Raíces cuadrada y cúbica a mano

Tenemos a continuación una colaboración de lujo de Jorge Alonso , que nos explica el algoritmo razonado de la extracción de raíces cuadradas a mano, para proseguir con el de... ¡las raíces cúbicas!. Estas últimas vendrán en el post siguiente.

Tio Petros

1. INTRODUCCION

En la escuela me enseñaron a extraer raíces cuadradas manualmente. A mi padre, también le enseñaron a extraer las raíces cúbicas. A ninguno de los dos nos explicaron por qué funcionaban ambos algoritmos.

2. RAIZ CUADRADA

Vamos a ver cómo extraer la raíz cuadrada de un número, y lo haremos a través de unos ejemplos.

2.1. Raíz de 2911

Queremos hallar la raíz cuadrada de 2911. ¿Cómo podríamos hacer?

Para empezar, ¿cuántos dígitos tendrá su raíz? El número más pequeño con dos dígitos es 10, y su cuadrado es 100; 2911 es mayor que 100, por lo que tendrá, al menos, dos dígitos. El número más pequeño con tres dígitos es 100, y 100² = 10000 > 2911. En conclusión, la raíz es de dos dígitos, que podemos escribir como 10a+b.

¿Es 2911 un cuadrado perfecto? No lo sabemos, pero podemos suponer que no lo será, con lo que podemos escribir:

2911=(10a + b)² + r

Al final, si es un cuadrado perfecto, obtendremos r=0. ¿Cuántos dígitos tendrá r? Quizás uno, quizás dos; no podemos decirlo.

Expandimos el cuadrado de la expresión anterior:

2911=100a² + 20ab + b² + r

y vemos que 2911 tiene como sumando principal a 100a², lo que nos lleva a pensar que

deduciendo que a=5.

Entonces, 2911-100a² = 2911 - 2500 = 411.

El siguiente paso será hallar b. Hasta ahora tenemos que

411 = 20ab + b² + r

y podemos estimar el valor de b dividiendo la igualdad anterior por 20a:

Así que:

Probamos este valor de b en

411 = 20ab + b² + r = b(20a+b) + r

obteniendo

411 = 4(20·5+4)+ r = 416 + r

que nos lleva a que r tiene valor negativo, lo que no puede ser. Entonces b no puede valer 4; veamos con b=3:

411 = 3(20·5+3) + r = 309 + r

Lo hemos logrado! El valor de b es 3, y el de r es 411-309=102:

2911=(10a+b)² + r = 532 + 102

Todo este procedimiento suele escribirse en una forma más compacta, conocida por todos:

2.2 Raíz de 291134

En base al conocimiento anterior, vamos a calcular la raíz cuadrada de 291134.

De forma análoga, deducimos que el número de cifras de la raíz es tres. Expresémoslo igual que antes, pero ahora con a representando un número de dos cifras:

291134=(10a + b)² + r = 100a² + 20ab + b² + r

Al igual que antes vemos que 291134 tiene como sumando principal a 100a², lo que nos lleva a:

es decir, a=53 como ya averiguamos en los pasos anteriores.

Para b, aplicamos justamente el mismo método que antes, lo que nos lleva a:

En general, como no conoceríamos la raíz cuadrada de 2911, haríamos el procedimiento al completo:

conclusión: 291134=539² + 613

2.3 Raíz de 2911,34

Y ¿cuál es la raíz cuadrada de 2911,34? Podemos escribir

con lo que

2911,34=53,9² + 6,13

Esto no es ni más ni menos que aplicar el procedimiento conocido, teniendo presente la posición de la coma decimal:

2.4 Raíz de 29113

En este caso la raíz tiene tres dígitos, pero al buscar el valor de a nos encontramos con que

con lo que no nos sirve lo calculado hasta ahora. Hay que aplicar todo el procedimiento desde el principio:

2.5 En conclusión

Como se puede observar, el número de dígitos de la raíz es igual a la mitad del número de dígitos del radicando, redondeando hacia arriba. Para esto, dividimos el radicando en grupos de dos cifras, empezando por la derecha. Después, hallamos la raíz cuadrada del primer grupo (de la izquierda), que será el valor a. A partir de entonces se aplica siempre el mismo método de hallar b con cada nuevo grupo. Para los decimales de la raíz, se bajan grupos de dos ceros en el radicando.

Como hemos dicho al inicio, en el próximo post hablaremos del algoritmo de extracción de las raíces cúbicas a mano

30/08/2005 11:44

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Autor: omalaled

Es una de aquellas cosas que haces mecánicamente en ya no recuerdo qué curso de EGB y que tenía olvidada.

