homología trajeron de la mano potentes herramientas para demostrar este teorema en un par de renglones, pero perdiendo el sentido de inmediatez geométrica, y por último, existe una demostración clara, elemental y no muy larga efectuada por R. Maehara utilizando unos resultado previos tales como el Teorema del punto fijo de Brouwer.
Está disponible en la red esta demostración en la revista Divulgaciones matemáticas, v.6 n=1 (1998),pp 43-60. Se trata de un artículo de dificultad media muy claramente escrito que recoge perfectamente el sabor de esta parte de la matemática.
Podeis ver dicho artículo aquí.
17 comentarios
Marisa Elena -
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anonimo -
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