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Tio Petros

Un inciso respecto al rigor


Hace algún tiempo hablábamos de la aplicación del fracaso educativo en matemáticas, en este post.

A raíz de su publicación un lector; el Sr. Carlos Cabrera me escribió manifestando su sorpresa, o incluso su malestar por lo que entendía era un ataque al rigor bourbakiano. Sin embargo su escrito era absolutamente correcto, incluso cordial. Me brindé a publicarle una contraargumentación, cosa que hago ahora.

El Sr. Cabrera habla de intereses ocultos, editoriales y de políticas educativas, y me da la impresión de que sabe de lo que habla. Sin embargo yo, que no tengo intereses de clase alguna, ni me paga nadie, expresaba en el post que me parece preferible explicar a los niños las fracciones de forma que lo entiendan intuitivamente, y no como el conjunto cociente de los pares (a,b) de números enteros con la relación de equivalencia (a,b)R (a',b')si y solo si ab'=a'b. Explicaba que el rigor es imprescindible en la matemática, pero que dicha idea debía ser una idea de llegada, no de partida. Más que nada porque no todos los niños que estudian matemáticas van a ser matemáticos. Sin embargo hay otras sensibilidades, y la del Sr. Cabrera la teneis aquí expuesta tal y como él me la ha hecho llegar.

Creo entender que el malentendido parte de un párrafo de mi post; concretamente éste:

Ninguna otra disciplina de conocimiento humano se distingue por el rigor de forma tan absoluta como la matemática. Esto debe entenderse en sentido no excluyente por supuesto: nadie duda de que todas las disciplinas científicas deben estar dominadas por el rigor. Sin embargo, esta es, por así decirlo, la “marca de la casa” de la matemática.

No siempre ha sido así. El mismo Euler daba saltos en el vacío más de cuatro veces en sus demostraciones, (cayendo siempre de pie, como un gato, por cierto). En gran parte fue Nicolás Bourbaki el culpable. Este matemático ficticio de nombre extraño y obra enorme concibió la idea de dotar a la matemática toda de un rigor absoluto. En sus publicaciones, aboga por ello de forma vehemente. Tal rigor, sin embargo se convirtió en rigor mortis cuando fue trasladado a la educación de la matemática.


Y digo malentendido porque mi intención era expresar que ¡bendito culpable Bourbaki!, que dotó a la matemática del rigor actual. Otra cosa es el traslado vacuo de un rigorismo mal entendido a la educación secundaria con el resultado que todos conocemos. Supongo que este giro idiomático habrá confundido, debido sin duda a mi torpeza, a más de un lector.

A partir de esta frase el resto es del Sr. Cabrera:


Distinguido Tío Petros:

1) Ud. dice

"...sin embargo muchos piensan que parte del desastre educativo en matemáticas en las últimas décadas del siglo XX ha sido debido a la absurda idea de aplicar el rigor bourbakiano a la enseñanza secundaria."

pero no argumenta explícitamente en contra o a favor de lo que "muchos dicen".

Las citas a Valdéz, Tom, y Heaviside, invitan a suponer que, efectivamente, por la aplicación del rigor bourbakiano" a la enseñanza (¿secundaria? ) se ha dado el DESASTRE educativo de los últimos tiempos.

2) Permítame manifestar lo siguiente:

a) Como en una guerra, hay una “oposición” a la espera de cualquier error que cometa el “sector aliado” para así llevar “agua para su molino”.

b) El “bando enemigo” dispone de mucho dinero que le sirve para, por ejemplo, negociar la producción de textos y software de matemática o acerca de la matemática, a todo nivel (primario, secundario o superior).
Le aseguro que incluso Ministros de Educación han caído por enfrentamientos subsidiados por grupos de gran poder económico y editorial.