No entiendo por qué en su día no me explicaron esta razón. Creo que hubiera sido mucho más pedagógico.

Espero con ansias el de las raíces cúbicas.
Saludos.

Fecha: 31/08/2005 14:33.

Autor: Luis

Porque se aprende lo que es una raíz cuadrada antes que el álgebra, y sin álgebra no es posible esta explicación.

Fecha: 01/09/2005 08:07.

Autor: omalaled

Andá, pues es verdad ... Ni me acordaba de ello.
Saludos

Fecha: 01/09/2005 11:47.

Autor: samu

con lo facil que es olvidar este metodo, seguro que ahora que nos paramos a pensar el porque, ya no se nos olvida !!!

muchas gracias Jorge Alonso !

Fecha: 02/09/2005 10:38.

Autor: Luis

En el curso de ingreso a la facultad teníamos un compañero de apellido Funes. Como varios de nosotros habíamos leído a Borges no tardamos en llamarlo "El memorioso Funes". Una mañana nos enseñaron a sacar raíces cuadradas, cosa que todos habíamos visto ya en el secundario pero sólo uno de nosotros recordaba cómo hacer... ¿Quién?... Sí... Funes :-)

Fecha: 05/09/2005 01:42.

Autor: Anónimo

Fecha: 19/09/2005 03:06.

Autor: jesus

pongan muchos ejemplos

Fecha: 19/09/2005 03:52.

Autor: Panzer_SS(KNITO)

Explica un poco mas facil y mas corto , y pon los nombres de los metodos por favor

Fecha: 13/10/2005 22:11.

Autor: julio

esto n ay qien lo aga es 1 autntica mierd

Fecha: 17/10/2005 17:43.

Autor: pepa

q era brom yo lo q qiero es sabr como se acn cn decimals al akbarl

Fecha: 17/10/2005 17:45.

Autor: cesar

la neta carnal me enrede mas con esa explicacion

Fecha: 18/10/2005 20:16.

Autor: gauss brusss

eso es muy facil seria mas interesante una generalizacion para raiz n-esima.ya q yo ya la haye hasta de grado 3 hace tiempo.

Fecha: 21/10/2005 20:25.

Autor: almamena_99

Que padre pero no lo entendi, pero lo seguire intentando.

Fecha: 24/10/2005 00:15.

Autor: hesler

como arias para ayar la raiz cubica de -10

Fecha: 22/11/2005 02:30.

Autor: Alguien

Alguien sabe como poner el signo de raiz cuadrada en el pc?

Fecha: 27/11/2005 20:18.

Autor: calculadora

Y los decimales?

Fecha: 01/12/2005 17:42.

Autor: daniel

la neta no le entendi ni madres

Fecha: 06/12/2005 20:30.

Autor: alejandro

como puedo hacer una ecuacion

Fecha: 29/12/2005 18:58.

Autor: silvia

y si la como va al pincipio?
0,04

Fecha: 12/01/2006 18:39.

Autor: andrea

como sacarle raiz cuadrada a un numero negativo

Fecha: 06/02/2006 20:52.

Autor: Luz

Amigo explicas demasiado bien, que crees no entendi ni papa..

Fecha: 21/02/2006 00:35.

Autor: Jesús Méndez

andrea el algoritmo que Jorge Alonso expone es válido para Números Reales. La raiz cuadrada de -10 entra dentro del campo de los Números Complejos de tal manera que i=sqrt(-1) con lo cual, en el caso que tú expones, sqrt(-10)=i*sqrt(10)

Fecha: 07/03/2006 17:01.

Autor: coco

tu explicacion es una mierdaa.. asi q no escribas webadas ok.. webon

Fecha: 14/03/2006 01:22.

Autor: Patrick

¡Enfín matemáticas explicadas! Así podemos soñar al primero teorema que levará apellido español...

Fecha: 26/03/2006 12:40.

Autor: gonzalo

no cacho ninguna cagada de las raicez de mierda

Fecha: 28/03/2006 23:47.

Autor: pedazo

la verdad me parce una completa mierda lo que aqui exponen para que hijos de puta saber esto ademàs el carnal de esta pagina no tiene oficio ni yo tampoco por estar aquie escribiendo babosadas... ¬¬ ñ_ñ O_o :) ;) ^_^

Fecha: 30/03/2006 02:45.

Autor: michelin259

la madre buey me enrede mas con esa explicacion,, neta aprende a explicar¡¡¡¡¡¡¡¡

Fecha: 11/05/2006 00:30.

