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Tio Petros

Ampollas (2)

 

En los comentarios del post anterior se ve bien claro lo difícil de abordar un problema de probabilidad, por lo demás bastante simple.

Repetimos el enunciado del problema:

En una especie de macabro experimento del que somos las cobayas humanas, vemos como el experimentador escoge al azar entre dos ampollas idénticas llenas de líquido. Nos explican que una contiene un veneno mortal y fulminante, y la otra agua. La elección se realiza al azar. Dicha ampolla es introducida en una bolsa que ya contenía una ampolla, ésta última de agua pura.

Antes que nosotros, otra cobaya es obligada a elegir a ciegas una de las dos ampollas. La bebe y resulta ser inocua. Ahora nos toca bebermos a nosotros la otra.

La pregunta es la siguiente: ¿nuestra situación es igual, mejor o peor que si simplemente hubiéramos tenido que bebernos la ampolla primera, que tanto podía ser mortal como inocua?

 

Vayamos paso a paso explicando la situación, y empecemos por poner en común la nomenclatura:

 

Sea X la elección de la primera persona e Y la elección nuestra.

 

Llamamos ampolla 1ª a la que ya estaba en la bolsa: de agua pura, y 2ª a la introducida en segundo lugar: la elegida al azar entre dos, una mortal y otra inocua.

 

Nuestro resultado está afectado por lo que haya sucedido antes: no es lo mismo que el otro cobaya haya tomado la primera ampolla (en cuyo caso quedaría para nosotros la segunda, que puede ser inocua o mortal con equiprobabilidad), que la segunda (en cuyo caso quedaría para nosotros la primera, que es inocua con seguridad). Calculemos la probabilidad a priori de que salvemos la vida en la prueba.

 

Evidentemente P{X=1ª} = P{X=2ª}=1/2.

 

Ahora bien, las probabilidades condicionadas por la elección del primero son:

 

P{Y=inocua /X=1ª}= ½

 

P{Y=inocua /X=2ª}=1.

 

Así pues, la probabilidad (absoluta) de que salvemos la vida ( P{Y=inocua}) es:

 

P{Y=inocua}= P{Y=inocua /X=1ª}· P{X=1ª} + P{Y=inocua /X=2ª}· P{X=2ª}=1/2 ·1/2 + ½ · 1 = ¾.

 

Por lo tanto tenemos 3 posibilidades de 4 de salvar la vida., y por lo tanto ¼ de morir.

 

Hemos empleado el teorema de la probabilidad total:

Teorema de la probabilidad total

Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai), entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la expresión:

 

Otra forma de hacerlo es dividir el espacio muestral en subsucesos equiprobables y aplicar la regla de Laplace de dividir casos favorables entre posibles.

 

 

Efectivamente cuatro son los casos posibles: que nuestro compañero elija la 1ª siendo 2ª inocua, que elija la 1ª siendo la 2ª mortal, que elija la 2ª siendo ésta inocua y que elija la 2ª siendo ésta mortal. Él tiene una posibilidad de cuatro de morir: elegir la 2ª siendo ésta mortal; 1 de 4.

 

O si queremos, aún podemos calcularno de otra manera, haciendo uso del siguiente teorema:

Si dos sucesos A y B son independientes, entonces la probabilidad de que se den ambos es igual al producto de las probabilidades.

Para que muera el primer elector deben suceder dos cosas: A={que elija la segunda ampolla} y B={que la segunda sea mortal}. Ambos sucesos son independientes de probabilidad ½, luego la conjunción de ambas se dará con la probabilidad producto, que es otra vez ¼.

 

Así pues, ambos tenemos a priori la misma probabilidad de morir. Esto no debiera parecer extraño: una vez que el primero ha escogido, está clarificado qué ampolla va a tomar cada uno de los dos.

 

Ahora bien, en nuestro problema estamos preguntando por la probabilidad de que salvemos la vida una vez que sabemos que el primero ha salvado la suya. Ahora las probabilidades a posteriori cambian: sabemos que la posibilidad de que nuestro compañero haya tomado la 2ª, siendo ésta mortal no se ha dado, con lo que quedan tres únicas posibilidades, de las que una nos matará: nuestra probabilidad de morir ahora es 1/3, como había dicho Engineer en los comentarios del post anterior.

