Biografías

Los Bernoulli y la serie armónica (1)

La semana pasada, hablando de Leibniz y de la serie de los inversos de los números triangulares, prometimos ver de qué manera Johann Bernoulli (el de la ilustración)había demostrado que la serie armónica era divergente (sumaba infinito).

Los hermanos Bernoulli son un tandem fraternal como los Wright, un dúo de grandes sin duda, pero que muchas veces se parecían más a los hermanos Marx que a dos colaboradores. Los celos entre ellos eran enormes, y provocó algunos sinsabores a la relación entre ellos.

Uno de los episodios más cómicos se refiere a la catenaria: curva que adopta una cuerda suspendida entre dos extremos. Galileo conjeturó (falsamente) que tal curva era una parábola, pero nunca pudo demostrarlo. Jakob, el mayor de los dos hermanos, pensó que los nuevos métodos del cálculus debidos a Leibniz y a Newton darían con la solución del enigma. Se dedicó con enorme ahínco al asunto, pero una y otra vez se estrellaba sin conseguirlo. Tras un año de esfuerzos sin resultado, se vió desagradablemente sorprendido con la noticia de que su hermano Johann, sin consultar con él, acababa de publicar la solución del asunto. El cabrón del hermano pequeño, dejaba escrito, para mayor gloria de sí mismo y escarnio de su hermano:

Los esfuerzos de mi hermano no tuvieron éxito; por mi parte tuve más suerte, ya que encontré la manera (lo digo sin vanagloriarme, ¿porqué tendría que ocultar la verdad?) de resolver el problema completamente... Es verdad que me costó una noche entera de esfuerzo que hube de robar al descanso...pero a la mañana siguiente, lleno de alegría, corrí a mi hermano que aún estaba luchando miserablemente con este nudo gordiano sin llegar a ninguna parte, siempre pensando, como Galileo, que la catenaria era una parábola. ¡Detente!, !detente!, le dije, no te atormentes más intentando demostrar la identidad de la catenaria y de la parábola, pues esto es totalmente falso

Hay que ser un cabronazo para resaltar que uno ha debido pasar toda una noche para conseguirlo, cuando tu propio hermano lleva un año intentándolo en vano...

Pues bien, este Johann es el que demostró que la suma de los inversos de los naturales (serie armónica) era divergente, y para ello se basó en los trabajos precedentes de su adorado Leibniz al respecto de los números triangulares.

Si les parece, explicamos en el próximo post qué relación encontró entre los números triangulares y la serie armónica. Explicaremos también porqué hoy tal manipulación no es considerada rigurosa, y dejaremos para un tercer post la demostración actual, simple y bellísima de la divergencia de la serie armónica.

Como muchas veces en matemáticas, la culpa la tiene el infinito.

Pero no adelantemos acontecimientos, que es mejor ir pasito a pasito.
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Al final, resultó como veis que el mismísmo Galileo se equivocó, y su conjetura era falsa: la catenaria no es una parábola, sino una curva que se parece mucho a una parábola: un coseno hiperbólico. La demostración de Johann Bernoulli la teneis
aquí

Joan Oró, in memoriam

El profesor Joan Oró ha fallecido. Hoy es un día triste para la ciencia en general, y para la española en particular.

Se me ocurren dos cosas para el momento; una de ellas es repetir unas palabras suyas, que recogen parte esencial de su pensamiento, Dado que se entiende perfectamente, las respeto en catalán, que es como las dijo él:


"Venim de pols d'estels i en pols d'estels ens convertirem. Hem de ser humils, ja que la vida ve de molècules molt senzilles.
Hem de ser solidaris, ja que tenim un origen comú. Hem de ser cooperatius, ja que des de la Lluna es veu la Terra com un granet perdut en la immensitat de l'espai, on no es distingeixen les fronteres entre els pobles i no es veu, tampoc, el color de la pell".

Me vais a permitir repetir el post que hace unos meses escribía respecto a la única vez que tuve la oportunidad de verlo en persona.


Sucedió en Castelldefels hace unos tres años. Asistíamos a una serie de charlas alrededor de una pregunta central: ¿Queda mucho por saber? Estábamos cambiando de milenio, y era un buen momento para hacerse esa pregunta. El último día, hubo un coloquio en el que alguien preguntó al doctor Joan Oró si podía resumir de alguna manera breve qué es lo más importante que había aprendido en toda una vida dedicada al estudio de los enigmas del universo.

El doctor Oró habló de su experiencia personal en el asunto, y explicó (más o menos, no recuerdo los términos que empleó) que una frase muy conocida condensaba bastante bien lo más importante. La frase era:
No hagas a los demás lo que no quieras que te hagan a ti.
¿Han sentido alguna vez una sensación de reverencia por alguien?
Yo muy pocas. Una de ellas sucedió en Castelldefels hace unos tres años.

Gottfried Wilhelm Leibniz

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) ha pasado a la historia como filósofo y como matemático. Como matemático, su nombre está unido al del gran Newton, como coautor del cálculo infinitesimal; una de esas teorías que nacen feas y se van embelleciendo extraordinariamente con el tiempo.