c) En una oportunidad, en un seminario, debí interrumpir a dos matemáticos. Algunos participantes les pidieron que opinaran respecto al rigor matemático en los niveles escolares (primaria, secundaria, superior).
Amablemente, los ponentes manifestaron su desacuerdo total con el uso exagerado de rigor en los diversos niveles escolares pero no se daban cuenta que el “rigor formal” en el que ellos pensaban no era el mismo que el que pensaban los participantes. Por supuesto, mencionaron varias veces, a Tom y muchos más, que condenaban la “rigorización bourbakiana”.
Pedí a los ponentes que aclararan qué entendían por: “rigor”, “formal”, etc. y les pregunté si conocían lo que “el auditorio” opinaba de dichos conceptos.

A mi turno, expliqué que la “rigorización bourbakiana”, nunca se ha aplicado en nivel educativo alguno. Para hacerlo o intentarlo siquiera, se habría requerido de un gran número de docentes familiarizados con Bourbaki y, como bien sabemos, ese gran número de docentes no existe ni ha existido jamás.

d) Las aclaraciones se dieron pero, una vez más, la duda se había incrementado…

e) Varias multinacionales buscan que se cree la necesidad de nuevo material educativo que, por supuesto, ya tienen disponible. En la mayor parte de los “nuevos” textos escolares se advierte que “recetarios” y “antiformalismo” están vigentes, y todo asomo de rigor es “rigor mortis”.

f) A nivel de “política educativa” y sobre todo en lo que a educación matemática se refiere, debemos cuidar mucho de no ayudar (involuntariamente, por supuesto) a quienes tienen intereses muy distantes a la promoción de la enseñanza de la matemática y de la ciencia, en general. Estaríamos dando argumentos que la “oposición” convierte en armas que usa cuantas veces puede, aplicando la “falacia por autoridad”.

Muy atentamente:
Carlos H. Cabrera Gen"
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30 comentarios

Teresa -

Los matemáticos no necesitamos demostrarnos las cosas porque no nos las creamos, lo que pasa es que si algo no es cierto y has basado media obra de tu vida en ese resultado, te da una rabia.... impresionante.

Los ingenieros (estudiantes) no necesitan resultados rápidos, necesitan, según ellos, aprobados rápidos.

El rigor convertido en los árboles que no dejan ver el bosque es el principio del fin.

samu -

mewt, diste en toda la diana. Estoy en segundo en la UCM. En realidad todavia no hemos estudidado topologia, tan solo una introduccion para poder introducir el calculo diferencial.
A pesar de ser solo una introduccion fue lo bastante general como para poder asomarse a lo que parece una herramienta realmente poderosa.
La cantidad de informacion que se encuentra en la red es increible. Pero paginas como esta y en castellano ... pocas .
Por cierto todavia no he encontrado ningun articulo de probabilidad. Es un campo realmente sorprendente.

Carlos H. Cabrera Gen -

INDEPENDENCIA

t0) El conjunto vacío y E están en T.

t1) Toda intersección finita de miembros de T está en T.

(t2) Toda unión de miembros de T, está en T.

Se puede demostrar (to) a partir de (t1) y (t2).
De hecho lo he demostrado en lineas anteriores.

Por tanto, para definir topología bastan (t1) y (t2).

La "condición"(to), no es independiente en [to, t1, t2].

En ningún momento he dicho que por ser de Bourbaki, algo es riguroso o formal.

Cada vez que he dictado Topología, he usado [t0,t1,t2].
Así se facilitan la exposición y las aplicaciones.

Es en los ejercicios, en los que he planteado la equivalencia de definiciones. Ha sido necesario por las preguntas de los estudiantes respecto de las diferentes presentaciones que de topología hacen los autores.

Es cierto que muchos excesos se cometen por razones presuntamente didácticas. Ello es totalmente ajeno al tema que tratamos aquí.

