Blogia
Tio Petros

Gottfried Wilhelm Leibniz

Gottfried Wilhelm Leibniz Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) ha pasado a la historia como filósofo y como matemático. Como matemático, su nombre está unido al del gran Newton, como coautor del cálculo infinitesimal; una de esas teorías que nacen feas y se van embelleciendo extraordinariamente con el tiempo.

Leibniz nació en el seno de una familia muy bien equipada intelectualmente: su padre era profesor de filosofía, y en la casa existía una biblioteca muy bien nutrida de la que el joven Gottfried hizo buen uso durante su infancia. Se dice que aprendió latín y griego de niño por sí mismo. A los 15 años estaba preparado para ingresar en la universidad de Leipzig y con 20, había terminado su tesis doctoral.

En 1.672 nuestro héroe fue enviado a París a desarrollar sus tareas como diplomático de alto rango. En aquel momento la ciudad luz era un hervidero de ciencia: Leewenhoeck, Boyle y Hooke son una muestra de lo que allá se ofrecía a los ojos de Leibniz, ávidos de conocimiento.

No obstante, su formación matemática era muy escasa, y consciente de que tal cuestión le limitaba mucho a la hora de aprender ciencia, decidió seguir un “curso de choque” para embeberse de las tendencias contemporáneas de la matemática, armado de sus conocimientos de matemática clásica (geometría euclidea principalmente) , su extraordinaria inteligencia y su energía.

Por aquel entonces, estaba en París Christian Huygens (1629-1695). Aunque hoy lo conocemos por sus contribuciones a la física (teoría ondulatoria especialmente), en su momento era un compendio de la matemática más actual con patas. Había realizado extensos estudios sobre diversas curvas matemáticas (la cicliode en especial), y su renombre y aureola de sabiduría eran enormes. Nadie mejor que él para tutelar al joven Leibniz. Nadie mejor que Leibniz para aprovechar el privilegio de tal tutor.

El bueno de Huygens planteó a Leibniz muchos problemas de series: sumas infinitas de números. La teoría de series estaba en mantillas, y a veces sólo con gran ingenio se conseguía encontrar el sumatorio de una serie concreta. Para probarlo, le instó a encontrar la suma de los inversos de los números triangulares. Estos números son los que se obtienen de las disposiciones triangulares de la figura: 1,3,6,10,15,21,...



Vamos a ver cómo, con un ingenio y una magia impresionantes, Leibniz solucionó dicho problema sin hacer uso de ningun concepto especial de la teoría de series; pura magia matemática.

S= 1+1/3+1/6+1/10+1/15+1/21+...

Leibniz empezó por dividir la serie por 2. obteniendo:

(1/2)S=1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+...

Como la cosa estaba aún peor que al principio, decidió (seguramente por probar) expresar cada término como una resta de fracciones, y de repente, encontró una pauta:

1/2= 1-1/2
1/6=1/2-1/3
1/12=1/3-1/4
1/20=1/4-1/5 etc.

De forma que le quedó algo como esto:

(1/2)S=(1-1/2) + (1/2-1/3) + (1/3-1/4) + (1/4-1/5) + (1/5-1/6) + ...

quitando los paréntesis, tenemos :

(1/2)S=1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + 1/4 - 1/5 + 1/5 - 1/6+ ...

donde absolutamente todo se cancela menos el primer 1, quedando:

(1/2)S=1, luego S=2, sin más historias.

Casi ná.

A puro huevo, obtuvo el resultado correcto ganándose el respeto de su tutor, y nuestra admiración. Mucho Leibniz.

PD. La forma en la que estos matemáticos manipulaban las series, vistas desde la perspectiva actual, dejan mucho que desear. Si os parece, veremos en otro post cómo uno de los Bernoulli (Johann) demostró la divergencia de la serie armónica, de una forma que hoy no aceptaríamos como rigurosa. Veremos cómo lo haríamos nosotros ahora y comentaremos las diferencias, sutiles y bellas como el tema que nos ocupa. En el fondo de la cuestión está ni más ni menos el tratamiento que debemos darle al infinito. Les espero.
¿Y esta publicidad? Puedes eliminarla si quieres
¿Y esta publicidad? Puedes eliminarla si quieres

20 comentarios

Desatonao -

Al margen, decir que com no soy muy ducho en matemáticas, hallé una solución parecida a la de Leibniz respecto a la serie 1,4,10,20,35,56. .. que es una especie de combinación entre números triangulares y de Fibonacci. El tercer miembro es la suma de el tercer número triangular y sus anteriores. Lo resolví con factoriales, y la fórmula para Excel es esta: (FACT(2*(1+0,5*x))/FACT(3))/FACT(2*(1+0,5*x)-3)
Ya que la relación entre el primer miebro y el segundo era 4/1, entre segundo y el tercero 5/2, entre el tercero y el cuarto, 6/3, etc. .

Supongo que se podría haber solucionado de modo más simple, y yo lo hice a fuerza bruta, o que el problema es archiconocido, pero sigo estando orgulloso de haberlo resuelto solito siendo de letras puras.