Leibniz nació en el seno de una familia muy bien equipada intelectualmente: su padre era profesor de filosofía, y en la casa existía una biblioteca muy bien nutrida de la que el joven Gottfried hizo buen uso durante su infancia. Se dice que aprendió latín y griego de niño por sí mismo. A los 15 años estaba preparado para ingresar en la universidad de Leipzig y con 20, había terminado su tesis doctoral.

En 1.672 nuestro héroe fue enviado a París a desarrollar sus tareas como diplomático de alto rango. En aquel momento la ciudad luz era un hervidero de ciencia: Leewenhoeck, Boyle y Hooke son una muestra de lo que allá se ofrecía a los ojos de Leibniz, ávidos de conocimiento.

No obstante, su formación matemática era muy escasa, y consciente de que tal cuestión le limitaba mucho a la hora de aprender ciencia, decidió seguir un “curso de choque” para embeberse de las tendencias contemporáneas de la matemática, armado de sus conocimientos de matemática clásica (geometría euclidea principalmente) , su extraordinaria inteligencia y su energía.

Por aquel entonces, estaba en París Christian Huygens (1629-1695). Aunque hoy lo conocemos por sus contribuciones a la física (teoría ondulatoria especialmente), en su momento era un compendio de la matemática más actual con patas. Había realizado extensos estudios sobre diversas curvas matemáticas (la cicliode en especial), y su renombre y aureola de sabiduría eran enormes. Nadie mejor que él para tutelar al joven Leibniz. Nadie mejor que Leibniz para aprovechar el privilegio de tal tutor.

El bueno de Huygens planteó a Leibniz muchos problemas de series: sumas infinitas de números. La teoría de series estaba en mantillas, y a veces sólo con gran ingenio se conseguía encontrar el sumatorio de una serie concreta. Para probarlo, le instó a encontrar la suma de los inversos de los números triangulares. Estos números son los que se obtienen de las disposiciones triangulares de la figura: 1,3,6,10,15,21,...



Vamos a ver cómo, con un ingenio y una magia impresionantes, Leibniz solucionó dicho problema sin hacer uso de ningun concepto especial de la teoría de series; pura magia matemática.

S= 1+1/3+1/6+1/10+1/15+1/21+...

Leibniz empezó por dividir la serie por 2. obteniendo:

(1/2)S=1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+...

Como la cosa estaba aún peor que al principio, decidió (seguramente por probar) expresar cada término como una resta de fracciones, y de repente, encontró una pauta:

1/2= 1-1/2
1/6=1/2-1/3
1/12=1/3-1/4
1/20=1/4-1/5 etc.

De forma que le quedó algo como esto:

(1/2)S=(1-1/2) + (1/2-1/3) + (1/3-1/4) + (1/4-1/5) + (1/5-1/6) + ...

quitando los paréntesis, tenemos :

(1/2)S=1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + 1/4 - 1/5 + 1/5 - 1/6+ ...

donde absolutamente todo se cancela menos el primer 1, quedando:

(1/2)S=1, luego S=2, sin más historias.

Casi ná.

A puro huevo, obtuvo el resultado correcto ganándose el respeto de su tutor, y nuestra admiración. Mucho Leibniz.

PD. La forma en la que estos matemáticos manipulaban las series, vistas desde la perspectiva actual, dejan mucho que desear. Si os parece, veremos en otro post cómo uno de los Bernoulli (Johann) demostró la divergencia de la serie armónica, de una forma que hoy no aceptaríamos como rigurosa. Veremos cómo lo haríamos nosotros ahora y comentaremos las diferencias, sutiles y bellas como el tema que nos ocupa. En el fondo de la cuestión está ni más ni menos el tratamiento que debemos darle al infinito. Les espero.

Miguel de Guzmán (2)

Hace un tiempo hablábamos del concepto de demostración matemática. Dimos un paseo por las nuevas formas de demostración, en las que el ordenador suplía al ser humano, y para ello utilizamos el ejemplo del Teorema de los cuatro colores . Decía yo por aquel entonces que estas formas de demostración por verificación eran estéticamente horribles. La matemática no es eso, parece decirme algo desde mi interior.

Ahora, repasando artículos que el recientemente fallecido Miguel de Guzmán cita en sus páginas, me encuentro con un artículo en el que leo:


La ciencia tiene por finalidad "entender" ¿Podemos decir que "entendemos" la demostración del teorema de los cuatro colores? Lo dudo.
La Matemática es realmente un Arte, el arte de evitar cálculos por fuerza bruta mediante el desarrollo de conceptos y técnicas que nos permitan viajar más ligeramente. Proporcionad a un matemático una máquina infinitamente poderosa para hacer cálculos y le habréis privado de su impulso interior. Se puede al menos argüir, aunque resulte un poco traído de lejos, que si los ordenadores hubiesen estado disponibles en, digamos, el siglo 15, la matemática ahora sería un pálido reflejo de sí misma.


