El Teorema de Pick (y 3)
Para intentar encontrar la fórmula de Pick correspondiente a polígonos con agujeros hay que tener presente que un agujero en un polígono de Pick es, individualmente considerado, otro polígono de Pick (esta vez sin agujeros!!!)
Llamemos P al polígono original, con IP puntos internos y BP puntos frontera. Llamaremos H a un hueco simple en el mismo, siendo IH el número de puntos que caen en el hueco; y BH el número de puntos de la frontera del hueco. Llamemos PH al polígono P con el hueco H.
Tanto P como H cumplen el teorema de Pick tal y como lo hemos visto en los dos posts anteriores, para las areas respectivas del polígono completo y del hueco podemos escribir:
AP = IP + BP/2 1 (ecuación 1)
AH = IH + BH/2 1 (ecuación 2)
En cambio, para el área del polígono con el hueco tan sólo sabemos que:
APH = AP - AH (ecuación 3)
Asimismo, sabemos que la cantidad de puntos internos de P se ha visto decrementada en tantas unidades como puntos tiene el hueco, ya sean internos o frontera:
IPH = IP - IH - BH (ecuación 4)
Y la cantidad de puntos frontera del polígono se va incrementada al ser agujereado con los puntos frontera del propio agujero:
BPH = BP + BH (ecuación 5)
Ahora no tenemos más que desarrollar la ecuación 3 :
APH = AP - AH =
[IP + BP/2 1] [IH + BH/2 1] =
[IP - IH - BH ] + [BP/2 + BH/2] =
IPH + BPH/2
Vemos que este resultado es parecido al que conocíamos para el caso de ausencia de agujero, salvo por el hecho de que ahora no hace falta restar una unidad. Dicho de otra manera: el área del polígono agujereado es una unidad más grande de lo que cabría esperar de la extrapolación de la fórmula de Pick para polígonos sin agujeros. ¿Es que no importa el tamaño o la forma del hueco?
Claro que importa, pero esa importancia queda perfectamente recogida en el cómputo de los nuevos puntos interiores y frontera del polígono, una vez que ha sido agujereado.
Si ahora partiéramos de un polígono de un agujero y añadiéramos otro más, veríamos incrementarse en otra unidad el resultado. El cçálculo no es sino una repetición de lo hecho más arriba, de manera que no lo haremos. Así pues tan sólo importa el número de agujeros, pudiendo reformular el teorema de la siguiente forma:
Dado un polígono de Pick con n agujeros, el área del mismo viene dada por la expresión:
A = I + B/2 - X
Donde X es la característica de Euler del polígono. Esto es: X=1-n, siendo n el número de agujeros.
Con esto queda ligado el Teorema de Pick a uno de los capítulos más bellos de la topología, y con esto terminamos el ciclo. Espero que les haya gustado.
Llamemos P al polígono original, con IP puntos internos y BP puntos frontera. Llamaremos H a un hueco simple en el mismo, siendo IH el número de puntos que caen en el hueco; y BH el número de puntos de la frontera del hueco. Llamemos PH al polígono P con el hueco H.
Tanto P como H cumplen el teorema de Pick tal y como lo hemos visto en los dos posts anteriores, para las areas respectivas del polígono completo y del hueco podemos escribir:
AP = IP + BP/2 1 (ecuación 1)
AH = IH + BH/2 1 (ecuación 2)
En cambio, para el área del polígono con el hueco tan sólo sabemos que:
APH = AP - AH (ecuación 3)
Asimismo, sabemos que la cantidad de puntos internos de P se ha visto decrementada en tantas unidades como puntos tiene el hueco, ya sean internos o frontera:
IPH = IP - IH - BH (ecuación 4)
Y la cantidad de puntos frontera del polígono se va incrementada al ser agujereado con los puntos frontera del propio agujero:
BPH = BP + BH (ecuación 5)
Ahora no tenemos más que desarrollar la ecuación 3 :
APH = AP - AH =
[IP + BP/2 1] [IH + BH/2 1] =
[IP - IH - BH ] + [BP/2 + BH/2] =
IPH + BPH/2
Vemos que este resultado es parecido al que conocíamos para el caso de ausencia de agujero, salvo por el hecho de que ahora no hace falta restar una unidad. Dicho de otra manera: el área del polígono agujereado es una unidad más grande de lo que cabría esperar de la extrapolación de la fórmula de Pick para polígonos sin agujeros. ¿Es que no importa el tamaño o la forma del hueco?
Claro que importa, pero esa importancia queda perfectamente recogida en el cómputo de los nuevos puntos interiores y frontera del polígono, una vez que ha sido agujereado.
Si ahora partiéramos de un polígono de un agujero y añadiéramos otro más, veríamos incrementarse en otra unidad el resultado. El cçálculo no es sino una repetición de lo hecho más arriba, de manera que no lo haremos. Así pues tan sólo importa el número de agujeros, pudiendo reformular el teorema de la siguiente forma:
Dado un polígono de Pick con n agujeros, el área del mismo viene dada por la expresión:
A = I + B/2 - X
Donde X es la característica de Euler del polígono. Esto es: X=1-n, siendo n el número de agujeros.
Con esto queda ligado el Teorema de Pick a uno de los capítulos más bellos de la topología, y con esto terminamos el ciclo. Espero que les haya gustado.
6 comentarios
Palimp -
Ten en cuenta que, aunque no comente, siempre estoy por aquí. Lo que pasa que cuando hay alguna 'serie' tengo que encotrar un momento tranquilo para leerla con calma; si no, no me entero.
Un abrazo, y venid pronto por aquí (también hay románico, y hasta ruinas romanas).
TioPetros -
Respecto al link de mathworld, puedes ver que lo tengo enlazado en la sección de links como Enciclopedia matemática
Es lo más completo que conozco en la web.
Un abrazo.
Palimp -
http://mathworld.wolfram.com/topics/AnimatedGIFs.html
Animaciones en Gif de conceptos matemáticos. Aquí uno de un grupo homeotópico:
http://mathworld.wolfram.com/HomotopyGroup.html
Palimp -
A mí también me ha gustado. Gracias y un abrazo.
P.D. ¿Para cuando una visita por Barcelona? Se podría hacer una quedada escéptica..
Vailima -
¿tan pronto?
¿No hay un poquito más?
ECR -