Atentamente
Carlos H.

mewt -

Samu: jejeje, viendo los comentarios anteriores sobre el rigor y el que respecta a abiertos y cerrados (nosotors los llamabamos clopens, pa abreviar) deduzco que andarás por segundo de carrera... no te preocupes entonces, las demostraciones que no te gustan se acabarán pronto, llegarás por ti mismo a una nueva definición de rigor, alcanzarás cotas de abstracción que jamás imaginaste (cuando oigas en clase la palabra "funtor" acuérdate de esto) mientras, está bien que sigas "en la mism a componente bierta y cerrada" (conectado, vaya ;-) con este tipo de cosas; de páginas como esta puedes aprender muchas cosas... ¡ánimo y suerte!

Carlos H: De acuerdo con que ambas definiciones son equivalentes (nunca lo puse en duda, pero en la primera de ellas no se puede eliminar ningún axioma) y estoy de acuerdo en que la primera es más didáctica, pero no coincido en que sea "menos matemática". A lo mejor no es optimal (en el sentido de usar el número mínimo de axiomas posibles) pero desde mi punto de vista es perfectamente formal, rigurosa y matemática. El hecho de que existan definiciones más breves no hace que sean "mas rigurosas", ni a mi entender es mas rigurosa la segunda "sólo" porque sea la del Bourbaki. Como tu mismo dices, matemáticamente ambas definiciones son igual de valiosas. Coincido contigo en los objetivos de la didáctica, yo sólo cuestiono la visión de la misma que se nos intenta vender ahora (culpa del CAP, por si alguno os lo preguntais)

Bueno, no escrbo mas, que se me hace tarde...
Saludos desde Amberes!

Carlos H. Cabrera Gen -

DEFINICIONES EQUIVALENTES

t0) vacío y E son abiertos
t1) La intersección de dos abiertos (cualesquiera) es un abierto
t3) Toda unión de abiertos es un abierto
_______________________

[t0 , t1 , t2] es equivalente a
[t´1 , t2] donde t´1 es "toda intersección finita de abiertos es un abierto".

Justamente, la presentación del Tío Petros evita una discusión como esta. Y si se trata de facilitar la exposición, el recurso es didácticamente aceptable pero no estrictamente matemático. Por lo demás, ya Birkhoff usó un recurso similar cuando aumentó la lista de axiomas de Hilbert para la geometría euclideana.

Hilbert, M. Mansfield, Lipchutz, Spanier, Hilton, Patterson, y aquí el Tío Petros; nos dan una "demostración" de como se puede administrar el "rigor bourbakista" (más apropiadamente "el criterio formal") a fin de lograr una versión "didáctica" de un tema que como el de topología tiene fama de ser "muy abstracto". Muchos podrán al fin entender (ya están avanzando)la continuidad, la convergencia, los espacios puerta, los espacios de funciones, las topologías inducidas y las compatibles, etc.

Es común que para un tema existan varias definiciones equivalentes. Matemáticamente son igualmente valiosas. Didácticamente seleccionamos la más conveniente para lograr la vía más simple de acceso a un objetivo determinado. Eso es el arte y la ciencia de la Didáctica: la estrategia de la organización.

Atentamente
Carlos H.

samu -

A respecto de abiertos y cerrados.

El vacio es cerrado puesto que su complementario, el espacio total, es abierto.

El espacio total es cerrado pues su complementario, el vacio, es abierto.

De donde sacamos que en todo espacio topologico, al menos el espacio total y el vacio son a la vez abiertos y cerrados.

La cuestion es ¿seran los unicos conjuntos abiertos y cerrados?

Esa pregunta tan aparentemente inocente guarda en su interior una intima relacon con algo sorprendentemente cercano e intuitivo.

samu -

Jajaja, realmente me alegro de nacer a 'finales' del siglo XX y de realizar los estudios de matematicas en el XXI. Ser Bourbakiano es como ser el colmo de lo kiskilloso ¿no?. Y que conste que va desde el cariño y la fraternidad de alguien que aspira algun dia ser el colmo de lo kiskilloso.

mewt -

Carlos H:

Esta última no es la definición dada en el comentario anterior... y es que no es lo mismo decir "la intersección de dos abiertos" que "la intersección de una familia finita cualquiera de abiertos".
Si nos queremos poner Bourbakianos lo hacemos con todas las consecuencias :-P

Carlos H. Cabrera Gen -

TOPOLOGIA

Sea T una familia de partes de E.