Autor: katherine

me parece que este tema es un poco dificil de entender, la verdad es que yo no pude entenderlo, pero la conclusión e un buen elemento en estos casos.
Gracias,
por ayudarme con la tarea de matemáticas

Fecha: 16/05/2006 03:46.

Autor: Anónimo

una pregunta como se averigua q una raiz cuadrada es correcta,antes sabia hacerlo pero se me olvido jeje por favor contestarme a mi email feli_suco@hotmail.com

Fecha: 18/05/2006 16:53.

Autor: anónimo

podrian poner las raices cuadradas con decimales?

Fecha: 29/05/2006 20:45.

Autor: Anónimo

no entiendo nada de nada

Fecha: 20/06/2006 16:12.

Autor: claudia

raiz cubica

Fecha: 16/07/2006 19:35.

Autor: miriam

las raices con nº ngativos no existen por si alguno no lo sabia

Fecha: 18/07/2006 09:22.

Autor: Mario

La explicación es excelente, soy un apasionado de las matemáticas y a parte de haber olvidado el método como todo el mundo, jamás había visto su demostración. Faltaría el paso n para tenerla por inducción, pero, qué mas da. Ánimo y a publicar mas cosas como esta.

Por cierto, a la gente que no les gusten las matemáticas, que se aburran, o que no entiendan lo que este señor expone, no seais tan ignorantes de postear mierda para quitarle prestigio. Un saludo.

Fecha: 20/07/2006 04:00.

Autor: guille

gracias, mañana tenia que dar una clase y me acaban de decir que tenia que esplicar raices, menos mala que has hache este texto.
gracias otra vez. sigue asi

Fecha: 27/07/2006 00:26.

Autor: gabriela

su pagiona es muy completa pero les falta las indicaciones de cual es el indice el radical,etc

Fecha: 01/08/2006 01:55.

Autor: gissela romero

yo la quiero hacer

Fecha: 15/02/2007 14:36.

Autor: Lili@n@

Porfa no te comas pasos nilos decimales y explica mejor dedònde salen los nùmeros, el resto estuvo chevere. gracias

Fecha: 22/02/2007 23:09.

Autor: Bollo

pon un chingo de ejemplos >

Fecha: 07/03/2007 22:19.

Autor: Ernesto David

Dame 3 ejemplos por favor...(elizabeth.lewest@gmail.com

Fecha: 11/03/2007 21:23.

Autor: kattia ruiz

hola hey gracias por la explicacion amigo
shido que bien con esta pagina hommy
estos que les pasa
elllos webones viendo tu explicacion y todavia se quejan
chessjejej
sige con la pag me encanto n_n
ciao

Fecha: 17/03/2007 22:12.

Autor: ezee

extraccion de la raiz cuadrada de un numero entero(Ej:1869) lo necesito para mañana
xfavor
graxiassss

Fecha: 24/04/2007 00:30.

Autor: nicole

que me manden ejercicios de matematicas de radicCION

Fecha: 23/05/2007 21:36.

Autor: anónomo

put more examples
please
thank you

Fecha: 06/08/2007 17:13.

Autor: Guillermo

Hola, pues la verdad que no pude entender muy bien esta materia pero de todas maneras muchas gracias...

SALUDOS

Fecha: 20/08/2007 04:54.

Autor: sofia

hola bueno lo que yo quiciera es si me pueden mandar un mail a sofi_bary_12@hotmail.com o por msn y explicarme como puedo CALCULAR la raiz...
gracias

Fecha: 20/08/2007 22:13.

Autor: Carlos Villalba.

Saludos hermano me parecio muy profesional tu explicación pero no logre captar muy bien será que existe otro metodo mas sencillo ya que no soy muy experto te agradeceria si me respondes a mi correo gracias. Ademas te felicito ok.

Fecha: 23/08/2007 02:43.

Autor: jose brian

quiero profesor q saques la raiz cuadrada de 3543
67254
40032
624538
874620

Fecha: 27/08/2007 15:43.

Autor: mauricio

hola tengo 12 años y quiero saver la raiz cuadrada de
226576
por favor

Fecha: 14/09/2007 03:02.

Autor: mauricio

profesor...
queria preguntar si puede dar clases por msn
respondame en un mensaje
mauri_losleones@hotmail.com
muchas grasias por su atencion ..
adios

Fecha: 14/09/2007 03:05.

Autor: anonimo

esto es una mierda y mas aun komo lo esplica ni pofesor de matematicas k sta amargado

Fecha: 08/10/2007 11:42.

Autor: NOELIA

esto sta mu bien pero ¿cómo se descomponen raice cuadradas?
ayudadme k lo tengo k hacer pa mañana

Fecha: 21/10/2007 12:02.

