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Tio Petros

El teorema de Jordan

El teorema de Jordan Un teorema es una frase que afirma algo, seguida de la demostración. Este teorema es extraordinario, único diría yo, por tres motivos: Primero: el enunciado es tan simple que lo entiende cualquiera, independientemente de su formación. Segundo: la afirmación que hace parece tan obvia que todo el mundo se asombra de que “eso” sea un teorema que necesite demostración. Tercero: la demostración es endiabladamente difícil. Si se hace por métodos elementales es larguísima y tediosa en extremo; se puede hacer una demostración mucho más corta, pero para ello hay que invocar conocimientos muy sofisticados de topología, que es una rama de la matemática de lo que hablaremos otro día.

Una curva de Jordan toda curva plana que resulte de deformar una circunferencia con la condición adicional de que no se corte a sí misma. Técnicamente diríamos que una curva J es de Jordan si es homeomorfa a S1. Esto es menos impresionante de lo que parece a primera vista. Merece la pena explicarlo. Para empezar S1 es la nomenclatura de la circunferencia, S2 de la esfera, etc. Y tras la palabra homeomorfismo se esconde la noción de transformación continua con inversa continua. Por ejemplo: si deformamos una circunferencia S1 y la convertimos en una estrella de ocho puntas, cada punto de la primera se corresponde con un punto de la segunda, no hemos roto la línea en la deformación, y podemos regresar a la situación inicial volviendo a colocar cada punto de la estrella en donde estaba antes de comenzar a deformar. Esto no ocurre si transformamos S1 en un ocho, porque hay un punto de intersección de la curva consigo mismo y por lo tanto dos puntos de S1 “van a parar” al mismo punto del ocho. Si queremos invertir el proceso, al punto de intersección del ocho le debiéramos hacer corresponder dos puntos de S1, lo que tenemos prohibido por definición.

Ya sabemos lo que es una curva de Jordan, y sabemos lo que es un homeomorfismo. Pasamos a enunciar el teorema:

Sea J una curva de Jordan sobre un plano P. P-J se divide en dos partes, una interior a la curva y otra exterior, ambas conexas. La interior es acotada, la exterior no lo es y la frontera común de ambas es precisamente J.

C. Jordan conjeturó y creyó haber demostrado el teorema que llevaría su nombre, pero dicha demostración era incorrecta y no pudo vencer esta dificultad. Murió sin haberlo demostrado rigurosamente. La primera demostración satisfactoria del Teorema de Jordan debe esperar hasta 1.905, y es debida a O. Veblen (Theory of Plane Curves in Nonmetrical Análisis Situs, Trans.AMER.Soc. 6 (1905),83-98).
Más tarde surgieron generalizaciones para n dimensiones con E.J.Brower, que fueron demostradas por J.W.Alexander en 1922.
El amplio desarrollo de las teorías topológicas de homotopía y homología trajeron de la mano potentes herramientas para demostrar este teorema en un par de renglones, pero perdiendo el sentido de inmediatez geométrica, y por último, existe una demostración clara, elemental y no muy larga efectuada por R. Maehara utilizando unos resultado previos tales como el Teorema del punto fijo de Brouwer.
Está disponible en la red esta demostración en la revista Divulgaciones matemáticas, v.6 n=1 (1998),pp 43-60. Se trata de un artículo de dificultad media muy claramente escrito que recoge perfectamente el sabor de esta parte de la matemática.
Podeis ver dicho artículo aquí.
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17 comentarios

Marisa Elena -

Hola Petrus, te dejo este video donde podés acceder al Teorema de Thales, interpretado por Le Luthiers y trabalado por alumnos de una escuela de diseño. Muy interesante.
http://www.youtube.com/watch?v=czzj2C4wdxY&eurl=http://nivelmedio.blogspot.com/search?updated-max=2007-06-06T12%3A26%3A00-07%3A00&max-results=7

ghhg -

y la vale esta celosa

anonimo -

@hotmail.com

anonimo -

la chinchi se comio al niko :O :x

yo otra vez -

oli
la panshiska kiere un helado :O

bgskehjhegfheg -

el finde pasao la shikola declaro su amor al piero :O

yo :B -

la talda cagaa al sebaa :O xd con el emilio

osho osho osho -

nini y gato
nini y gato
nini y gato nini y gato

anonimo -

si po demas osho :)oliloliolioliol

Lala -

¿El estratega francés tiene un teorema? ¿Por qué no es conocido ni figura en los libros ?

JOrge -

la tercera unidad de algebra III se llama teorema de jordan y no entendi naa

johanna -

bueno me parece que esta muy la base de los teoremas pero o hay que exagerar porque algunos no entineden

^DiAmOnD^ -

Hay muchas demostraciones del Teorema de la curva de Jordan. A mí en la carrera me dieron varias, pero la que recuerdo ahora es una que trataba de transversalidad: se definía transversalidad y se definían dos conjuntos en función de esa transversalidad. Después se demostraba que eran disjuntos, conexos, uno acotado y el otro no...vamos, que eran las dos componentes conexas del plano menos la curva de Jordan. La verdad es que fue interesante, pero algo compleja. Si algún día tengo un rato igual intento escribirla

jose -

Bueno, y yo que creía que el teorema de Bolzano era fácil de ver...

jim -

cual es la teria de las curva de jordan para el teorema de cochy

alvarovivassuarez -

la curva de jordan la uso en mi teoria "de los numeros todicos" y la defino como aquella curva en la que si existe un punto "p" f (funcion) de t(tiempo) en un momento dado entonces el punto inmediato anterior o posterior en funcion del espaciotiempo no existen , ademas es una curva continua ,implica una trayectoria y cumple con las premisas de una curva de jordan . mucho me agradaria si se interesara en mi teoria pues creo que revoluciona ciertos conceptos acerca de la estructura del campo real (lo de la curva de jordan es solo un pequeño aspecto de la teoria ) sabré agradecer sus inestimables comentarios

yo -

la verdad es que yo estaba buscando informacion sobre teoremas en la materia de las matematicas y me encuentro con fotos de gente calva, no lo puedo creer, bueno tengan la seguridad de que no volvere a buscar informacion aqui...
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