Tio Petros

Pocos resultados hay en la teoría de la probabilidad tan globales, importantes y fáciles de entender (en su enunciado) como las Leyes de los grandes números. Sin embargo es muy corriente encontrar comentarios, razonamientos y anumerismos varios que demuestran que esta facilidad es engañosa.

Las leyes de los grandes numeros vienen a ser la justificación de la interpretación frecuentista de la probabilidad: si se realiza n veces un experimento y r representa el número de veces que se ha dado un determinado resultado, el cociente r/n tiende a estabilizarse alrededor de un punto p según va creciendo el número de pruebas,, que no es sino la probabilidad de dicho suceso.

Ilustraremos esto con el lanzamiento de una moneda, suceso simple donde los haya:

Los sucesivos resultados del experimento repetido n veces se pueden expresar mediante una colección de  n variables aleatorias X₁,..., X_n. Si no existe relación entre un experimento y los siguientes diremos que son independientes (sacar una cara a la cuarta tirada no influye en los resultados de las siguientes tiradas). En estas condiciones, las variables X₁,..., X_n tienen la misma distribución. Cada una de las X_i tiene, como variable aleatoria que es, una media y una varianza. Llamaremos E[X_i] a la media o esperanza de la variable X_i.

En estas condiciones, llamaremos en un alarde de imaginación media muestral a

Y_n= 1/n · (X₁+...+ X_n)

Es evidente que Y es también una variable aleatoria, que tendrá su media y su varianza.

Llamaremos a_n = E [Y_n] al valor esperado de la media muestral.

Diremos que una sucesión de variables aleatorias X₁,..., X_n cumple la ley fuerte de los grandes números cuando

Y_n - a_n → 0 casi seguro.

Dicho en lenguaje coloquial: la probabilidad de que Y_n diste de a_n un valor e tiende a cero al crecer n, por pequeño que sea e.

Los sucesivos teoremas sobre la ley de los grandes números no hacen sino investigar las propiedades (muy generales) que deben cumplir las variables aleatorias para que cumplan efectivamente la ley. Es importante resaltar que el enunciado anterior es un enunciado probabilístico sobre teoría de la probabilidad. Nos está hablando de una probabilidad asintóticamente nula para un suceso muy concreto relacionado con la media muestral de una colección de observaciones.

Esta ley es cumplida por la mayoría de las variables aleatorias usuales, “de buen comportamiento”, y nuestro experimento de lanzamiento de monedas la cumple, entre otros, por el llamado Teorema de Kintchine que dice que:

Si X_n es una sucesión de variables aleatorias independientes e igualmente distribuidas con media finita, entonces se cumple la ley fuerte para dicha sucesión de variables aleatorias .

El nivel de exigencia del teorema de Kintchine es realmente bajo: las variables deben ser independientes (un lanzamiento no influye en los siguientes), y las variables deben tener media finita. Hay versiones incluso más generales, que hacen que la ley se cumpla en casi todos los casos no patológicos.

En nuestro caso, dado que cada experimento tiene dos posibles resultados (cara o cruz, que asimilaremos a los valores 0 y 1 de las variables) con idéntica probabilidad, cualquiera de las X_i tiene una distribución de Bernoulli, con

P{ X_i = 0 } = 0.5

P{ X_i = 1 } = 0.5

Y por tanto E[X_i ] = 0.5

a_n = E[Y_n] = 1/n.( E[X₁ ]+ ... + E[X_n ] = (1/n) . (n/2) = 0.5

Luego en nuestro caso la ley fuerte de los grandes números nos indica que para n suficientemente grande, la probabilidad de que la media muestral se desvíe de 0.5 en una cantidad no nula es menor que cualquier infinitésimo e. No importa lo ínfimo de la desviación, si el número de pruebas es suficientemente grande, la media muestral caerá dentro del intervalo (0’5 - e , 0’5 + e ) .

Dado que estamos evaluando la esperanza de la variable [Y_n], media muestral; este resultado nos indica que la fracción de caras será el 50% del total, y cruces el otro 50% del total.

Otra forma de decir lo mismo es que el cociente del número de los resultados “cara” por el número de los resultados “cruz” se separe de la unidad tan poco como queramos, con sólo aumentar el número de pruebas.

¿Quiere esto decir que el número de caras y de cruces va a ser exactamente el mismo si tiramos un número enorme de veces (enorme y par)?

Pues no. No sólo no quiere decir esto, sino que la realidad es que la probabilidad de que los lanzamientos empaten decrece hacia cero con n.

Demostrar esto y comentar las implicaciones de la paradoja de De Moivre será objeto del próximo post.