El artículo en cuestión es del propio Miguel de Guzmán, se titula “Los riesgos del ordenador en la enseñanza de la matemática”, y la cita que he reproducido es de
Bonsall, F.F. de su artículo “A Down-to-earth View of Mathematics” publicado en The American Mathematical Monthly 89 (1982), 8-15

Qué placer leer mis propias opiniones, tan bien escritas por los que saben de verdad!
Para el profesor Miguel de Guzmán, entre los peligros que acechan al uso del ordenador en la enseñanza de la matemática están:

1.- Pensar ingenuamente que todo puede ser matematizado sin residuos
2.- Dejar que nuestra vida se ahogue en cifras y en formalismos matemáticos
3.- Inducír al matemático a jugar a aprendiz de brujo
4.- Considerar la matemática, y no el hombre, como la medida de todas las cosas
5.- Confundir manipulación con sabiduría
6.- Caer en el mito del genio universal que puede pontificar infaliblemente sobre cualquier asunto.

No me puedo reprimir el impulso de copiar las reflexiones del profesor Guzmán en cuanto al sexto punto:

Con respecto a ciertas figuras distinguidas de la ciencia moderna parece haberse producido en muchas personas, tanto de la calle como de la ciencia, el siguiente discurso de pensamiento: "Si la matemática es la base y el cemento de la cultura, aquel que logre situarse en el corazón de ella y desde allí contemplar nuestro mundo, está en una situación privilegiada para juzgar adecuadamente sobre su destino. Oigámosle y sigámosle''. Este parece haber sido el significado de la veneración cuasirreligiosa de muchos en nuestro propio siglo hacia ciertos personajes de la ciencia. Muy a su pesar, Einstein fue convertido en una especie de sumo pontífice de la verdad no sólo científica, sino religiosa y moral. Sería bueno recordar que muy a menudo el matemático, y el científico en general, fuera de su propia esfera de competencia suele ser tan superficial y sesgado como el que más.

Y concluye con la siguiente frase:

A la vista de problemas tales como los aquí esbozados es claro que el proceso de matematización creciente que estamos viviendo actualmente, acelerado por la presencia de la informática, necesita ir acompañado de una honda reflexión sobre su sentido y sus implicaciones profundas para el hombre y la sociedad. Si nuestros educadores no son conscientes de las posibles trampas subyacentes al
estilo matemático y al modo de pensar que la cultura informática propicia, pueden conducir fácilmente a sus estudiantes a adoptar actitudes francamente perjudiciales.

Díganme ustedes si no hemos perdido, como decía dorfun en un comentario al post anterior, a uno de los grandes...

Que tengan un feliz fin de semana.

Miguel de Guzman

Don Miguel de Guzmán Ozamiz acaba de fallecer, y con él se va una de las figuras más señeras de la matemática española.

Miguel de Guzmán Ozamiz nació en Cartagena en 1936. Estudió Filosofía en Alemania (1961), Matemáticas en Madrid (1965) y se doctoró en Chicago en el 68. Ha sido profesor en universidades de Chicago, St. Louis, Princeton (EE.UU.), Suecia y Brasil y ahora era catedrático de Análisis Matemático de la Complutense de Madrid y Académico de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales desde 1982. Fue presidente de la Comisión Internacional de Educación Matemática (ICMI) de 1991 a 1998. Fué autor de libros técnicos (publicados en importantes editoriales internacionales) y de divulgación (traducidos al inglés, chino, finlandés, francés y portugués), articulista y conferenciante.

En 1.983 publicó un excelso artículo en la revista Investigación y ciencia titulado Algunos aspectos insólitos de la actividad matemática . Puede ser consultado en esta dirección. En dicho artículo expone sus ideas sobre la relación entre la matemática y la estética, la metamática y la filosofía o la creatividad. EN suma: la matemática como aventura del pensamiento.

En esta dirección existe una página personal de Don Miguel, en la que se habla de las matemáticas y las estructuras de la naturaleza, así como de los espingorcios . Ambos enlaces, actualmente funcionales ( lo acabo de comprobar) nos llevan a una joya de la divulgación española que conviene visitar con reverencia, y a un cuento infantil, una joyita tan “inocente” como pueda ser “Alicia en el país de las maravillas”.



Aquí pueden encontrar un artículo de Miguel de Guzmán sobre el papel de la matemática en la novela. Curiosamente un epígrafe de este artículo se titula "Entra el tío Petros" , y como habrán adivinado no se refiere a este humilde blog, sino a la estupenda novela de Apostolos Doxiadis El tío Petros y la conjetura de Golbach , en la cual me inspiré para denominar este blog...

Dice Don Miguel al respecto de esta novela: La novela de Doxiadis es una obra breve e intensa escrita con gran acierto dramático. La trama es relativamente sencilla y por la verosimilitud con que está escrita hace intuir la inclusión de muchos elementos de alguna manera autobiográficos. El narrador es un joven griego de una familia bien establecida en la que hay un extraño personaje, el tío Petros, que parece no encajar bien en ella y que atrae la curiosidad del sobrino. Poco a poco se va desvelando el misterio. El tío Petros ha sido un matemático notable. El sobrino, que ha decidido ser matemático, le pide consejo. Extrañamente el tío Petros trata de disuadirle, sin conseguirlo. A partir de ahí, y siempre con el enigma del tío Petros en el fondo, se va engarzando la fase de formación matemática del sobrino con el descubrimiento del misterio de la personalidad del tío Petros

Desde aquí pueden ustedes releer lo que el autor consideró más importante de su propia tarea de divulgación, así como de obras de otros.

