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Tio Petros

La paradoja de De Moivre (1 de 2)


Cara o cruz 

Si lanzamos una moneda y anotamos el número de caras y cruces, progresivamente la razón de los dos números tiende a la unidad; y sin embargo la probabilidad de conseguir el mismo número de caras que de cruces tiende a cero. (Paradoja de De Moivre)


Pocos resultados hay en la teoría de la probabilidad tan globales, importantes y fáciles de entender (en su enunciado) como las Leyes de los grandes números. Sin embargo es muy corriente encontrar comentarios, razonamientos y anumerismos varios que demuestran que esta facilidad es engañosa.

Las leyes de los grandes numeros vienen a ser la justificación de la interpretación frecuentista de la probabilidad: si se realiza n veces un experimento y r representa el número de veces que se ha dado un determinado resultado, el cociente r/n tiende a estabilizarse alrededor de un punto p según va creciendo el número de pruebas,, que no es sino la probabilidad de dicho suceso.

Ilustraremos esto con el lanzamiento de una moneda, suceso simple donde los haya:

Los sucesivos resultados del experimento repetido n veces se pueden expresar mediante una colección de  n variables aleatorias X1,..., Xn. Si no existe relación entre un experimento y los siguientes diremos que son independientes (sacar una cara a la cuarta tirada no influye en los resultados de las siguientes tiradas). En estas condiciones, las variables X1,..., Xn tienen la misma distribución. Cada una de las Xi tiene, como variable aleatoria que es, una media y una varianza. Llamaremos E[Xi] a la media o esperanza de la variable Xi.

En estas condiciones, llamaremos en un alarde de imaginación media muestral a

Yn= 1/n · (X1+...+ Xn)

Es evidente que Y es también una variable aleatoria, que tendrá su media y su varianza.

Llamaremos an = E [Yn] al valor esperado de la media muestral.

Diremos que una sucesión de variables aleatorias X1,..., Xn cumple la ley fuerte de los grandes números cuando

Yn - an → 0 casi seguro.

Dicho en lenguaje coloquial: la probabilidad de que Yn diste de an un valor e tiende a cero al crecer n, por pequeño que sea e.

Los sucesivos teoremas sobre la ley de los grandes números no hacen sino investigar las propiedades (muy generales) que deben cumplir las variables aleatorias para que cumplan efectivamente la ley. Es importante resaltar que el enunciado anterior es un enunciado probabilístico sobre teoría de la probabilidad. Nos está hablando de una probabilidad asintóticamente nula para un suceso muy concreto relacionado con la media muestral de una colección de observaciones.

Esta ley es cumplida por la mayoría de las variables aleatorias usuales, “de buen comportamiento”, y nuestro experimento de lanzamiento de monedas la cumple, entre otros, por el llamado Teorema de Kintchine que dice que:

Si Xn es una sucesión de variables aleatorias independientes e igualmente distribuidas con media finita, entonces se cumple la ley fuerte para dicha sucesión de variables aleatorias .

El nivel de exigencia del teorema de Kintchine es realmente bajo: las variables deben ser independientes (un lanzamiento no influye en los siguientes), y las variables deben tener media finita. Hay versiones incluso más generales, que hacen que la ley se cumpla en casi todos los casos no patológicos.

En nuestro caso, dado que cada experimento tiene dos posibles resultados (cara o cruz, que asimilaremos a los valores 0 y 1 de las variables) con idéntica probabilidad, cualquiera de las Xi tiene una distribución de Bernoulli, con

P{ Xi = 0 } = 0.5

P{ Xi = 1 } = 0.5

Y por tanto E[Xi ] = 0.5

an = E[Yn] = 1/n.( E[X1 ]+ ... + E[Xn ] = (1/n) . (n/2) = 0.5

Luego en nuestro caso la ley fuerte de los grandes números nos indica que para n suficientemente grande, la probabilidad de que la media muestral se desvíe de 0.5 en una cantidad no nula es menor que cualquier infinitésimo e. No importa lo ínfimo de la desviación, si el número de pruebas es suficientemente grande, la media muestral caerá dentro del intervalo (0’5 - e , 0’5 + e ) .

 

Dado que estamos evaluando la esperanza de la variable [Yn], media muestral; este resultado nos indica que la fracción de caras será el 50% del total, y cruces el otro 50% del total.

Otra forma de decir lo mismo es que el cociente del número de los resultados “cara” por el número de los resultados “cruz” se separe de la unidad tan poco como queramos, con sólo aumentar el número de pruebas.

¿Quiere esto decir que el número de caras y de cruces va a ser exactamente el mismo si tiramos un número enorme de veces (enorme y par)?

Pues no. No sólo no quiere decir esto, sino que la realidad es que la probabilidad de que los lanzamientos empaten decrece hacia cero con n.

Demostrar esto y comentar las implicaciones de la paradoja de De Moivre será objeto del próximo post.



 

 



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6 comentarios

andres -

hola
bueno esa informacion que presenta esta mui completa bueno por mi parte esta completa o casi completa a lo que me sirve i me costara entender xD por que es mucho
bueno eso era chao

angelos -

es una nota este pragrama nosaben como ayuda ala comunidad

Farisori -

Hola Tío:

Acabo de leer esta semana el libro inspirador del nombre de tu blog. Ambos me han encantado. Soy estudiante de Informática, y mi área ya se ve venir como la computología, relacionada con lo que es matemáticas discretas.

Te agradezco de corazón que te des el trabajo (y el placer) de mantener esta fuente vigente.

chaito!
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GemMaths -

Hola Jesús, acabo de entrar por primera vez en en tu blog y me alegra ver que compartes temas que para mí son interesantes y por forma de explicarlas en la enseñanza obligatoria se dejan muy lejos, se deberían hacer más allegadas las matemáticas a los alumnos y que no las percibieran como tantos cálculos y números, si no como lo que son una gran complejidad de razonamientos.
Un saludín

TioPetros -

Hola Lior. EN la sección de "temas" de ésta bitácora encontrarás una serie de libros comentados someramente. Quizás sea de un interés.
Un saludo.

Lior -

Hola Jesús,
He encontrado tu blog por casualidad y me ha parecido muy ameno e interesante.
La pregunta que voy a hacer sé que puede estar fuera de lugar, pero no he encontrado ningun mail de contacto, ni nada que se le parezca. He intentado suscribirme a los grupos de yahoo pero no he podido, o sabido. Espero no molestar demasiado.
Tengo 24 años, y desde que recuerde la más matemáticas me han llamado mucho la atención. Debido a \"problemas\" personales no he podido dedicarle el tiempo que hubiera deseado. ¿Podrías tú o alguno de los que participa activamente en tu blog recomendarme un libro para empezar a relacionarme con las matemáticas (y no como lo hacía en el instituto ;) )?

Muchas gracias de antemano.
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