¿Qué es un número? (2)
Hemos prometido construir los números naturales desde la teoría de conjuntos. Decíamos que los axiomas de Peano eran las bases de las que surgían los naturales (los números que usamos para contar: el uno, el dos, el tres...). Dado que los axiomas no pueden ser demostrados sino que son el punto de partida de una teoría, parecía que toda la matemática partía de estos cimientos.Ahora veremos que con unos presupuestos mucho menores, somos capaces de construir los números naturales, y los axiomas de Peano pueden ser ahora demostrados como teoremas.
Debemos situarnos para comprender la magnitud de lo que deseamos: no podemos hacer referencia alguna a ningún número de ningún tipo, ya que aún no los tenemos definidos. Para nosotros ahora no existe ni siquiera el cero.
Utilizaremos únicamente dos axiomas de la teoría de conjuntos: el axioma de formación y el axioma de igualdad. Los tienen en el encabezamiento de este post. Estos dos galimatías son en realidad muy sencillos de entender: vayamos con el primero.
Lo podemos leer así:
Para toda descripción precisa A(x) existe al menos un conjunto y con la propiedad de que pertenecen al mismo aquellos y sólo aquellos objetos que hacen verdadera la descripción A(x) .
Para entendernos, una descripción precisa no es más que una afirmación que involucra a una variable genérica x. Introduciendo diversos objetos en la x, unos harán que la afirmación sea cierta y otros harán que sea falsa. El axioma de formación nos está diciendo que un conjunto es una colección bien determinadad de objetos.
El segundo lo podemos leer así:
Dados dos conjuntos x e y; si se cumple la condición de que un objeto cualquiera pertenece a x si y solo si pertenece a y, entonces resulta que los conjuntos x e y son iguales
El si y solo si , tan habitual en matemática pero tan extraño en el lenguaje corriente quiere decir que la condición es doble: un objeto pertenece a x si pertenece a y, y si no pertenece a x, entonces tampoco pertenece a y. En lenguaje ordinario, este axioma nos está diciendo que dos conjuntos son iguales únicamente en el caso de que tengan exactamente los mismos elementos.
Este es el momento de incidir en el hecho de que el axioma de igualdad nos asegura que el conjunto cuya existencia aseguraba el axioma de formación, es único para cada descripción. Esto es así porque si hubiera dos conjuntos para una descripción dada, ambos tendrían lógicamente los mismos elementos, y serían el mismo conjunto.
Estos son los presupuestos con los que vamos a contar. Mínimos realmente, verdad?
Examinemos cuál es nuestra situación actual, porque es muy fácil presuponer que ya poseemos cosas que aún no tenemos derecho a utilizar: sería hacer trampa.
Sabemos que existen unos entes llamados conjuntos que poseen (al menos) dos propiedades axiomáticas. No conocemos aún ningún conjunto concreto, ni tenemos la menor idea de lo que es un número. Pasamos a encontrar nuestro primer conjunto. Para ello tendremos, cómo no, que usar el axioma de formación (qué otra cosa podríamos usar, si no tenemos herramienta alguna aparte de estos dos axiomas???).
Usaremos la siguiente descripción precisa:
A(x) es la descripción que afirma de un objeto ser diferente a sí mismo. Puede parecernos una descripción sencillamente imbécil, pero es que con tan pocas herramientas, poco más podemos describir. Podíamos haber tomado A(x) como (x=x), entendiendo tanto ahora como antes que x es un objeto, pero esta descripción es bastante peligrosa por motivos que veremos.
En virtud del axioma de formación, dada una descripción tenemos un conjunto cuyos elementos son los que la cumplen:
Luego YA TENEMOS NUESTRO PRIMER CONJUNTO!. No es gran cosa, de hecho, este conjunto está vacío. Lo sabemos porque no necesitamos axioma alguno adicional, sino las leyes de la lógica para saber que todo objeto es igual a sí mismo, y por no tanto no exsite objeto alguno que cumpla la descripción dada.
Definiremos por tanto nuestro conjunto vacío de esta forma:
En virtud del segundo axioma, este conjunto está bien definido, pues no puede haber dos conjuntos vacíos diferentes: al no tener elementos, es trivialmente cierto que tienen todos sus elementos iguales, y por lo tanto existe un único conjunto vacío.
Edificaremos la matemática entera sobre el conjunto vacío, lo cual personalmente me parece de una belleza sublime con toques de budismo zen.
Eso será en el siguiente post, si ustedes quieren.
7 comentarios
Maira - Jainsa -
memnom -
Anónimo -
Anónimo -
Anónimo -
Shunt -
mig21 -
que bonito...
(ansioso hasta la siguiente entrega)
Saludos :)