Un ejemplo de su divulgación más lúdica la tienen en http://www.mat.ucm.es/deptos/am/guzman/rana/la_rana.htm, donde tras la siguiente frase:

"El juego y la belleza están en el origen de una gran parte de la matemática. Si los matemáticos de todos los tiempos se lo han pasado tan bien jugando y contemplando su juego y su ciencia, ¿por qué no tratar de aprenderla y comunicarla a través del juego y la belleza?" ,

pasa el autor a explicar el juego de La rana saltarina y sus implicaciones matemáticas.

Sus reflexiones publicadas en la red nos dan para un montón de posts, que en caso de hacerlo, serán en homenaje del científico que acaba de dejarnos.

Bertrand Russell: el hombre feliz

Me gusta la figura anciana y levemente anarquista de Bertrand Russell. De hecho, me gusta mucho más que sus matemáticas. El joven que pasó su juventud pensando cómo suicidarse, y únicamente su interés por saber más y más matemáticas le impidió consumar la acción. No obstante, las cosas debieron ir cambiando, pues murió en 1970 tras 98 años de una vida plena. Había nacido en Ravenscroft, Inglaterra, en 1872. Parece ser que fue educado en un ambiente asfixiante, por tutores particulares. Esto le propició una enorme cultura de base, conocimiento de muchos idiomas...y muy poca alegría de vivir.

Su obra cumbre es "Principia Mathematica", coescrito con su gran amigo el Dr. A. N. Whitehead y publicado en 1910 y 1913.

Para Russell, las matemáticas y la lógica formal son una misma cosa. Esto supone afirmar que “ el total de las matemáticas puras puede ser rígidamente deducido de un pequeño número de axiomas lógicos”. De hecho, supone bastante más: entre otras cosas que la matemática se reduce a una manipulación de símbolos de acuerdo a unas estrictas reglas sintácticas, pero desprovistos de semántica. A la luz de esta idea se entiende su frase: “La matemática es la materia en la que no sabemos de qué estamos hablando, ni si lo que decimos es verdad”.

A uno se le ocurre que con tales presupuestos, y siendo matemático de primera fila con capacidad ingente de trabajo, la idea del suicidio no es una mala salida...

Sin embargo, se las arregló para encontrar la razón de vivir, en la matemática y pienso que sobre todo fuera de ella.
En el año de 1918 fue encarcelado por defender a los objetores de conciencia y por sus duros ataques contra el belicismo, una actitud pacifista que mantuvo durante toda su vida.

Fue un innovador en muchos campos; sus novedosas ideas sobre la educación cristalizaron en la fundación de la Beachon Hill School. En 1953, tres años después de recibir el Premio Nobel de Literatura, organizó con Einstein el Movimiento Pugwash, ante la amenaza inminente de una guerra nuclear. Más tarde, la creación del Comité de los 100, en favor de la resistencia no-violenta al armamentismo, lo llevó a la cárcel por segunda vez.

En 1930 escribió “La conquista de la felicidad”, un precioso libro sobre los motivos de ausencia de felicidad en la mayor parte de la población humana, y cómo solucionarlo. Puede ser bajado desde aquí

Escritor prolífico, su último libro fue su propia Autobiografía, publicada entre 1967 y 1969. Russell murió en 1970 en Penrhyndeudraeth, a la edad de 98 años.

Además de sus obras y de sus enseñanzas nos dejó una enorme colección de frases lapidarias, como las siguientes:

"Lo más difícil de aprender en la vida es qué puente hay que cruzar y qué puente hay que quemar."

"Lo que los hombres realmente quieren no es el conocimiento sino la certidumbre"

"Gran parte de las dificultades por las que atraviesa el mundo se deben a que los ignorantes están completamente seguros y los inteligentes llenos de dudas"

"Los científicos se esfuerzan por hacer posible lo imposible. Los políticos por hacer lo posible imposible"

Frank P. Ramsey

Ya lo comentamos una vez hablando de la efervescencia matemática en la ciudad de Lviv en los momentos anteriores a la segunda guerra mundial. A veces se dan brotes de actividad intelectual de tal calibre que coinciden en el espacio y en el tiempo una pléyade de mentes maravillosas conviviendo estrechamente.

Naturalmente, siempre existen muy buenos motivos para que esto suceda, y si no se dan esos buenos motivos, simplemente no sucede. Por ejemplo en la España de hoy, con los sistemas educativos, con las políticas en materia científica de los últimos años y con la utilización que se hace desde las esferas del poder de los medios de comunicación, sería un suceso de probabilidad cero que tal cosa ocurriera.

