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Tio Petros

Los Bernoulli y la serie armónica (1)

Los Bernoulli y la serie armónica (1) La semana pasada, hablando de Leibniz y de la serie de los inversos de los números triangulares, prometimos ver de qué manera Johann Bernoulli (el de la ilustración)había demostrado que la serie armónica era divergente (sumaba infinito).

Los hermanos Bernoulli son un tandem fraternal como los Wright, un dúo de grandes sin duda, pero que muchas veces se parecían más a los hermanos Marx que a dos colaboradores. Los celos entre ellos eran enormes, y provocó algunos sinsabores a la relación entre ellos.

Uno de los episodios más cómicos se refiere a la catenaria: curva que adopta una cuerda suspendida entre dos extremos. Galileo conjeturó (falsamente) que tal curva era una parábola, pero nunca pudo demostrarlo. Jakob, el mayor de los dos hermanos, pensó que los nuevos métodos del cálculus debidos a Leibniz y a Newton darían con la solución del enigma. Se dedicó con enorme ahínco al asunto, pero una y otra vez se estrellaba sin conseguirlo. Tras un año de esfuerzos sin resultado, se vió desagradablemente sorprendido con la noticia de que su hermano Johann, sin consultar con él, acababa de publicar la solución del asunto. El cabrón del hermano pequeño, dejaba escrito, para mayor gloria de sí mismo y escarnio de su hermano:

Los esfuerzos de mi hermano no tuvieron éxito; por mi parte tuve más suerte, ya que encontré la manera (lo digo sin vanagloriarme, ¿porqué tendría que ocultar la verdad?) de resolver el problema completamente... Es verdad que me costó una noche entera de esfuerzo que hube de robar al descanso...pero a la mañana siguiente, lleno de alegría, corrí a mi hermano que aún estaba luchando miserablemente con este nudo gordiano sin llegar a ninguna parte, siempre pensando, como Galileo, que la catenaria era una parábola. ¡Detente!, !detente!, le dije, no te atormentes más intentando demostrar la identidad de la catenaria y de la parábola, pues esto es totalmente falso

Hay que ser un cabronazo para resaltar que uno ha debido pasar toda una noche para conseguirlo, cuando tu propio hermano lleva un año intentándolo en vano...

Pues bien, este Johann es el que demostró que la suma de los inversos de los naturales (serie armónica) era divergente, y para ello se basó en los trabajos precedentes de su adorado Leibniz al respecto de los números triangulares.

Si les parece, explicamos en el próximo post qué relación encontró entre los números triangulares y la serie armónica. Explicaremos también porqué hoy tal manipulación no es considerada rigurosa, y dejaremos para un tercer post la demostración actual, simple y bellísima de la divergencia de la serie armónica.

Como muchas veces en matemáticas, la culpa la tiene el infinito.

Pero no adelantemos acontecimientos, que es mejor ir pasito a pasito.
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Al final, resultó como veis que el mismísmo Galileo se equivocó, y su conjetura era falsa: la catenaria no es una parábola, sino una curva que se parece mucho a una parábola: un coseno hiperbólico. La demostración de Johann Bernoulli la teneis
aquí
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2 comentarios

TioPetros -

Eso de que x tiende a infinito es algo complicado, verdad? De hecho, hoy no es una nomenclatura que se acepte como rigurosa. Hablaremos de ello muy pronto. Las definiciones épsilon-delta volvieron de nuevo, jejeje.

dorfun -

uf! el infinito!... mi primer trauma como "docente" fue intentar explicar a una alumna de segundo de bachillerato, qué era el infinito... (eso de que x tiende a infito!)
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