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Tio Petros

La paradoja de De Moivre (2 de 2)

En el post anterior vimos que cuando tiramos una moneda repetidas veces el cociente entre las caras y las cruces obtenidas tiende a la unidad. Más exactamente: dado un número ε , tan pequeño como queramos, la probabilidad de que dicho cociente diste de la unidad más de ε  tiende a cero al crecer n.

Lo vimos en el entorno de las leyes de los grandes números, y dijimos que en unas condiciones muy generales, las sucesiones de variables aleatorias cumplen dicha ley, que por otro lado es la que une la interpretación axiomática de Kolmogorov de la toería de la probabilidad, nacida de la teoría de la medida, con la interpretación frecuentista más intuitiva y universal.

A demás de ser la Teoría de la Probabilidad una parte importante y muy técnica de la matemática, existe una obvia cotidianeidad de sus aspectos más fundamentales con la vida actual de cada uno de nosotros. Todo el mundo entiende qué quiere decrie que un suceso tiene una probabilidadd dada, o al menos todo el mundo cree entenderlo. Lo que ocurre es que el anumerismo acecha detrás de muchas de las afirmaciones que se oyen en la calle, y éste es un terreno especialmente abonado para la proliferación de ideas anuméricas.

El teorema de Kintchine mencionado en el post anterior exige que una sucesión de variables aleatorias sea idénticamente distribuida (además de tener media finita). En estas condiciones se cumple la ley de los grandes números, y el cociente de resultados tiende con probabilidad uno a la probabilidad. Es importante entender que la condición resaltada es la usada en el teormea para la demostración, y que significa que todas las variables (todos los lanzamientos) son esencialmente idénticos. La moneda no tiene memoria, no sabe qué resultados se han obtenido anteriormente, ni existe ninguna ley de compensación que haga que tras diez caras sea más sencillo obtener una cruz. No hace falta en absoluto que tal ley de compensación exista para que las frecuencias de aparición se estabilicen alrededor de la probabilidad del suceso cuando aumenta el número de tiradas.

Ya lo he comentado en alguna ocasión: dos años de discusiones no fueron suficientes para convencer de ello a un jugador de lotería anumérico con el que compartía trabajo. Este pensaba que, ya que todas las terminaciones son igualmente probables y en media saldrán el mismo número de veces, si llevamos muchos sorteos sin que el número premiado acabe en cinco (por poner un ejemplo), la probablidad de que salga en el próximo es mucho mayor. Fruto de este tipo de creencias es la consideración de paradoja para la llamada "padadoja de De Moivre", que en realidad de paradoja no tiene nada, porque es extactamente lo esperable en ausencia de creencias anuméricas.

Repetimos el enunciado de la "paradoja":

Si lanzamos una moneda y anotamos el número de caras y cruces, progresivamente la razón de los dos números tiende a la unidad; y sin embargo la probabilidad de conseguir el mismo número de caras que de cruces tiende a cero.

Conseguir el mismo número de caras que de cruces (suponemos el núemro de lanzamientos n=2k par ) es un suceso cuya probabilidad no es muy difícil de hallar: Para empezar, con n lanzamientos tenemos 2n resultados posibles, al tener cada suceso dos posibilidades. Este es el número de ristras de n valores consecutivos "cara" o "cruz" posibles. Cuántos de estos tienen el mismo número de "caras" que de "cruces"?

Tenemos n=2k resultados individuales, que nos dan (2k)! permutaciones posibles. De los 2k resultados individuales k son iguales entre sí (caras), y los otros k restantes también (cruces). Cualquier permutación de los primeros k valores entre sí deja invariante el resultado, y lo mismo entre los k restantes. Dichas permutaciones lo son en número de (k!), luego el número total de resultados con igual número de caras y de cruces es (2k)!/(k!)(k!).

(2k!) es un número que crece muy rápido con k, pero si lo dividimos dos veces por (k!) la cosa crece más despacito. Dado que el número total de resultados es, como hemos dicho 2n = 22k, el cociente de ambas cantidades (2k)!/[22k(k!)(k!)] tiende a cero.

Demostrar esto no es difícil, si bien exige cierto cálculo de límites que no haremos aquí.