Desatonao -

Depende en tipo de religión. Los politeistas siempre fueron más tolerantes y relativistas, mientras que los monoteistas con origen en oriente medio, cristianismo e islamismo, se vuelven totalitaristas e intentan imponer su doctrina. Tipo de religiones orientales no tienen nada que ver con lo que nosotros relacionamos: religión-catolicismo.

Lois -

Chest Milly Boobs Tits Busty

Me interesa saber sobre esa tematica, envien info!

Pepo -

No se puede confirmar eso, debe ser de otra

Garret -

Eso es verdad tio

Licia -

lobita la loca, jajja

Hector -

No estoy de acuerdo con el tema de la religion y los conflictos...

TioPetros -

Holbach, estoy de acuerdo contigo, y creo que con las frase de Weinberg también. La religión ha demostrado que no sirve para solucionar los conflictos humanos. Es más, allá donde se producen, no hace sino enconarlos aún más. Una pena...

Holbach -

TioPetros, la actitud más habitual hoy día, desgraciadamente, es la de negar la oposición entre la ciencia y la religión. Incluso hay quien trata de negar dicha oposición recopilando listas de los científicos creyentes del pasado (por ejemplo, 'Los científicos y Dios', escrito por Antonio Fernández-Rañada, al que se le olvida mencionar los riesgos que corrían quienes, en siglos anteriores, hicieran pública su incredulidad religiosa). Otros, como el periodista Abelardo Hernandez en el último número de la revista Año/Cero, no dudan en negar el conflicto ciencia-religión mediante datos falsos, por ejemplo incluyendo entre los "creyentes" a agnósticos como Darwin, Einstein, Heisenberg y Hawking.

------------------------------
"La religión no sólo es absurda, sino también dañina para la civilización"
Steven Weinberg

jose -

Cuando te tienes que examinar de algo, ese algo se vuelve realmente odioso. Por eso no soporto este post. :_(

Dem -

Otro genio que dedicó todo su ídem a demostrar la existencia de Dios fue Descartes :(
Tanta energía desaprovechada...

Al menos nos dejó el "cogito ergo sum" y el sistema cartesiano. Bueno y más cosas :D

TioPetros -

Abundando en lo anterior, y arrimando el ascua a la sardina del principio de no autoridad, seguiremos disfrutando con los logros intelectuales de aquellas personas que, aparte de sus miserias personales, aportaron a la humanidad una pizca de luz, en esa tarea sin fin de eliminar las tinieblas de la ignorancia, con independencia de cómo fueron en sus vidas privadas.

No obstante, no conviene olvidar que en el fondo, todos estamos hechos de la misma pasta, y el genio participa de su condici´n humana en todos los demás aspectos...

TioPetros -

Estoy totalmente de acuerdo contigo, Holbach.

Nos gusta ver a los genios como personas íntegras y perfectas, cuando no es así en absoluto.

Newton, aparte de su credulidad en temas religiosos e incluso astrológicos, debía ser un verdadero hijo de puta.
¿Qué le vamos a hacer?
Lo he repetido muchas veces: la ciencia es tarea de Hombres, y los homrbes hombres son, con sus grandezas y sus miserias... igual que los bloggers. ;)

Holbach -

A mí lo que más me asombra de Leibniz es su credulidad religiosa. Claro que lo mismo se puede decir de Newton, el mayor científico de la historia. Supongo que todos somos hábiles en algunos campos y torpes en otros. Sin ir más lejos, en cuestiones matemáticas yo también parezco un niño pequeño ;^)

TioPetros -

Decididamente, creo que Leibniz no tuvo un golpe de suerte, sino que sabía perfectamente por dónde iba. El paso de dividir por dos la serie no es sino la consciente preparación para lo que viene después.

Sea An el n-ésimo número triangular.
An =1+2+3+...+n=
(1/2)n(n+1), como todo el mundo sabe.
Su inverso 1/An =
2/(n(n+1)), que lo podemos poner como (x/n)+y/(n+1), maniobra habitual para expresar una francción con denominador complecado en la suma de dos fracciones con denominadores más simples.
Una simple igualación de ambas expresiones nos da:
x=2, y=-2, con lo que:
1/An =2/n - 2/(n+1), que es lo que queríamos demostrar. Dividir la serie original entre dos sirve para eliminar esos doses de los numeradores desde el principio...

TioPetros -

Sí, Dem. Podemos demostrar sin ningún problema que los inversos de los triangulares cumplen dicha pauta. La demostración es muy sencilla y Leibniz pudo hacerla, de forma que no hubiera habido suerte en tal caso, pero me temo que nunca lo sabremos.

Dejo dicha demostración de momento para que os animeis a pensarla. En unos días, la pongo. ;)

Dem -

"Les espero"
Ni mucho menos, maestro. Nosotros te esperamos a ti :D

¿Hay alguna pauta en los número triangulares que permita saber con seguridad que sus inversos son de la forma de diferencias que él supuso?

TioPetros -

Pues puede ser, Cek.
Pero ya sabes lo que pasa; cuando uno tiene suerte en muchas ocasiones, suele ser porque por detrás hay muchas horas de trabajo y una mente despierta...;-)

Cek -

Muy interesante, pero creo que lo averiguó con un poco de suerte :P
¿Y esta publicidad? Puedes eliminarla si quieres