Autor: carlikos

oyes tio que no se te entiende nada pero nada de nada
si puedes explicate mejor¡¡

Fecha: 27/10/2007 21:10.

Autor: lola

ami se me a olvidado y aora nose ni hacerla y me ago un lio y xi alguien m pudiera ayudar mejor vale !!!

Fecha: 05/01/2008 12:45.

Autor: lara

hola a todos!!!
mira profesor o lo que seas ,yo estoy intentando captarlo y na de na sabes?
te doy mi msn y me escribes un correo respondiendome a la siguiente pregunta:
¿me puedes dar clases por msn?
estoy desesperda y necesito ayuda con las mates porque sino me arriesgo a repetir y no es agradable por la diferencia de edad.
por favor te ruego me respondas lo antes posible,porque sino no se que hacer.
Gracias y respondeme porfaaaaaaaaa.
bs ,lara.

Fecha: 13/01/2008 22:02.

Autor: lara

se me olvido darte mi msn: soy-canija@hotmail.com
porfavor respondeme a lo k te dicho

Fecha: 13/01/2008 22:06.

Autor: amilkar

como puedo sacar la raiz cubica con numeros negativos

Fecha: 04/02/2008 21:19.

Autor: Catalina

Di con tu página por que estaba buscando ayuda para sacar raices cuadradas o_O, siempre batalle con ellas u__u fueron una tortura en mi secundaria xD.
Y la verdad que yo si le entendí muy bien a las explicaciones, apliqué razonamiento y leerlo más de 1 vez, además de seguir los pasos ir resolviendolo a medida que lees... que creo que es lo que necesitan los chav@s qe te dicn que no entienden, tmb hay que ayudarnos u___u.
Te felicito, muchas gracias, gracias a ti descubrí un nuevo metodo... a mi no me lo enseñaron, pero con éste están muy sencillas las raices xD....
Muy interesante tu página :D

Fecha: 08/02/2008 06:30.

Autor: Diego

La raiz cuadrada de un número negativo no es que no exista, es que pertenece a los complejos. solo hay q hacer la raiz del positivo y poner una i al lado.
Y la raiz cúbica de un número negativo seguro que es negativa, para empezar. ademas es la raiz cúbica del número positivo cambiada de signo. esto los podeis recordar si pensais en las raices como exponentes del tipo 1/n y separais en factores.
En cuanto a la expliación, no es demasiado rigurosa y hay cosas muy cogidas por los pelos, pero para una aproximacion no es mal algoritmo.

Fecha: 11/02/2008 13:48.

Autor: Anonimo

no entendi nda!!

Fecha: 26/02/2008 03:34.

Autor: erika

tshdgfhjnrdjrfg

Fecha: 02/03/2008 17:35.

Autor: marcos

buenisimo le ayuda mucho a uno en una forma facil y sencilla gracias

Fecha: 25/03/2008 19:58.

Autor: lauura

nooo !!
yoo no le enteendii
solo tenia una peqeeñaa dudaa
porque lo abnia olvidado pero
esooo namas no !!
NO SIRVE
solo pedia algo simplee
noo tee enreedeesss wey

Fecha: 14/04/2008 03:09.

Autor: francis

exelente en verdad, aunq para la proxima en eapañol y que se le entienda mejor.

Fecha: 04/05/2008 00:29.

Autor: pepa

por que no asi algo mas largo.... necesito algo breve po

Fecha: 19/05/2008 00:19.

Autor: Fredy

encerio
aslo mas con
dibujos no se
invntate algo

Fecha: 27/05/2008 06:04.

Autor: mateo

agan una lista de todas las raises cuadradas

Fecha: 13/06/2008 01:29.

Autor: carmen

no entebdi ni j

Fecha: 17/07/2008 00:42.

Autor: Pancha

Yo lo que necesito son numeron más bagos recien estoy en quinto año y necesito buscar la raiz cuadrada de 16,28,90... pero no numeron tan altos ¿me entienden? espero que me entiendan y ahora hagan la explicacion con numeron más bajos.
Ah y ademas haganlo sin calculadora ¡¡¡por favor!!!

Fecha: 20/07/2008 16:59.

Autor: iTzEl EsTeFaNiA

NO pues La verDAD ESTA muy bien tu explicacion quisiera ver si podrias darme clases sobre raices cuadradas por msn mi correo es itz_est.194@hotmail.com. Sigue escribiendo mas cosas sobre raices cuadradas sin importar los comentarios negativos de los demas

Fecha: 21/07/2008 21:20.

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