En el período comprendido entre ambas guerras mundiales, en las ciudades de Oxford y Cambridge ocurrió algo así. Tan sólo en el Trinity College, tenemos los nombres de G.H. Hardy, John Littlewood, Srinivasa Ramanujan, Bertrand Russell, Ludwig Wittgenstein,...por mencionar los que reconozco a vuelapluma en esta lista
de alumnos distinguidos de esos años en el Trinity.
Frank Plumpton Ramsey nació en Cambridge en el año 1903. Pertenecía a una familia de extraordinario nivel en todos los sentidos: intelectual, social y monetario. Su padre, Arthur Stanley Ramsey fue presidente del Magdalene College de Cambridge. Su hermano Michael Ramsey fue arzobispo de Canterbury, ni más ni menos.

Dearrolló su labor intelectual en el King’s College de Cambridge desde 1.924 hasta 1.930, año en el que murió por las complicaciones derivadas de una operación quirúrgica.

Con 19 años publicó una revisión crítica de la obra de Keynes tan demoledora que el propio Keynes se vió obligado a recosiderar sus planteamientos anteriores.

Su mayor aportación a la matemática es la denominada “Teoría de Ramsey”, que no es sino el desarrollo de una idea central, contenida en el Teorema de Ramsey, que es el objeto de esta serie de post.

Pablo Fernández Gallardo y José Luis Fernández Pérez, autores este artículo magníficamente redactado, mencionan unas palabras de Ramsey ante un selecto grupo de discusión de Cambridge, que nos revelan un Ramsey apasionado, socialmente inquieto y amante de la vida :



Mi cuadro del mundo está dibujado en perspectiva, y no como un modelo a escala. El primer plano lo ocupan los seres humanos, y las estrellas son, para mí, tan pequeñas como monedas de tres peniques. No creo realmente en la astronomía, excepto como una complicada descripción de parte del curso de las sensaciones humanas y, posiblemente animales.
Aplico mi perspectiva no sólo al espacio, sino también al tiempo. A la larga el mundo se enfriará y todo morirá; pero queda mucho para eso, y su valor actual, a interés compuesto es casi nada. Que el futuro sea vacío no quita valor al presente.

La humanidad, que ocupa el primer plano de mi lienzo, es para mí interesante y toda ella admirable. Encuentro, al menos hasta ahora, que el mundo es un lugar placentero y excitante. Puede que vosotros lo encontréis deprimente; lo siento por vosotros, y vosotros seguramente, desdeñareis lo que digo. Pero yo tengo razón y vosotros no; sólo tendríais alguna razón para rechazar lo que digo si vuestros sentimientos se correspondieran con la realidad como los míos lo hacen. Pero no pueden. La realidad no es ni buena ni mala; simplemente es lo que a mi me entusiasma y a vosotros os deprime. Y lo siento por vosotros, porque es más agradable estar entusiasmado que deprimido... y no sólo más agradable, sino mejor para la vida de cada uno.


Con 25 años se casó, tuvo dos hijas y muy pronto se convirtió en el director de estudios matemáticos del King’s College.

Él era un hombre reservado, modesto, de trato fácil y desinhibido, con una risa contagiosa y ruidosa. Su tolerancia y buen humor le permitía discrepar fuertemente sin ofender; como ocurrió con su Hermano Michael, cuya ordenación, como ateo militante, lamentó. De él se dijo que su enorme tamaño corporal era acorde a su nivel intelectual. Murió en 1.930, con tan sólo 26 años, con todo un mundo de relaciones matemáticas por descubrir, y toda una vida de posibilidades espléndidas por vivir.

Tras este apunte biográfico, pasamos a introducirnos de lleno en la teoría de Ramsey. A lo mejor cuando hayamos terminado y veamos orden en el caos, pensemos que, quizás sea irremediablemente, una consecuencia más del Teorema de Ramsey.

El cuaderno escocés

De vez en cuando, por diversos motivos, hay lugares concretos en momentos concretos, en los que florece el pensamiento humano de forma explosiva, como sucedió en la Atenas clásica. A veces la manifestación es artística, otras veces literaria y otras científica. La matemática; una vez más, demuestra ser una actividad humana como las demás.

En los años comprendidos entre las dos grandes guerras, Polonia demostró ser una potencia importantísima en matemáticas. La reunión en poco espacio de tanto matemático y de tanta altura ha sido calificada de sorprendente en más de una ocasión.

Nos encontramos en la ciudad de Lviv. El departamento de matemáticas de la universidad de Lviv era un foco de actividad. Confluían allá los mejores; estamos hablando de Ulam, Banach, Sierpinski, Mazurkiewicz, Zygmund, Alfred Tarsky, Kuratowsky...El propio Von Neumann visitó Lviv en 1.929.

La actividad era tan intensa que trascendía los muros universitarios, y se volcaba en las tabernas. Muchos años después, Ulam escribiría:

Me acuerdo de una sesión en el Café Escocés con Mazur y Banach que duró 17 horas sólo interrumpidas por las comidas. Lo que más me impresionaba era cómo se podía hablar de matemáticas, razonar y hallar demostraciones en estos debates.