 

Aún así, nuestra situación sigue siendo mejor que si hubiéramos estado obligados a bebernos la ampolla inicial…

 

 

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22 comentarios

Quique -

Yo siempre digo lo mismo, como en el monty hall: coger papel y lapiz, esquematizar todos los casos como un arbol y convencerse por la evidencia.

Pensador Borroso -

En mi blog he puesto un problema parecido a este d elas ampollas (en realidad es un clásico): el problema de las tres puertas. Con ese problema se puede entender lo valiosa que la información que habitualmente desdeñamos

penitenciagite -

hola soy nuevo y por eso no he podido postear mi contestación hasta ahora. Discrepo de la solución a la que llegáis ya que creo que la probabilidad seguiria siendo 1/2. Creo que todo se puede reducir al dos sucesos:
1.QUe tengamos dos ampollas de agua
2.Que tengamos una ampolla de agua y otra de veneno.

Ambos suceso son equiprobables . Por tanto si la bolsa contiene dos ampollas con agua nos salvaremos, sin embargo, si tenemos la otra bolsa ya que estamos condicionados y el ha sacado la ampolla con agua solo podemos sacar la ampolla con veneno y por tanto según el teorema de probabilidad total

P(morir)=1/2(1/2)+1/2(1/2)+1/2(0)=1/2.



Sim0n -

Le damos una pequeña vuelta aclaratoria al problema.

¿Cual sería la probabilidad de salvarnos si la otra cobaya, que elige antes que tú, siempre eligiese la píldora del agua?

zootrasgo -

Aprovechando que hay un error en mi anterior envío (en el segundo "1/4" quería poner en realidad "1/3"). ¿La pregunta era si la probabilidad de morir es mayor tras la prueba de la cobaya respecto a antes de que la cobaya bebiese (1/3 frente a 1/4)? ¿O si la probabilidad de vivir es mayor respecto a elegir tomar la ampolla 1ª antes de meterla en la bolsa junto a la ampolla 2ª (1/3 frente a 1/2)?

zootrasgo -

Buenas, soy nuevo aquí.

Creo que lo entendí, pero es la conclusión lo que no entiendo, o quizá la pregunta.

Si la probabilidad de morir era de 1/4 (antes de que la cobaya tomase la suya) y ahora es de 1/4 , no estamos mejor ¿no? antes teníamos más probabilidad de vivir que ahora ¿qué se me escapa?

TioPetros -

Es que Ford Prefect es mucho Ford...

Me alegro de que lo hayas entendido.

luis -


Hola.

Por fin lo he entendido.

Con la última explicación de Ford Prefect finalmente he visto donde se me colaba el error.

Gracias.

Como últimamente las matemáticas las tenía bastante sedimentadas no terminaba de encajar todas las variables del problema.

De todas maneras prefiero polemizar e insistir antes que asentir sin convicción.

Gracias de nuevo.

Un abrazo a todos.

Ford Prefect -

Hola,

Creo que la confusión en este problema deriva del hecho de que hay 3 bolas, pero 4 posibilidades. Lo "natural" habiendo 3 bolas, sin no importa el orden, es que las posibles opciones sean 3. Sin embargo, este no es un juego simpe de 3 bolas: De entrada son dos juegos de 2 bolas que se juegan consecutivamente, y por otra parte la bola nueva del segundo juego es fija.

Todo ello hace que las posibilidades sean 4 y que ninguna de las bolas tenga la probabilidad estandar de 1/3 que inconscientemente le asignamos a un juego de 3 bolas.

En cierto sentido (especialmente del modo en que está planteado el problema) se parece a la ruleta rusa: Cada disparo/elección elimina posibildidades.

Veamos cuales son los casos posibles. Ya lo hizo el Tio Petros arriba, yo lo pondré a modo de tabla. Todos los sucesos son equiprobables:

cobaya - opciones
o - o, 0
0 - o, 0
o - o, 1
1 - o, 1

0 y 1 son las bolas de la primera elección, o (o minúscula) es la bola inocua que se introduce en la segunda elección.

La primera columna muestra las posibles elecciones que hace el cobaya. La segunda y tercera son las bolas que hay en la bolsa antes de cada elección.

