Una gran unificación: Félix Klein
Si preguntamos a un buen número de personas qué creen que es la geometría, muchos (creo que la mayor parte) mencionarán cuestiones relacionadas con medidas de figuras.Si preguntamos qué es la topología a alguien que sabe del asunto. perfectamente podría contestarnos que la topología es lo que queda de la geometría cuando suprimimos toda noción de medida.Es evidente que la cosa chirría por algún lado. Vayamos a encontrarnos con Klein y se nos aclararán varias cosas.
El gran Félix Klein fué un unificador impresionante; fué un matemático alemán, que tras haber demostrado que las geometrías métricas, euclídeas o no euclídeas, constituyen casos particulares de la geometría proyectiva, en 1872 presentó una notable clasificación de la geometría, el "programa de Erlangen", que puso fin a la escisión entre geometría pura y geometría analítica.
Para Klein, una geometría es un par (X,G), donde X es un conjunto cualquiera y G es un grupo algebráico. Esta definición es ciertamente la pérdida de la inocencia matemática. Para empezar, el conjunto puede ser cualquier cosa: un conjunto de puntos, como el espacio tridimensional físico, o un plano ideal, o un espacio de funciones infinitodimensional.
¿Y el grupo?
El grupo es otro conjunto de cosas con una operación entre dichas cosas que cumple ciertas "buenas propiedades". La relación entre el conjunto X y el grupo G es que el grupo actua sobre el conjunto.
Esto quiere decir que cada elemento del grupo es una acción ejercida sobre el conjunto. Pensemos en rotaciones, traslaciones, ampliaciones, reducciones, estiramientos...
Pues bien; Klein insistió en que el objeto de la geometría era la búsqueda y el análisis de las propiedades del conjunto X que permanecían invariantes por acción del grupo. Cuanto más "intensa" era la acción del grupo, más íntima tenía que ser una propiedad para que se preservara invariante por la acción del grupo.
Pongamos un ejemplo: tenemos una circunferencia de 1 metro con centro en el punto (0,0). Podemos pensar que la propiedad de tener el centro en dicho punto es importante, pero si "actuamos" sobre la circunferencia desplazándola, el centro está en otro punto. Lo mismo podemos decir de la medida del radio: sometida a una ampliación varía completamente. Sin embargo, el cociente entre la longitud de la circunferencia y su radio permanece invariante por rotaciones, traslaciones y ampliaciones o reducciones. Este "ser invariante" nos da un índice de importancia de la propiedad.
Por último, si sometemos a estiramientos, torceduras y torturas matemáticas similares ; siempre operaciones continuas, sin rasgar la circunferencia; e inversibles (homeomorfismos), obtendremos cosas muy diferentes de una circunferencia. Obtendremos de hecho una curva de Jordan si la figura es plana, y algo un poco más complejo si no lo es. Aún en ese caso existen ciertas propiedades que permanecen invariables. Esa terquedad al cambio de estas propiedades escondidas es el objeto de estudio de la topología.
Concluimos pues que la topología es el estudio de las propiedades invariantes por homeomorfismos lo cual, si se ha seguido con un poco de atención lo anterior, está más claro que lo que se afirmaba al inicio del artículo.
¿Cuáles pueden ser esas escondidas propiedades topológicas que permanecen invariables por mucho que estiremos, encojamos, y retorzamos una figura geométrica?
De eso hablaremos en otra ocasión.
9 comentarios
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