El café escocés (ver foto) se convirtió en un centro regular de reunión de matemáticos. Las mesas, según cuenta Ulam, eran de mármol blanco, lo cual era una ventaja pues se podía escribir con lápiz sobre ellas, borrar y volver a empezar.

Un día, Banach decidió que aquello no podía ser, y era necesario levantar acta de aquellas reuniones. Ni corto ni perezoso se compró un gran cuaderno en el que irían apuntando los teoremas y demostraciones que surgieran en el café escocés.

Tras cada reunión, entregaban el cuaderno al camarero, el cual lo guardaba ceremoniosamente tras la barra. Los temas que se tratan en este libro son muy variados, y en él figuran ciento noventa y tres problemas, muchos de los cuales permanecen aún sin respuesta. Algunos tienen premios asignados para aquel que los resuelva, que van desde una botella de champagne, una botella de whisky, una cerveza, una taza de café, cien gramos de caviar, tocino o un ganso vivo.

Tras el estallido de la Segunda Guerra Mundial, la ciudad fue ocupada primero por los rusos y después, en el verano de 1941, por las tropas alemanas. En ese momento cesaron las anotaciones quedando como última fecha el 31 de mayo de 1941.

La comunidad matemática no fue ajena a los sufrimientos de la guerra, y ante los temores de ocupación Ulam y Mazur decidieron poner el libro a buen recaudo. Parece ser que lo enterraron junto a la portería de un campo de fútbol cercano.

Ulam se trasladó al final de la guerra a Estados Unidos, colaborando con los americanos en proyectos militares de alto secreto, proyecto Manhattan incluido, y fue en su estancia en Los Alamos donde recibió de manos del matemático Steinhaus una copia del mismo. El hijo de Banach había conseguido recuperar el libro y había proporcionado a Steinhaus la copia. Para entonces, el cuaderno escocés era toda una leyenda.

Ulam lo tradujo al inglés y se encargó de distribuirlo por los ambientes universitarios.
El propio Stanislaw Ulam lo cuenta todo en sus memorias, editadas en España con el título de “Memorias de un matemático”, editorial nivola, septiembre 2002.

Al escribir este post no puedo dejar de pensar en aquella frase de Erdös: Un matemático es una máquina que convierte café en teoremas

Paul Erdös: un matemático de leyenda.

Un matemático es un ser humano que hace matemáticas, y todo lo demás son tópicos. Eso no quiere decir que algunos matemáticos no cumplan el tópico a rajatabla. Este es el caso de Paul Erdös.

Dicen los que le conocieron que usaba calcetines con sandalias y que al viajar sólo llevaba una maleta semivacía, que arrastraba por el mundo de congreso en congreso.Paul Erdös nació en Hungría el año 1913. Vivió plenamente para las matemáticas, olvidándose del resto de las obligaciones y quehaceres humanos. No tenía ni familia ni un lugar fijo de residencia.
"La propiedad perjudica" ,decía. Sus colegas se encargaban de él y de todas sus necesidades: le buscaban alojamiento, gestionaban sus finanzas, le alimentaban, le compraban ropa y hasta pagaban sus impuestos. A cambio, él los alimentaba con nuevas ideas y retos, con problemas por resolver y brillantes maneras de abordarlos. Alguien que lo conocía bien, decía que "sus amigos lo quieren ciegamente, devolviéndole como pueden la luz que él trae a sus casas y oficinas". Erdös no se preocupaba por el dinero; donaba la mayor parte de lo que ganaba dando conferencias a sus estudiantes. Ya fuese para ayudarlos o para premiar la solución de algún problema que les hubiese planteado.

Publicó a lo largo de su vida alrededor de 1475 trabajos con 485 coautores. Su verdadera pasión fue la teoría de números, que le fascinaba por ser, según sus palabras, independiente del universo; y especialmente los números primos. Una de sus grandes preocupaciones fue la distribución de los primos dentro de los enteros. El teorema de los números primos afirma que la densidad de primos menores que x tiende a (x/ln(x)). Esto fue conjeturado por Gauss, y fue demostrado con métodos muy potentes del análisis, por Jaques Hadamard (1865-1943) y Charles de la Vallée Poussin (1866-1950).

En 1946, Erdös y Atle Selberd (Medalla Fields 1950) obtuvieron una demostración que no recurría a métodos superiores del análisis. Era una demostración elemental, que no es lo mismo que sencilla. Este tipo de demostraciones elementales que no recurrían a los métodos superiores del cálculo diferencial e integral y de variable compleja, sino que se mantenía en los terrenos de la teoría de números, eran las que consideraba Erdös las ideales y a las que se dedicó mayormente. Aparte de la teoría de números, abordó temas importantes y difíciles en el área de la combinatoria, teoría de conjuntos, análisis clásico, geometría discreta, topología de conjuntos... extendiéndose a muchas otras áreas, entre ellas: probabilidad, topología, teoría de grupos, funciones complejas.

