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Tio Petros

La Alhambra y el Teorema de Fedorov

La Alhambra y el Teorema de Fedorov Un mosaico es una composición con losetas que reproduce un paisaje o una figura. Cuando las losetas llenan el plano basándose en simetrías, desplazamientos y rotaciones, estamos ante un mosaico geométrico. De estos últimos vamos a hablar ahora.
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Para rellenar un plano con losetas (teselar el plano)de forma periódica, existen cuatro estrategias:

1.-Traslación. Es como si la nueva loseta que añadimos fuera una anterior desplazada a una nueva posición sin giros de ningún tipo.
2.-Rotación. La nueva loseta surge por el giro de una anterior con centro en algún punto determinado y con un ángulo concreto.
3.-Reflexión. Cada loseta nueva es la imagen especular de una anterior, con un eje de simetría dado.
4.-Simetría con deslizamiento. Se trata de una reflexión seguida de una traslación en la dirección del eje de reflexión.

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Estas cuatro estrategias se denominan movimientos en el plano, y son isometrías: conservan las distancias. Los dos primeros conservan la orientación( movimientos directos), y los dos últimos la invierten (movimientos inversos). Esto es importante, porque cada loseta puede tener dibujos asimétricos que hagan variar la composición.

Estas transformaciones se combinan entre ellas dando lugar a estructuras algebraicas que se denominan grupos de simetrías, en este caso Grupos cristalográficos planos . Pues bien, Fedorov demostró en 1891 que no hay más de 17 estructuras básicas para las infinitas decoraciones posibles del plano formado mosaicos periódicos. Son los 17 grupos cristalográficos planos. Cada uno de ellos recibe una denominación que procede de la cristalografía, y se pueden clasificar según la naturaleza de sus giros.

Los 17 grupos de simetría del plano se pueden agrupar los en cinco apartados, según el orden máximo de los giros:

- Grupos de simetría sin giros: 4 grupos de simetrías..
- Grupos de simetría con giros de 180º: 5 grupos de simetrías.
- Grupos de simetría con giros de 120°: 3 grupos de simetrías
- Grupos de simetría con giros 90°: 3 grupos de simetrías.
- Grupos de simetría con giros de 60°: 2 grupos de simetrías.


Los árabes fueron unos excelentes creadores de mosaicos geométricos. Dado que su religión les impedía dibujar personas o animales; su creatividad se decantó hacia la caligrafía y los dibujos geométricos, en los que alcanzaron cotas de belleza y complejidad difícilmente superables. Los creadores de los mosaicos de la Alhambra no podían conocer el teorema de clasificación de Fedorov, y por lo tanto no conocían cuántos grupos de simetrías podían usarse para rellenar el plano con losetas (teselación del plano), por eso resulta impactante que conocieran todos y cada uno de los 17 existentes.

Efectivamente, todos ellos están representados en los variados y bellísimos mosaicos de la Alhambra. Abundan los que tienen giros de 90º mientras que algunos grupos aparecen escasamente, pero absolutamente todos están representados.

Aquí teneis una excelente oportunidad de ver con más profundidad la estructura de cada uno de los diecisiete grupos de simetrías planos.

Todo lo relatado en este artículo se refiere a telesaciones periódicas del plano. En los últimos tiempos se han descubierto novedosas maneras de telesar un plano por procedimientos no periódicos, de la mano del famoso matemático y especialista de la relatividad general Roger Penrose , autor además de algún que otro best seller como La mente del emperador . Otro día hablaremos de ello.

Por cierto, la lista completa de los grupos es la siguiente:

p1: Dos traslaciones
p2: Tres simetrías centrales (o giros de 180º)
p3: Dos giros de 120º
p4: Una simetría central (o giro de 180º) y un giro de 90º
p6: Una simetría central y un giro de 120º
pm: Dos simetrías axiales y una traslación
pmm: Cuatro simetrías axiales en los lados de un rectángulo (p.e. 2 horizontales y 2 verticales)
pmg: Una simetría axial y dos simetrías centrales
cmm: Dos simetrías axiales perpendiculares y una simetría central
p31m: Una simetría axial y un giro de 120º
p3m1: Tres simetrías axiales en los lados de un triángulo equilátero (ángulos 60-60-60)
p4g: Una simetría axial y un giro de 90º
p4m: Tres simetrías axiales en los lados de un triángulo de ángulos 45-45-90
p6m: Tres simetrías axiales en los lados de un triángulo de ángulos 30-60-90
cm: Una simetría axial y una simetría con deslizamiento perpendicular
pg: Dos simetrías con deslizamiento paralelas
pgg: Dos simetrías con deslizamiento perpendiculares

