Leyes de los grandes números
Ya hemos tenido ocasión de comentar que el concepto de independencia es el que da sabor especial a la teoría de la probabilidad, y lo separa de la teoría de la medida, de la que surge naturalmente.
La definición de independencia de dos sucesos aleatorios es muy simple: Los sucesos A y B son independientes si se cumple que la probabilidad de que se den ambos es igual al producto de las probabilidades de cada uno de ellos. Por ejemplo: la probabilidad de sacar un seis al lanzar un dado es 1/6, y la probabilidad de sacar cara con una moneda es ½. Si lanzamos primero uno y luego otro, o ambos a la vez, la probabilidad de sacar un seis en el dado y cara en la moneda es ½ x 1/6=1/12.
Cuando esto ocure, la materialización de uno de los sucesos nada nos dice de la del otro: un seis en el dado no nos aporta información de lo sacado en la moneda, ni viceversa. Esta última visión del asunto la podemos expresar en forma de probabilidades condicionadas:
P(A/B)=P(A)
P(B/A)=P(B). Si A y B son independientes.
Esto es: la probabilidad de un suceso condicionada al resultado de otro suceso independiente suyo es igual a la probabilidad de suceso sin condicionar. Esta visión es la que nos da la explicación de la palabra independencia utilizada para expresar esta propiedad.
Gran parte del pensamiento mágico e irracional que comprobamos a nuestro alrededor consiste precisamente en negar la independencia a sucesos aleatorios independientes. Por supuesto, a priori no es siempre evidente cuándo unos sucesos son independientes de otros, pero existe una especie de creencia humana en la justicia de los sucesos aleatorios que desvirtúa las apreciaciones de independencia. Según esta creencia no siempre verbalizada ni expresada, parecería que las probabilidades de los sucesivos eventos tienen que irse modificando. Al fin y al cabo, todos sabemos que si tiramos infinitas veces un dado, la sexta parte serán unos, otra sexta parte serán doses, y así hasta los seises. Si por un azar extraño hamos obtenido una racha inusitada de unos, por decir un número, algo tendrá que pasar para compensar este hecho ...
Hace años, traté infructuosamente de convencer durante meses a un compañero de trabajo, entrado en años él y gran aficionado a los juegos de azar, de que aunque el gordo de la lotería llevara muchos años sin acabar en cuatro, por ejemplo, eso no modificaba para nada la probabilidad de que acabara en cuatro el próximo sorteo. Mi compañero no sabía lo que eran las variables aleatorias independientes, pero intuía la existencia de la Ley de los grandes números .
Decimos que una sucesión de variables aleatorias X n, definidas sobre un mismo espacio de probabilidad obedece a la ley de los grandes números cuando la media de las observaciones de n resultados tiende a la media de las esperanzas de las variables aleatorias de la sucesión según n aumenta.
He puesto la palabra tiende en cursiva para resaltar la informalidad y ambigüedad de la expresión. En efecto, según qué entendamos por tiende , tendremos las llamadas leyes fuertes o débiles de los grandes números. Pero no quiero incidir en ello, lo importante es que tras esta definición existe un montón de teoremas que nos especifican qué propiedades debe cumplir una sucesión de variables aleatorias para que cumpla esta ley de los grandes números. Estos nos irán dando detalles de cómo deben ser estas variables aleatorias para que obedezcan a una ley (fuerte o débil) de los grandes números, llegando a la conclusión de que la mayor parte de los casos que se nos presentan en la vida cotidiana obedecen dicha ley, cuando las variables son independientes. No hace falta una extraña interconexión entre las variables para que la media de las mismas se vaya acercando a la esperada.
Varios de estos teoremas son:
Teorema de Tchebychev
Basta que las variables aleatorias independientes tengan la varianza acotada para que cumplan la ley débil (convergencia en probabilidad).
Teorema de Khintchine
Si las variables aleatorias independientes están idénticamente distribuidas, basta que tengan esperanza no infinita.
Es la enorme generalidad de estos teoremas la que nos dice que no es necesaria conexión ni memoria alguna entre los sucesos pasados y futuros independientes para que las aguas vuelvan a su cauce , y la media de las observaciones se acerque asintóticamente al valor esperado. Y nos lo dicen en el estilo habitual en el que nos hablan los teoremas matemáticos: con la certeza de una verdad inmutable, de un hecho incuestionable por toda la eternidad.
Pero claro, mi compañero no creía que un teorema pudiera ser más importante que su fuerte intuición.
Por cierto; nunca ganó un duro con los juegos de azar.
La definición de independencia de dos sucesos aleatorios es muy simple: Los sucesos A y B son independientes si se cumple que la probabilidad de que se den ambos es igual al producto de las probabilidades de cada uno de ellos. Por ejemplo: la probabilidad de sacar un seis al lanzar un dado es 1/6, y la probabilidad de sacar cara con una moneda es ½. Si lanzamos primero uno y luego otro, o ambos a la vez, la probabilidad de sacar un seis en el dado y cara en la moneda es ½ x 1/6=1/12.
Cuando esto ocure, la materialización de uno de los sucesos nada nos dice de la del otro: un seis en el dado no nos aporta información de lo sacado en la moneda, ni viceversa. Esta última visión del asunto la podemos expresar en forma de probabilidades condicionadas:
P(A/B)=P(A)
P(B/A)=P(B). Si A y B son independientes.