Ofrecía premios por las soluciones de algunos problemas, variando el monto según la dificultad e hizo pagos desde 1 hasta 1000 dólares a quienes los resolvían. En 1983 ganó el Premio Wolf, y conservó sólo 720 de los 50 000 dólares que recibió. Como no podía faltar, algunos de sus trabajos están vinculados con el último teorema de Fermat.

Paul Erdös murió en 1996 en Varsovia mientras participaba en un encuentro matemático, como no podía ser de otra forma. Tenía ya preparada su colaboración en otro congreso de teoría de números en Lituania. Dejó tras de sí una leyenda que ha ido creciendo desde el día de su muerte entre los matemáticos, que lo idolatraban por su humanidad, su genialidad y su desapego por las causas del mundo. Tanto es así, que existe un homenaje que pertenece al acervo folklórico de la comunidad matemática: el cómputo del número de Erdös asignado personalmente a cada matemático, que se define de la siguiente manera:

1.- Paul Erdös tiene número de Erdös igual a cero.
2.- Todo matemático que haya sido coautor con Erdös de un paper matemático tiene número de Erdös igual a 1.
3.- Todo matemático que haya sido coautor de un paper matemático con un matemático de número de Erdös igual a n tiene número de Erdös igual a n+1 .

Evidentemente este es un asunto lúdico de los que gustan a los matemáticos, pero tiene sorprendentes connotaciones: Se han estudiado los números de Erdös de personalidades en el mundo de la ciencia y tecnología, resultando que los poseedores de medallas Fields, muchos premios nobel e incluso Bill Gates, tienen números de Erdös muy bajos.

Gates tiene un número de Erdös igual a 4, Andrew Willes, el que consiguió demostrar el último teorema de Fermat lo tiene igual a 3; Einstein lo tenía igual a 2, e Ilya Prigogine igual a 6. El lingüista Noam Chomsky tiene un número de Erdös de 4. Es como si la cercanía a Erdös iluminara las mentes de los científicos... una hermosa leyenda en todo caso. Toda la información del mundo sobre el número de Erdös la teneis aquí.

Kolmogorov y Alexandrov

En la foto que encabeza este artículo podéis ver a dos mentes poderosas: Andrei Nikolaievich Kolmogorov (izquierda)y Pável Serguéyevich Alexandrov (derecha). Ambos se conocieron en 1.929 y vivieron una profunda amistad de 53 años.
Compartieron estudios, esfuerzos, alojamiento, honores; y sobre todo amistad.

Kolmogorov fue el padre de la axiomática de la teoría de la probabilidad, pero tocó prácticamente todas las ramas de la matemática con su genialidad y su agudeza. Alexandrov es el padre de la topología rusa, y no le iba a la zaga.

Nunca hubo un enfado entre ambos, y ya al final de sus días, cada uno escribió sobre el otro:

Alexandrov en marzo de 1.981, a un año de su muerte:

“Mi amistad con Kolmogorov ocupa en mi vida un lugar único y excepcional: esta amistad cumplió 50 años en 1.979, y a través de este medio siglo no ha mostrado ningún signo de tensión, ni ha sido acompañada de ninguna disputa. Durante este período no hemos tenido ninguna incomprensión sobre cuestiones importantes para nuestra visión de la vida. Aún cuando nuestros criterios sobre algún asunto han diferido, lo hemos tratado con completa comprensión y simpatía mutua.”

Kolmogorov en 1.986, también a un año de su muerte:

“... para mí estos 53 años de íntima e indisoluble amistad fueron la razón por la cual toda mi vida estuvo repleta de felicidad, y la base de esta felicidad fue la permanente consideración hacia mí por parte de Alexandrov”

Ambos escribieron conjuntamente cierto número de trabajos; pero ese número no refleja en absoluto la intensidad y complejidad de la relación entre ambas mentes. Ambos amaban la montaña, y las largas travesías, así como los baños en el mar. Me gusta pensar que ante que nada, fueron dos hombres felices. Dos hombres de mente poderosa con capacidad además para sentir la felicidad y la amistad en un mundo difícil... es que algunos parecen tenerlo todo.

Una gran unificación: Félix Klein

Si preguntamos a un buen número de personas qué creen que es la geometría, muchos (creo que la mayor parte) mencionarán cuestiones relacionadas con medidas de figuras.

Si preguntamos qué es la topología a alguien que sabe del asunto. perfectamente podría contestarnos que la topología es lo que queda de la geometría cuando suprimimos toda noción de medida.Es evidente que la cosa chirría por algún lado. Vayamos a encontrarnos con Klein y se nos aclararán varias cosas.

El gran Félix Klein fué un unificador impresionante; fué un matemático alemán, que tras haber demostrado que las geometrías métricas, euclídeas o no euclídeas, constituyen casos particulares de la geometría proyectiva, en 1872 presentó una notable clasificación de la geometría, el "programa de Erlangen", que puso fin a la escisión entre geometría pura y geometría analítica.

Para Klein, una geometría es un par (X,G), donde X es un conjunto cualquiera y G es un grupo algebráico. Esta definición es ciertamente la pérdida de la inocencia matemática. Para empezar, el conjunto puede ser cualquier cosa: un conjunto de puntos, como el espacio tridimensional físico, o un plano ideal, o un espacio de funciones infinitodimensional.