Así pues, la igualdad estricta de resultados es cada vez más difícil, mientras que el cociente entre ellos tiende a la unidad. De hecho, la tendencia a la unidad del cociente no implica la igualdad de resultados, ni ésta es condición necesaria para aquella, a pesar de las apariencias.

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10 comentarios

paula bresciani -

Mi pregunta es .¿qué pasa cuando la moneda que se tira está cargada?. ¿como resulta esto un juego justo?. Responder , porfavor.

jose -

Aunque amo las matematicas soy un empirista (no se si exista la palabra).

Me gustaria ver una grafica de una moneda lanzada al aire miles de veces y viendo la razon tendiendo a 1.

Se puede simular en un ordenador yo se pero yo hablo de hacerlo fisicamente y comparar con lo que el ordenador muestra.

magda -

Tio Petrus vuelvo por aquí, me resulta super interesante como se enganchan los jóvenes a tus propuestas, invitaré a mis alumnos a que te visiten
Saludos

Adrian -

Había un artículo sobre el tema en la revista investigación y ciencia del mes pasado (versión española de scientific american).
Lo explican bastante bien.

Os dejo una curiosidad:

Paper in Half 12 Times

http://pomonahistorical.org/12times.htm

jose -

¡arg! Un año empollando órdenes asintóticos y clases de complejidad para después leer que (2k)! "crece muy rápido" pero que lo otro ya "crece más despacito" xDD

Me encantan las entradas sobre probabilidad, bastante más interesantes que las clases que me dieron en su día. Aunque aquí no hay que cumplir un programa, claro.
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TioPetros -

Hola Samu. Celebro como siempre tus agudos comentarios.

La esperanza de Zn es cero, como no podría ser de otra forma. Valorando a +1 las caras y a -1 las cruces, Zn no es sino la suma de n variables, y por linealidad operador "esperanza" , tenemos que
E[Zn]=E[X1] + ... + E[Xn].

Cada uno de los sumandos es nulo por ser la moneda equilibrada, luego el total también.

Resumiendo y lo que pudiera parecer una nueva paradoja: el valor esperado (otro nombre de la esperanza matemática) de Zn es cero, a pesar de que este es un valor improbable.
Más aún: sigue siendo cero cuando crece n; a pesar de que con n grande la probabilidad de que Zn valga cero tiende a cero.

La sensaciçon de paradoja proviene del hecho de que pensamos que el "valor esperado" E[X] de una variable es el valor más probable, cuando perfectametne puede ser un valor incluso imposible. Se trata del valor medio de un número infinito de observaciones, simplemente.

Y nada más claro para verlo que un simple lanzamiento de una sola moneda, con esperanza igual a cero, que no se corresponde con ninguno de los dos valores posibles a obtener (cara=+1 ó cruz = -1)

Un saludo.

samu -

Ha se me olvidaba, y si consideramos la variable aleatoria:

Zn={nº de caras en n tiradas} - {nº de cruces en n tiradas}

Zn ----> ?

samu -

muy buen post,

por cierto no decimos que
a/b=1

sino que
a/b ---> 1

por lo que no tiene por que ser a=b

esto tiene que ver con las cantidades relativas, si tu tienes un millon de euros (=a) y yo tengo un millon diez mil (=b). Podremos creer que tenemos el mismo dinero (a/b~=1) sin embargo nada mas lejos de la realidad (a!=b)

Muchas gracias Tio Petros por volver !!!

TioPetros -

No, Anabel. No es así. Estamos hablando de cantidades que dependen de un parámetro (el número de pruebas n). Te pongo un ejemplo:

Imagínate dos funciones de n:

f(n)= n-a
g(n)= n+b.

Según n va aumentando, las contribuciones de a y b van siendo menos importantes a la hora de evaluar el cociente, de forma que dicho cociente es asintótico con la unidad.
Sin embargo la diferencia de ambas funciones no depende de n, y es constate e igual a (a+b).
¿Sí?


Anabel -

Tiene que haber algún error. Si el cociente de dos cantidades es la unidad (a/b=1) es que ambas cantidades son iguales (a=b).
Por lo tanto no puede ser que u diferencia sea distinta de cero.
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