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Tio Petros

Cuando no hay proporcionalidad

En muchos de los problemas con los que nos encontramos en la vida cotidiana, la proporcionalidad existente entre varios de los parámetros del problema nos permite emplear la técnica maravillosa de la regla de tres , ya sea directa o inversa.

No descubro nada nuevo si afirmo que la mayor parte de las veces, es un sexto sentido, una intuición la que nos dice si puedo o no emplear una regla de tres para resolver un problema. No será riguroso, pero al fin y al cabo, pocas veces nos confundimos, y ante problemas como el siguiente:

" Si Colón tardó tres meses en llegar a América con tres carabelas, ¿cuánto habría tardado llevando seis carabelas? "

a nadie se le ocurre emplear una regla de tres (espero)...

Demostrar que puedo emplear una regla de tres implica demostrar que existe una dependencia lineal, directa o inversa, entre las dos magnitudes o los dos parámetros que estoy utilizando. Cuando esto es así, la solución del problema es muy sencilla, si bien el interés matemático del problema será muy pobre. Cuando no es así, la resolución será más complicada (a veces mucho más complicada), pero el problema será más interesante.

Aún así, hay veces que sin existir proporcionalidad alguna aplicable la resolución sigue siendo sencilla. El único precio que hay que pagar es el de pensar el problema un momento y tener una chispa de intuición.

Ahí va un ejemplo de ello:

Tenemos dos mechas para explosivos. El fabricante nos asegura que cada una de ellas arde completamente en una hora exacta, pero el avance de la llama sobre la mecha perfectamente puede ser irregular: a veces se consume más rápido, y otras más lento.

Cómo haremos para cronometrar con las mechas un período de 45 minutos de tiempo? Tan sólo tenemos las mechas un encendedor y unas tijeras.
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17 comentarios

susan -

no vale una mierda

jose -

¡Es verdad!

TioPetros -

Veamos el fallo en tu anterior razonamiento: Sea una mecha tal que se consume casi toda en 1 minuto, menos un pequeño trocito que lo hará en 59 minutos. Cuando prendemos por ambos extremos, tras un minuto se ha consumido la mayor parte de la mecha; un gran trozo por un extremo y un trozo chiquitín por el otro. En este momento, tenemos el trozo pequeño (el que tardaba 59 minutos en consumirse) con un minuto consumido por un extremo, y recién empezado a consumir por el otro, que es lo mismo que tener un trozo que tarda 59-1=58 minutos recién empezado por ambos extremos. Dado que tardará en consumirse 58/2= 29 minutos, el tiempo total es de 29+1=30 minutos justos. Lo mismo que si la cuerda fuera homogénea.
Un saludo, jose.

jose -

Cortete que es uno.

Entonces el fallo en mi anterior comentario es...

TioPetros -

La última explicación de Goyo es perfecta, y espero que sirva para aclarar las últimas dudas y reticencias. Dada la irregularidad de las mechas, lo que no podemos adivinar es el punto en el que ambas llamas se encontrarán, pero sí podemos asegurar que lo harán en media hora, por los argumentos expuestos.

Goyo -

Imagina que prendes la mecha AB por el extremo A y la dejas arder durante media hora. Se habrá consumido hasta cierto punto C. Si ahora prendes lo que queda por el extremo C, se consumirá totalmente hasta B en otra media hora. Pero un trozo de mecha se consume en el mismo tiempo igual si lo prendes por un extremo o por el otro, de modo que si lo prendes por B arderá hasta C también en media hora. Entonces desde A hasta C se consume en media hora y desde B hasta C también en media hora. Si desde un principio hubieras prendido A y B se hubiera consumido totalmente en media hora acabando en C.

jose -

Si el avance de la llama es irregular, ¿por qué debe tardar media hora la mecha con dos llamas en consumirse?

