Los primos de Mersenne y los números perfectos.
Es bastante habitual encontrarse con reseñas científicas en las que se explica que se acaba de encontrar el mayor número primo conocido. Se suele tratar de un número expresable como una enorme potencia de dos menos una unidad. ¿Es que todos los primos grandes son de esta forma?Vamos a comentar por encima la fascinante historia de los primos de Mersenne y su asociación con los números perfectos.
Un primo de Mersenne es un número primo expresable de la forma arriba citada. Ni todos los primos tienen esa forma ni todos los números de esta forma son primos. ¿Qué importancia tienen entonces son primos de Mersenne? Pues matemáticamente son los protagonistas de una apasionante historia que se mezcla con la de los llamados números perfectos . Pasamos a reseñarla.
Un número se denomina perfecto cuando es igual a la suma de sus divisores propios (exceptuando al propio número, que también es divisor de sí mismo). Así, el 28 es perfecto, pues sus divisores propios son 1,2,4,7 y 14; y suman precisamente 28
Después del 28, no aparece ningún número perfecto hasta el 496, el cuarto número perfecto es el 8.128, el quinto perfecto es 33.550.336. Se observa que cada número perfecto es mucho mayor que el anterior.El problema de encontrar estos números fue propuesto por Mersenne en una carta a Descartes.
La conexión entre los primos de Mersenne y los números perfectos era conocida desde muy antiguo: Euclides descubrió la fórmula para obtener números perfectos. Se trata de la fórmula que encabeza este artículo. Así pues, el número encerrado entre paréntesis es un primo de Mersenne. Encontrado uno de estos, tenemos irremisiblemente un nuevo número perfecto.
Euclides demostró que todos los números proporcionados por esta fórmula eran perfectos si el paréntesis era un primo de Mersenne, pero no se sabía si había números perfectos de otra índole. Dicho de otra manera: no se sabía si podían existir números perfectos que obedecieran a otras fórmulas. Esta situación cambió con Euler , que demostró que un número par es perfecto si Y SOLO SI se puede expresar de esta forma, con el paréntesis primo. Una condición suficiente y necesaria es lo más que puede pedir un matemático: es una caracterización. Así pues, en esta fórmula se encontraba todo el misterio de los perfectos, y de los primos de Mersenne.
Todo el misterio? Todo no, ni mucho menos. Euler demostró la caracterización de todos los números perfectos pares; pero no pudo conseguir ninguna caracterización de los números perfectos impares. Hoy no se conoce ningún número perfecto impar, pero nadie ha demostrado que no existan. De hecho, se sabe que en caso de existir debieran cumplir ciertas propiedades; propiedades que en todo caso son insuficientes para encontrarlos.
Tampoco se sabe si el número de primos de Mersenne es finito o infinito , y por lo tanto el de números perfectos. A la fecha de hoy el mayor primo de Mersenne conocido es dos elevado a 13466917 menos 1. Haría falta un grueso libro para escribirlo, pues tiene 4053946 cifras, y el perfecto asociado tiene 8107892 cifras.Hace falta un volumen de más de dos mil páginas para escribir este último número, a cincuenta renglones por página y 80 dígitos por renglón.
La forma utilizada hoy en día para encontrar primos de Mersenne y perfectos es el llamado teste de Lucas- Lehmer que dice que para p impar, el número de Mersenne asociado es primo (es un primo de Mersenne) si y solo si divide a S(p-1), siendo S una función definida recursivamente como sigue:
S(n+1) = S(n).S(n) -2,
S(1) = 4.
Existe un plan para encontrar primos de Mersenne mediante computación distribuida por PCs particulares, al igual que el proyecto SETI . (The Great Internet Mersenne Prime Search GIMPS) La dirección del proyecto es esta.
Y una página muy interesante sobre dichos números está aquí.
15 comentarios
danita -
GRACIAS
343545 -
armin dj -
2n-1 × (2n 1):
n = 2: 21 × (22 1) = 6
n = 3: 22 × (23 1) = 28
n = 5: 24 × (25 1) = 496
n = 7: 26 × (27 1) = 8128
armin -
johan -
sergio -
#include
#include
#include
void main()
{
clrscr();
int n,y,x,z;
y= pow(2,7-1);
x= pow(2,7)-1;
z = y*x;
cout
geremias -
Jeovanny Ramos Perez -
Jeovanny Ramos Perez -
Hugo Sánchez -
Con la demostración de Durán se da por resuelta la conjetura de si \"existen o no infinitos números primos de Mersenne
Atte.: Prof. Hugo Sánchez. Caracas-Venezuela
JoseL -
JoseL -
_for i _over 2.upto(31) # 31 es un valor de prueba para correr el bucle
_loop
_if i _mod 2 0 _or i=2 # sólo nos interesan los números impares excepto el 2, único par primo.
_then
# Fórmula de Euclides para hallar números perfectos
x
JoseL -
_method integer.n_perfectos
_for i _over 2.upto(31) # 31 es un valor de prueba para correr el bucle
_loop
_if i _mod 2 0 _or i=2 # sólo nos interesan los números impares excepto el 2, único par primo.
_then
# Fórmula de Euclides para hallar números perfectos
x
nacho -
Ignacio Riveros Alvarez -