T es una topología sobre E sii

1) Toda intersección finita de miembros de T, está en T.

2) Toda unión de miembros de T , está en T.

Proposición:

De (1) y (2) se infiere que el conjunto vacío y E son miembros de T

Atentamente

Carlos H.

Carlos H. Cabrera Gen -

Didáctica significa fundamentalmente ORGANIZACIÓN.
El Tío Petros ha organizado su exposición evitando un escollo matemático resultante de que no es usual el conocimiento del COMPUESTO de una familia vacía de elementos de un espacio E provisto de una ley asociativa con elemento neutro. Por definición (Álgebra Bourbaki) tal compuesto es el elemento neutro. Así, la unión de la familia vacía de partes de E, es el conjunto vacío; y la intersección es E.

Por ese detalle matemático, la presentación del Tio Petros no es "formal" pero si correctamente didáctica y por tanto aceptable.

También puede verse Geometrie de Gustave CHOQUET.

Atentamente
Carlos H.

Carlos H. Cabrera Gen -

1) El conjunto vacío es abierto porque es la unión de la familia vacía de conjuntos abiertos.

2) El espacio es abierto porque es la intersección de la familia vacía de conjuntos abiertos.

Ver Topologie Bourbaki

Atentamente

Carlos H.

samu -

Desde mi corta experiencia, las demostraciones en las que lo unico que se hace es escribir formalmente lo que se tiene y volverlo a escribir de otra forma no tienen 'casi' ningun interes. Quiero decir que para mi bastari con conocer un par de ideas de la demostracion. Los puntos clave. El resto es un trabajo de chinos que no entiendo mui bien por que todo estudiante tiene que repetir hasta la saciedad.
Bueno eso es lo que pienso, en realidad lo que hago es otra cosa mui distinta. Demostrar TODAS las cosas, desconfiar de todo y tratar de entenderlo todo.
Un matematico sin intuicion es como un escritor sin creatividad. vacio. y lamentablemente la intuicion no tiene explicacion formal. y el formalismo en muchas ocasiones ofusca la intuicion.

TioPetros -

Yo estoy completamente de acuerdo con mewt. Un estudiante de exactas no debe ahorrarse demostración alguna.
Prefiero decir: un estudiante de exactas no debe perderse el placer de seguir detalladamente demostración alguna. EN el fondo, la demostración es tal importante o más que el resultado. No comprender esto es tener una idea muy pobre de la matemática. Un ingeniero puede permitirse ese lujo, porque necesita urgentemente las herramientas que le proporciona la matemática para construir cosas y no puede pararse en demostraciones. Pero un estudiante de matemáticas no es un ingeniero (ni más ni menos que un ingeniero...es simplemente otra cosa).

Respecto a Grothendieck, tengo entendido que era una verdadera máquina de trabajar y que se pasaba tranquilamente quince horas seguidas sin descanso, algo imposible a cualquier humano normal; de forma que su porcentaje de idea feliz, incluso en él, a lo mejor era menor del 10%, y el otro 90 era puro sudor.

mewt -

pepe y samu,
no quiero juzgar mal, pero por vuestros comentarios me da la impresión de que no sabeis cómo se consiguen demostrar las cosas en matemáticas. Que me corrija cualquiera de los otros "profesionales de la demostración" que hay por aquí si me equivoco, pero para demostrar cosas y resolver problemas punteros de investigación, un 10% es idea feliz y el resto es trabajo, trabajo, trabajo...