Y no hay más. Lo dice el Teorema de Fedorov de clasificación de grupos cristalográficos planos
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35 comentarios

ane -

pues no es ke me aya gustado mucho.Pero una pregunta,porke en todos los sitios poneis el mismo texto?????'

kamila -

olaaa bueno yo no se nada de los mosaicos pero me gustaria decirle algo a todos nosean tan estupidos
k ponen mierda y waa mejor si no saben nada no mande nada aci de simple okeii

un saluos pa las the artistas ladyss del 27/38 cpc
k saen las pollas de nuestras vidaa no le emvidiamos a nadien las maravillas chabelaaa

catalina -

es como figura de triangulos k es posible k las figuras tengan un significado...

shinitha de las artistas ladys

jordi -

Es curioso eso de que digas "no conocían cuántos grupos de simetrías podían usarse para rellenar el plano con losetas, por eso resulta impactante que conocieran todos y cada uno de los 17 existentes."

Para mí, eso es un poco como si dijésemos que "Colón no podía saber que navegando hacia el oeste se llegaba a América, por lo tanto resulta impactante que conociese que navegando hacia el oeste se llegaba a América".

Primero, eso no me "impacta" para nada. Segundo, Colón no se enteró en toda su vida de que había descubierto América. Creía que había llegado a la China.

Desde luego, con eso no quiero decir que lo que hizo Colón no tuviese mérito. Pero de eso de que "es impactante que conociese", nada.

pene agudo -

me gusta tu xoxete que tienes como alambra me pone tela y me gusta tirarme a tu esposa q ademas de saber usar la boca para ablar la sabe usar para dar mamasos que no vea me imagino como novio sullo sabras lo q es;)

mu wapa la pagina;)

nayara -

yo necesito ayuda, porque recientemente visite la alhambra y me dijeron que en un mirador hay un mosaico que contiene un poligono de 9 lados y, segun mi profesor, es el unico mosaico conocido que lo tiene, pero en aquel momento nadie lo encontro. ¿Podeis decirme donde esta o poner alguna foto en la que se vea este mosaico? Muchas gracias, la pagina genial!!

Antonio -

Estoy interesado en la bibliografía clásica y más reciente sobre los 17 grupos de simetría y su incidencia en el mundo árabe, arte mudejar, etc.

Cristina -

Para quem só vê novelas: continuem no vosso mundinho pequeno...a ver novelas!

Cristina -

Gostei muito desta página.
É muito interessante!
Muitos Parabéns!!

Adrian -

En general esta muy bien, pero me gusta mas las peliculas de Lucia Lapiedra

GUARRILLA -

VAYA MIERDA

patricia -

la alhambra y las matematicas tienen en comun q las hicieron los arabes solo eso

marina -

me gustaria saber q tiene q ver la alhambra con las matematicas,aparte de q las crearon los arabes

Rodrigo -

Si, lindos mosaicos, pero hay que dar a conocer la realidad, la alhambra es un castillo, pero no es gran cosa, no se compara con los castillos de gran betraña, además que no es una obra de los españoles,

finalmente es un monumento que nunca estará a la altura de los monumentos de agipto y américa,

la alhambra está nominada para ser una de las siete maravillas..., de sólo pensar en que esta salga como una de las siete maravillas..., estas serian de "QUINTA"

Asi que por respeto a otras obras monumentales, creo que la gente no considera a esta obra como merecedora de tal titulo.

agustin -

la naturaleza es maravilloza , por que nos permite apreciar la vida en su mas grande expresion , expresarlo en el lenguaje matematico es una labor muy interesante por que nos permite demostrar sucesos que ha simple vista no son observados

Carlos Chilensis -

Gracias Dios por habernos dado a pocos el don de disfrutar (entender)la matematica de las cosas simples y bellas. Para los demas existen buenas novelas... y TV.