Aquí es fácil ver que las probabilidades de cada bola son (50, 25, 25).

La confusión de luis, en mi opinión, se debe a que está tomando dos posibles sucesos (los dos primeros) como si fuesen uno solo. Cuando dice:

"Y en el caso que nos ocupa, la ampolla que queda veamos como puede ser: si la primera elección fue veneno, es obvio que es veneno porque él se ha salvado; si la primera elección fue agua, es obvio que será agua independientemente de cual haya elegido para salvarse."

Ese "independientemente de cual haya elegido", agrupa a los dos primeros sucesos.

Si volvemos a la tabla y analizamos la información que nos suministra el problema veremos que efectvamente se aprece a un disparo de la ruleta rusa.

El cobaya disparó ... y falló. La posibilidad que desaparece es la última, y ya solo nos quedan estas 3:

cobaya - opciones
o - o, 0
0 - o, 0
o - o, 1

No sabemos que suceso ha ocurrido realmente, pero lo que sí es claro (siendo los sucesos equiprobables, es que nuestra probabilidad de morir es de 1/3.

Un saludo,

luis -

Hola Jesús:
Partiendo de la base de que en algún lugar de mi silogismo pueda esconderse un gazapo voy a exponer mi idea.

Estamos de acuerdo de que a priori los 2 cobayas tenemos 1/4 de posibilidades de envenenarnos; eso es posibilidades apriorísticas.

Pero el escenario cambia cuando las posibilidades dejan paso a las certezas.

Si el cobaya que nos precede se envenena, la ampolla que queda tiene un 0% de posibilidades de envenarnos (no se comtempla la osmosis a través del vidrio). Esto parece claro, pienso yo.

Y en el caso que nos ocupa, la ampolla que queda veamos como puede ser: si la primera elección fue veneno, es obvio que es veneno porque él se ha salvado; si la primera elección fue agua, es obvio que será agua independientemente de cual haya elegido para salvarse. Por lo cual ahora todo se reduce a lo que pasó en la 1ª elección. Por tanto en mi humilde opinión yo tenía un 25 % de posibilidades de salvarme, pero sabiendo lo que ha pasado aquellas posibilidades, con las certezas que se han incorporado han cambiado.

Este mismo razonamiento lo has incorporado en alguno de tus comentarios.

Piensa en la famosa ruleta rusa, pero con alguna variante: repartimos 6 tiros con 5 balas de fogueo. Todos tenemos 1/6 de recibir un disparo a priori. Pero si vemos lo que está pasando nuestra cara puede pasar del pavor a la alegría. No cambian nuestras posibilidades, pero a medida que sabemos lo que pasa lo posible se contamina de lo cierto y lo modifica.

Un abrazo.

TioPetros -

Hola Luis:
Si ambos cogemos a la vez es lo mismo que si uno coge a continuación del otro. 1/4 de posibilidades cada uno. Una vez que sabemos que él se ha librado la cosa cambia, pero no cambia como tú dices.

No tenemos el 50% porque seguimos sin saber qué ampolla me tengo que beber yo. Si necesariamente fuera la que tanto pudiera ser agua como veneno, entonces sí sería un 50%; pero las cosas no son así. Igualmente probable es que él haya bebido la "problemática", dejándome a mi la inocua con seguridad. como no lo sabemosl debemos contabilizar ambas posibilidades.


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luis -

Sigo en mis trece. Veamos: si en este experimento cogemos el otro cobaya y yo una ampolla cada uno simultáneamente ambos tenemos 1/4 de posibilidades de elegir el veneno. Pero si él ha cogido una y se libra mis posibilidades a posteriori se han convertido en un 50% y si se envenena obviamente tengo un 100% a mi favor

TioPetros -

Hola maelstrom (siempre que leo tu nick recuerdo mis lecturas juveniles de Julio Verne).