No hay forma humana (a menos que uno sea un superdotado como Alexander Grothendieck) de tener esas "ideas felices" hasta que uno no esté familiarizad con los entresijos de un problema, las definiciones formales, y las demostraciones de los hechos fundamentales, ya que muchas veces es en las demostraciones y no en los enunciados donde se esconde la esencia de las matemáticas. Prueba de ello es el tiempo empleado para resolver los últimos problemas "grandes": Teorema de Fermat (7 años), Conjetura de Poincaré (8 o 10 años) y la Conjetura del Jacobiano (otros 7 años) ¿de verdad creeis que Wiles, Perelman y Dean se han pasado todos esos años teniendo "ideas felices"?

Lo que intento decir es que un estudiante (y menos un investigador) no puede comprender la verdadera esencia de los resultados que estudia si no sabe la linea que siguen las demostraciones.

samu -

joe le he dao demasiado rapido al boton de enviar. solo dos cosas:

digo que la matematica avanza gracias a la intuicion pero no digo nada del formalismo. quiero decir que van de la mano. rigor e intuicion.

donde digo que muchos problemas ya estarian resueltos es por que queria poner 'todos' pero sabemos que con las matematicas que utilizamos no todos los teoremas son demostrables...
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samu -

si solo aplicamos rigor a la matematica a la hora de enseñar matematica. tendremos unos perfectos borregos matematicos. muy formales pero sin ningun tipo de intuicion. y es precisamente la intuicion ( y NO solamente el formalismo) la que hace que las matematicas avanzen. si las matematicas avanzasen unicamente a traves del formalismo hace ya mucho tiempo que se habrian resuelto muchos problemas. sin embargo en muchas ocasiones necesitamos la llamada idea feliz que en ningun caso se puede aprender de forma formal.

pepe -

Aqui lo que pasa es que los matematicos son unos desconfiados y necesitan demostrar por si mismos lo que ya demostraron otros en su dia. No se imaginan el tiempo que ahoraria la matematica si un estudiante no tuviera que demostrar todos los teoremas, proposiciones y corolarios que vio durante la carrera.

mewt -

No me meteré en los temas de didáctica, ya que tuve una experiencia bastante nefasta solbre la forma de enseñar (didáctica) de los "didactas" y no quiero empezar una flame war sobre las tendencias actuales en educación.

Pero como soy matemático (de profesión, en el sentido que le da Tio Petros) sí que hago un comentario respecto a la definción de topología.
En primer lugar, la condición a) no es superflua, si cogemos un espacio E y un único subconjunto propio dentro de E, el resultado no puede ser una topología, y sin embargo cumple las propiedades b) y c). La definción (que sí es la forma) es equivalente a la definición por sistemas de entornos que da Tio Petros, como se demuestra en cualquier curso de topología.
¿Es didácticamente aceptable esta definición? A mi entender si, ya que para trabajar en determinados campos la abstracción y formalización es necesaria. No admito la extensión del nuevo enfoque "creacionista" a la educación superior, y dudo de que su aplicación en la secundaria tenga efectos positivos dentro de unos años. En algunos casos es posible dar el salto desde ejemplitos concretos hasta niveles más abstractos, pero en cuanto nos metemos en matemáticas serias, ese enfoque sería largo en demasía y a mi entender contraproducente didácticamente; me gustaría ver a todos los "didactas" que me intentaron enseñar a enseñar ver como les explican a alumnos de primero de carrera cómo hacer integrales antes de que sepan derivar (ya que, historicamente, el concepto de integral ya lo tenia Arquímedes).

Respecto a la rigorización Bourbakiana, en España se aplicó a nivel educativo a finales de los 70 y principios de los 80, estando las primeras clases de matemáticas que yo recuerdo plagadas de teoría de conjuntos, y también se ha mantenido bastante fuerte en la unversidad francesa hasta bien entrados los 80. Respeto su opinión de que no es necesaria la imposición del rigor (en el sentido que yo debo entenderlo mientras trabajo) en la enseñanza secundaria, pero que es necesaria una comprensión de lo que significa establecer las cosas mediante demostraciones, y no por la autoridad del profesor. Pero el método de "enseñanza democrática" actualmente defendido es igual de nefasto que el rigor Bourbakiano.