¿Y el grupo?

El grupo es otro conjunto de cosas con una operación entre dichas cosas que cumple ciertas "buenas propiedades". La relación entre el conjunto X y el grupo G es que el grupo actua sobre el conjunto.

Esto quiere decir que cada elemento del grupo es una acción ejercida sobre el conjunto. Pensemos en rotaciones, traslaciones, ampliaciones, reducciones, estiramientos...

Pues bien; Klein insistió en que el objeto de la geometría era la búsqueda y el análisis de las propiedades del conjunto X que permanecían invariantes por acción del grupo. Cuanto más "intensa" era la acción del grupo, más íntima tenía que ser una propiedad para que se preservara invariante por la acción del grupo.

Pongamos un ejemplo: tenemos una circunferencia de 1 metro con centro en el punto (0,0). Podemos pensar que la propiedad de tener el centro en dicho punto es importante, pero si "actuamos" sobre la circunferencia desplazándola, el centro está en otro punto. Lo mismo podemos decir de la medida del radio: sometida a una ampliación varía completamente. Sin embargo, el cociente entre la longitud de la circunferencia y su radio permanece invariante por rotaciones, traslaciones y ampliaciones o reducciones. Este "ser invariante" nos da un índice de importancia de la propiedad.

Por último, si sometemos a estiramientos, torceduras y torturas matemáticas similares ; siempre operaciones continuas, sin rasgar la circunferencia; e inversibles (homeomorfismos), obtendremos cosas muy diferentes de una circunferencia. Obtendremos de hecho una curva de Jordan si la figura es plana, y algo un poco más complejo si no lo es. Aún en ese caso existen ciertas propiedades que permanecen invariables. Esa terquedad al cambio de estas propiedades escondidas es el objeto de estudio de la topología.

Concluimos pues que la topología es el estudio de las propiedades invariantes por homeomorfismos lo cual, si se ha seguido con un poco de atención lo anterior, está más claro que lo que se afirmaba al inicio del artículo.

¿Cuáles pueden ser esas escondidas propiedades topológicas que permanecen invariables por mucho que estiremos, encojamos, y retorzamos una figura geométrica?

De eso hablaremos en otra ocasión.

Hipatia de Alejandría

Desde este blog quiero reivindicar la figura femenina en la matemática. Comenzaré por hablar de Hipatia de Alejandría. Esta mujer pasa por ser la primera matemática de la que se tiene constancia. Nació en Egipto en el año 370 y murió (la mataron) en el año 415 de la era cristiana. Por lo tanto tuvo 45 años de vida para dejar un eco que aún no se ha apagado, y desde aquí intentamos contribuir a que no lo haga.

Su padre era Teón de Alejandría. Un hombre importante en el mundo de las letras y las ciencias. En aquella época la figura de la mujer era como mera paridora de hijos, y trabajadora del hogar, pero Teón tenía otros planes para su adorada hija: quería hacer de ella “un ser humano perfecto”.

No sabemos si lo consiguió, pero se acercó bastante. Teón fue padre y maestro, la instruyó en todos los conocimientos de la época: matemáticas, filosofía, astronomía...
Existe una ley matemática llamada “de regresión a la media”, en virtud de la cual de padres sobresalientes salen hijos menos sobresalientes que sus progenitores. Dicho de otra manera: es más fácil que un hijo supere a sus padres cuando estos son mediocres. Lo que no hace dicha ley es prohibir lo contrario. El gran Alejandro Magno fue hijo de un padre realmente sobresaliente: Filipo de Macedonia, y lo superó con creces.

Pues bien, el caso de Hipatia es igualmente una confirmación de que la ley de regresión a la media marca una dificultad, no una imposibilidad: superó a Teón en todas las facetas del saber (para regocijo de su padre, queremos creer). Sócrates Escolástico, historiador de Hipatia, 120 años después de su muerte escribe: "la belleza, inteligencia y talento de esta gran mujer fueron legendarios, superó a su padre en todos los campos del saber, especialmente en la observación de los astros", y por si quedan dudas, añade: "consiguió un grado tal de cultura que superó con mucho a todos los filósofos contemporáneos. Heredera de la escuela neoplatónica de Plotino, explicaba todas las ciencias filosóficas a quien lo deseara. Con este motivo, quien deseaba pensar filosóficamente iba desde cualquier lugar hasta donde ella se encontraba... pero a más de saber filosofía era también una incansable trabajadora de las ciencias matemáticas"

Fue directora del Museo de Alejandría en una época dura: los cristianos veían con malos ojos toda esa concentración de saber de origen griego, e intentaron obligarla a abrazar el cristianismo. Parece ser que se negó rotundamente, y lo pagó con su vida. Un grupo de cristianos la encontró en plena calle y según cuenta su biógrafo la desnudaron, y le arrancaron la piel utilizando para ello conchas marinas hasta acabar con su vida (ostrakoi).

Curiosa manera de intentar apagar un faro que daba más luz que el de la ciudad.