Por ejemplo si sólo hubiera una llama, podría pasar que esta llama consumiera casi toda la mecha en un minuto y el pequeño trocito que queda aguantara 59 minutos (el avance es irregular). Entonces si ahora tenemos en cuenta que en realidad hemos encendido el trocito (es el otro extremo), la mecha ha ardido en un minuto (la llama del trocito puede arder lentamente)

Espero que haya gente amable que me lo aclare ^^

Anónimo -

Ups, justo al acabar de escribir he visto el fallo en mi razonamiento: EL fuego no se detiene en la mitad de la cuerda.
Siento el error
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Anónimo -

No lo veo nada claro. Si una de las cuerdas, que, por mala fortuna, es la que hemos encendido por los dos extremos, tiene un unico fragmento situado al principio que tarda 45 minutos en quemarse, mientras que el resto de la cuerda (por ejemplo, otros 3 fragmentos de igual longitud) se queman en 5 minutos cada uno, la cuerda tardara 50 minutos en arder y no 30.
Tendre(mos) que pensarlo mas.

Escéptico de Todo -

Lo bueno que tiene un blog sobre que no se centra en los comentarios de actualidad es eso, que no "pasa de moda".

Estoy por Mayo y dejo para mañana meterme en Abril y demás.

jezk -

Se me olvidó darte la enhorabuena por tu magnífica y entretenida página (¿o debo decir blog? - aún no sé lo que es un blog, tengo que investigar...).
Mi admiración por la gente que se toma el trabajo de ofrecer algo a los demás, sobre todo si va dirigido a nuestra parte no material. Gracias!

tiopetros -

Por suuesto, jezk: las tijeras estaban para despistar. :)))

jezk -

Solo un cabo suelto en la explicación del problema: las tijeras eran para despistar...

TioPetros -

Perfectamente biene explicado por Abel y Fordprefect. Respecto a los parámetros, también estoy de acuerdo con este último. De todas formas estaremos todos de acuerdo en que a veces, por abuso del lenguaje, utilizamos la palabra "parámetro" de forma un poco alegre.

Ford.Prefect -

Hola,

Abel está en lo cierto.

Es una cuestión de proporcionalidad. Con una mecha puede medirse una unidad de tiempo (si arde solo por un lado) o media unidad (si la quemamos por los dos).

El truco del problema está en usar una mecha para reducir la otra a la mitad. Así, con lo que resta de esta segunda mecha podremos medir media unidad de tiempo, o un cuarto de unidad si quemamos lo que resta por sus dos extremos.

De este modo, midiendo media unidad con la primera mecha y un cuarto con la segunda, tenemos:

1/2 + 1/4 = 3/4

Para Dob:

Un parámetro es cualquier magnitud independiente que pueda variar dentro de una ecuación.

En física es común llamarle (pseudo)constantes a cosas que en realidad no son constantes, sino valores empíricos.

Por ejemplo, la capacidad calorífica es un parámetro puesto que varía de una sustancia a otra. En cambio, no es (o no suele ser) una "variable", puesto que su valor no es discrecional como podría ser el de una distancia, por ejemplo.

Por otra parte, las constantes verdaderas (como la velocidad de la luz o la constante de gravitación) no se suelen considerar parámetros, pues sus valores son universales.

abel -

Si no fuera porque lo he visto este problema, ya unas cuantas veces, con ligeras variaciones en el enunciado. La primera vez, me dio mucho que pensar.
Pero ahora, es facil, sería:
Enciendo una mecha por los dos lados, y la otra por un lado.
Cuando se quema la mecha encendida por los dos lados ha pasado media hora. Entonces encendemos el otro lado de la mecha y arderá en un cuarto de hora.
La justificación matemática, se me escapo entonces, y se me escapa ahora.

dob -

¿Cortar la mecha a lo largo?
¿Preguntarle a un terrorista?
(me temo que el ejemplo se presta a bromas poco agradables)

Y por cierto, siempre que veo la palabra parámetro aplicada así (=variable) no puedo dejar de pensar que cuando yo estudiaba un parámetro era una constante. ¿Ya no?
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