melissa -

q tonta es esta web no tiene nada productivo

pla -

ola

karenkima -

hola, kisiera saber donde puedo enkontrar mas informacion sobre mosaikos, el teorema de fedorov y en especial sobre la geometria en el arte islamiko. alguien sabe de algun libro interesante ke me pueda proporcionar lo ke busko?

si alguien me puede ayudar aki dejo mi mail: martinowa@hotmail.com...
gracias de antemano

Ana Hidalgo García -

Trabajo en un instituto y quiero trabajar los mosaicos de la Alhambra con mi alumnado.Me interesaría algún texto donde se identifiquen los 17 grupos cristalográficos en los mosaicos de la Alhambra.Gracias,Ana

pedro vazquez -

putos hijos de perra no encuentro nada de dibugos ya me voy al baño a masturbar.

luis -

hola estoy buscando informacion sobre los mosaicos de la alhambra podriais poner informacion

José Quintana -

Según dice en este blog, los 17 grupos de simetría del plano se encuentran todos representados en los hermosos alicatados de la Alhambra de Granada. ¿Están localizados estos grupos en el monumento? ¿Cómo podría contactar con usted?
Un saludo y enhorabuena por el blog.

laura -

A esa persona a la que no le gustan las matemáticas: lee lo que tienes delante, dedicale un poco de estudio y tiempo y veras como al final quedas enganchado. o soy matemáticay en la carrera no me habian mencionado nada de esto, y al descubrirlo he quedado enganchada al tema.

Carmen -

Soy una chica estudiante de arquitectura... he estado haciendo una especie de investigacion matematica sobre la complejidad del arte arabe... y esta pagina es la mejor que me he encontrado en TODA la internet!! Felicidades!! y muchas gracias, me sirve de apoyo a mi estudio.
Si estas interesado en conocer mis conclusiones sobre este tema para quizas incluir mas en tu web, solo escribeme...hay mas teoremas que se deducen de este tema...
Saludos!

ana -

Encontramos su página muy interesante. Buscamos el teorema y comentarios de Fedorov de clasificación de grupos cristalográficos planos. Muchas gracias.

Anónimo -

paz paez adelis -

les agrazdesco, que me envien
a mi correo electronico lo que tenga de riemann y su hipotesis, he leido varios articulos de ustedes son buenos y pedagogicod

guillermo -

En realidad lo que yo estaba buscando era una demostracion mas formal de Fedorov.
Pero no importa la pagina está muy buena
chau!!

alexander martinez -

Por favor necesito que se me ayude en encontrar ejercicios en los cuales se vea la aplicación de las simetrias en las resolución de estos , pero necesito ejercicios que sea dados a alguna rama de las matemáticas , como a las ecuaciones diferenciales u otra rama. Las necesito urgente son para el proyecto de grado , por si al caso me pueden ayudar enviarlo a mi correo.
GRACIAS

jota -

las matematicas es un mundo maravilloso que hay que abrir a todo el mundo de una forma mas atractiva

clara -

no encontre lo que buscaba que era mosaicos en el plano,
la pagina es interesante.

Laespo -

Hace tiempo que me rondaba la cabeza la idea de expresar por escrito mi admiración por tu blog. Quizás te suene algo absurdo ya que te lo puedo decir a viva voz por ser la persona con la que compartes tu vida pero pienso que es mi obligación darte las gracias por el excelente trabajo que estás llevando a cabo, no sólo conmigo, sino con otras personas que, como yo, teníamos un concepto erróneo, equivocado de las matemáticas. Como bien sabes, no me hubiera imaginado nunca que pudiera encontrar la belleza en ese campo de conocimiento y, sin embargo, gracias a tí y a esa forma tuya de abrirme los ojos ante ese mundo desconocido y muchas veces rechazado puedo disfrutar de ciertos descubrimientos que me asombran como a una niña y que nunca hubiera tenido sin tí.
Gracias.

Rañel -

Pues lo repito: no me mueven mucho las matemáticas, pero me está gustando tu blog...

Amanda -

Arghhhhhh, pol dios!!
Pero qué hago yo aquí?¿
He leído Alhambra y ya he llegado presta y veloz.
Pero cuál no es mi sorpresa al encontrarme ante una pag matematiquera; lo que más odio en el mundooooooooo!!
He caído en la trampa, he caído.
Saludos.
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