Esto es: la probabilidad de un suceso condicionada al resultado de otro suceso independiente suyo es igual a la probabilidad de suceso sin condicionar. Esta visión es la que nos da la explicación de la palabra independencia utilizada para expresar esta propiedad.
Gran parte del pensamiento mágico e irracional que comprobamos a nuestro alrededor consiste precisamente en negar la independencia a sucesos aleatorios independientes. Por supuesto, a priori no es siempre evidente cuándo unos sucesos son independientes de otros, pero existe una especie de creencia humana en la justicia de los sucesos aleatorios que desvirtúa las apreciaciones de independencia. Según esta creencia no siempre verbalizada ni expresada, parecería que las probabilidades de los sucesivos eventos tienen que irse modificando. Al fin y al cabo, todos sabemos que si tiramos infinitas veces un dado, la sexta parte serán unos, otra sexta parte serán doses, y así hasta los seises. Si por un azar extraño hamos obtenido una racha inusitada de unos, por decir un número, algo tendrá que pasar para compensar este hecho ...
Hace años, traté infructuosamente de convencer durante meses a un compañero de trabajo, entrado en años él y gran aficionado a los juegos de azar, de que aunque el gordo de la lotería llevara muchos años sin acabar en cuatro, por ejemplo, eso no modificaba para nada la probabilidad de que acabara en cuatro el próximo sorteo. Mi compañero no sabía lo que eran las variables aleatorias independientes, pero intuía la existencia de la Ley de los grandes números .
Decimos que una sucesión de variables aleatorias X n, definidas sobre un mismo espacio de probabilidad obedece a la ley de los grandes números cuando la media de las observaciones de n resultados tiende a la media de las esperanzas de las variables aleatorias de la sucesión según n aumenta.
He puesto la palabra tiende en cursiva para resaltar la informalidad y ambigüedad de la expresión. En efecto, según qué entendamos por tiende , tendremos las llamadas leyes fuertes o débiles de los grandes números. Pero no quiero incidir en ello, lo importante es que tras esta definición existe un montón de teoremas que nos especifican qué propiedades debe cumplir una sucesión de variables aleatorias para que cumpla esta ley de los grandes números. Estos nos irán dando detalles de cómo deben ser estas variables aleatorias para que obedezcan a una ley (fuerte o débil) de los grandes números, llegando a la conclusión de que la mayor parte de los casos que se nos presentan en la vida cotidiana obedecen dicha ley, cuando las variables son independientes. No hace falta una extraña interconexión entre las variables para que la media de las mismas se vaya acercando a la esperada.
Varios de estos teoremas son:
Teorema de Tchebychev
Basta que las variables aleatorias independientes tengan la varianza acotada para que cumplan la ley débil (convergencia en probabilidad).
Teorema de Khintchine
Si las variables aleatorias independientes están idénticamente distribuidas, basta que tengan esperanza no infinita.
Es la enorme generalidad de estos teoremas la que nos dice que no es necesaria conexión ni memoria alguna entre los sucesos pasados y futuros independientes para que las aguas vuelvan a su cauce , y la media de las observaciones se acerque asintóticamente al valor esperado. Y nos lo dicen en el estilo habitual en el que nos hablan los teoremas matemáticos: con la certeza de una verdad inmutable, de un hecho incuestionable por toda la eternidad.
Pero claro, mi compañero no creía que un teorema pudiera ser más importante que su fuerte intuición.
Por cierto; nunca ganó un duro con los juegos de azar.
9 comentarios
mitsy lorena vergara aguilera -
Flashin -
ramiro -
Goyo -
Tio Petros -
Al primate que llevamos dentro le gusta una buena historia... y una buena historia suele ser, normalmente, lo más alejado de la verdad.
dob -
me ha gustado leer las definiciones de probabilidad y sucesos aleatorios tan bien expresadas.
El problema que veo para hacer aceptar estos conceptos a la gente es que la idea de azar parece difícilmente asumible para el primate que todos llevamos dentro. Nos gusta una buena historia, y si no la vemos nos la inventamos porque la necesitamos. Solo con una base sólida de pensamiento racional puedes llegar a aceptar (de mala gana) que el azar rige en gran parte nuestras vidas.
Hace un par de días escuché una conversación en una sala de espera de una clínica, en la que un anciano discutía con otro sobre "quienes somos y de donde venimos":
- Pero si venimos de la nauraleza, ¿cómo sabe tanto la naturaleza? ¿Por qué tenemos la nariz en su sitio, las orejas en su sitio, como está todo tan bien pensado?
La actitud de este señor puede parecer primitiva, pero no es tan diferente de la de algunos estudiantes y científicos que te dicen "Es imposible que en un universo tan enorme sólo haya un planeta con vida". El terror ante el fenómeno único, surgido del azar, parece parte integrante de nuestro cerebro de mono.
Alida -
A ver, me explico: sé que es adjetivable -de la suerte decimos que es buena o mala- pero lo que yo me pregunto es si, desde la matemática, es un concepto (si es que ésta lo contempla) con el que se puede jugar, si es manipulable...
Si es sinónimo de azar, lo que me gustaría saber es en qué punto está el pensamiento, las conclusiones, como si dijéramos, con respecto a él...o ella.
Otro cálido saludo para tí.
Tio Petros -
Me preguntas si creo en la suerte?
Si la suerte es sinónimo de azar, pues me parece que no nos queda más remedio que creer en ella... a no ser que uno sea un determinista. Y yo no lo soy.
Un saludo.
Alida -
¿Qué opinión te merece el susodicho? ¿Crees en su existencia? (Mucho me temo que no :)