Probabilidades a priori llamo a aquellas iniciales, sin conocimiento parcial del resultado. Si tenemos conocimiento parcial del mismo, el espacio muestral se reduce, con lo que las probabildiades cambian. Las que tenemos una vez dado ese conocimiento parcial, son las probabilidades a poteriori (una vez que sabemos que nuestro compañero ha tomado una ampolla de agua sin veneno. Imagínate que hubiera 100 ampollas, una de ellas con veneno y las demás inocuas. Tú eres el último en beber, y vas viendo cómo los 999 anteriores a ti van sobreviviendo todos. Cuando te toque a tí, el espacio muestral estará tan reducido que SABRÁS que tu ampolla es la mortal. Cada compañero que pasa la prueba modifica un poco la probabilidad a posteriori. Incluos podría pasar que uno sólo de ellos (si muere) dilucidara completametne todo el experimento, aclarando que todas las que restan son inocuas.

maelstrom -

No sé, TioPetros, se me escapa la lógica de tu razonamiento en el caso de A PRIORI, o quizás mejor debería decir que se me escapa lo que quieres decir con la notación que utilizaste.

¿Lo que quieres decir con A PRIORI es realizar la elección sin que sepamos si el cobaya que nos antecede ha escogido la inocua o la mortal? Así es la única manera en que lo entiendo para que el cálculo usado me sea lógico...

Tiopetros -

No es así, Luis.
Verás: Si vemos que nuestro predecesor se ha salvado, la probabilidad sería del 50% si supiéramos a ciencia cierta (cosa que no ocurre) que la ampolla que queda es la 2ª, porque el primer cobaya haya elegido la 1ª, pero pudiera ocurrir que fuera al revés (que haya elegido la 2ª, con la suerte de que guera inocua). Sólo tenemos la certeza de que nuestro predecesor se ha salvado, por lo que seguimos sin saber con qué ampolla tenemos que jugarnos la vida.
Sin embargo, tenemos más información que al principio. podríamos tener aún más información, si nuestro compañero hubiera muerto súbitamente, porque sabríamos con certeza que nuestra ampolla (la que debemos tomnar sin elección) es la de agua pura)...

Roberto -

Vaya, veo que había malinterpretado el enunciado, así la solución que di en la entrada anterior es totalmente errónea para este problema.
No hay duda que la naturaleza nos ha dejado algo discapacitados con nuestra mala intuición probabilística. Por lo menos ha dejado carentes a todas las especies.
Saludos.

luis -

No termino de entender lo de 1/3. Sigo creyendo que una vez que sabemos que nuestro predecesor se ha salvado y sólo queda una ampolla en la bolsa la cuestión se reduce al 50%. Si la que se introdujo en la bolsa era de veneno nos va a tocar y si no fue así nos salvaremos. No veo más opciones.

Luis -

Vaya, para una vez que recuerdo algo de matemáticas claramente, llego tarde.
En realidad es sólo probabilísticamente mejor, porque no es que ninguna de las opciones fuese buena :)

FordPrefect -

Encantado de tenerte de vuelta, Tio Petros.

Alberto

Santi -

Ah, ahora comprendo, muchas gracias. Había entendido mal el planteamiento del problema. Creía que los pasos de escoger al azar entre la del veneno y una de agua, y ponerla en una bolsa con otra de agua había que realizarlos siempre, no que en el primer caso sólo se elige entre una con veneno y una con agua. Muchas gracias, no me cuadraba nada. Un saludo

TioPetros -

La situación inicial era la que nos obligaba a tomar la única ampolla, con una probabilidad de 1/2 de morir. Como ahora es de 1/3, es una situación mejor.

Santi -


He seguido el razonamiento y estoy de acuerdo con él, pero no entiendo por qué, si la probabilidad a priori de tomar el veneno es 1/4 y la condicionada cuando sabemos que nuestro compañero ha escogido una inocua es 1/3, la conclusión es que "Aún así, nuestra situación sigue siendo mejor que si hubiéramos estado obligados a bebernos la ampolla inicial…".


Efectivamente esa es la conclusión de Engineer, pero él pensó que la probabilidad a priori era 1/2 y no 1/4.


Será al revés, ahora estamos peor porque hay más posibilidades de escoger el veneno (0'33 frente al 0'25 inicial). De todas formas, sigo pensando que da igual que elijamos el primero que en segundo lugar, ambos tienen probabilidad 1/4 para tomar el veneno. Si resulta que el primero escoge el veneno, luego la probabilidad condicionada de sobrevivir del otro sería 1, jugando sobre seguro.


Gracias por resolver el problema tan rápido. Un saludo
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