Tio Petros

Segundo post de la serie, a cargo de Jorge Alonso.


En uno de sus libros, John Allen Paulos comenta de pasada un método para hayar una ley matemática que haga que el siguiente término de la sucesión sea el que queramos que sea. La clave se encuentra en que la serie de partida es una serie finita.

Para evitar una explicación farragosa, partamos de una serie inicial de tres términos

a, b, c

en la que queremos que el siguiente término sea d.

El término general será f(n); partamos de

f(n) = a + b + c

Cuando n = 1, esta expresión debe valer a, por lo que multiplicamos a los valores b y c por unos ceros camuflados:

f(n) = a + b(n-1) + c(n-1)

Para n = 2, debe cumplirse que f(2) = b

f(n) = a(n-2) + b(n-1) + c(n-1)(n-2)

Y lo mismo para n = 3:

f(n) = a(n-2)(n-3) + b(n-1)(n-3) + c(n-1)(n-2)

Aún no hemos acabado, ya que, por ejemplo, para n = 2 no obtenemos

f(2) = b, sino

f(2) = b(2-1)(2-3)

por lo que hay que dividir cada término por factores correctores:

f(n) = a(n-2)(n-3)/(1-2)(1-3) +
+ b(n-1)(n-3)/(2-1)(2-3) +
+ c(n-1)(n-2)/(3-1)(3-2)

Ahora sí que hemos obtenido una expresión f(n) que cumple con los términos iniciales. De forma análoga, podemos añadir nuestro nuevo término d:

f(n) = a(n-2)(n-3)(n-4)/(1-2)(1-3)(1-4) +
+ b(n-1)(n-3)(n-4)/(2-1)(2-3)(2-4) +
+ c(n-1)(n-2)(n-4)/(3-1)(3-2)(3-4) +
+ d(n-1)(n-2)(n-3)/(4-1)(4-2)(4-3)

Sabiendo este truco matemático ya no habrá serie que se nos resista, ni siquiera las que aparecen en los test de inteligencia.