Carlos H. Cabrera Gen -

Tío Petros:

1) La presentación de espacio topológico que hace Ud. es una excelente demostración de cómo se debe administrar el “rigor matemático”.

2) Sea T una familia de partes de E, a cuyos elementos se les llama abiertos. T es una topología sobre E sii

a) El conjunto vacío y E son abiertos
b) La intersección de dos abiertos (cualesquiera), es un abierto
c) La unión de toda familia de abiertos, es un abierto.

Esta definición no es la “formal” pues la condición (a) es supérflua.
Sin embargo, es “didácticamente” aceptable.

Atentamente

Carlos H. Cabrera Gen
ciemar2002@yahoo.com
Lima - Perú

JuanPablo -

1) le faltó aclarar "en Perú". O describir mejor a qué países se refiere, porque es evidente que no conoce qué está pasando en otras partes del mundo.

2) Los libros de Papy... ¿Se usa(ro)n? ¿Por qué?

3) Aplican la filosofía bourbakista. Ahora, todo se deduce de esos axiomas

4) Feynman presidió la comisión que investigó el accidente del Challenger... eso es muy posterior a los '60

La corto acá, porque los trolls son insoportables. No acepto su consejo:

9) Es mejor NO escribir "en caliente". Se escapan las p y adicionales...

a veces es mejor escribir en caliente. Una p de mas o de menos no cambia el asunto.

10) ¿Verdad?

Carlos H. Cabrera Gen -

1)Conozco los programas y libros que se están usando. Me reafirmo en lo que al respecto he dicho.

2) Los libros de Papy los usé en mis clases de Didáctica de la Matemática como un ejemplo de cómo no se debe enseñar Matemática. ¿Se usan actualmente? ¿Por qué?

3)¿Los demasiados profesores que dicen enseñar matemática recitando 10 axiomas, sin problemas y sin aplicaciones, aplican el "rigor bourbakista" al enseñar?

4) La llamada Matemática Moderna es posterior a los años 60. Así que Feynman no pudo haberse referido a la situación que estamos tratando. Más bien sus críticas fueron dirigidas a una situación similar a la que está actualmente predominando en el mundo y que es identificable con la que estuvo en total desacuerdo.

5)Conocí a de Guzmán personalmente. ¿Aplicaba el "rigor bourbakista"?

6)Entonces... ¿quienes aplicaron o aplican el rigor bourbakista en la enseñanza de la Matemática?

7)Hay ejemplos aislados y el mejor que conozco está en Brasil. Se trata de Carlos César de Araújo.

8)En España el esfuerzo de Aizpún (¡un maestro!)fue admirable. ¿Tuvo numerosos discípulos? (no he dicho alumnos)

8) ¿Es coherente lo expuesto por Juan Pablo?

9) Es mejor NO escribir "en caliente". Se escapan las p y adicionales...

10) ¿Verdad?

Atentamente

JuanPablo -

(en el anterior, Frédérique Papy, se me escapó una p de mas... es que uno escribe en caliente)

JuanPablo -

Ahora, la frase:

"expliqué que la “rigorización bourbakiana”, nunca se ha aplicado en nivel educativo alguno. Para hacerlo o intentarlo siquiera, se habría requerido de un gran número de docentes familiarizados con Bourbaki y, como bien sabemos, ese gran número de docentes no existe ni ha existido jamás."

demuestra tanta ignorancia que ella sola justificaba no publicar nada.

¿No conoce acaso los programas de matemáticas del secundario? ¿Los libros que se usan? ¿Vió alguna vez los de Pappy?

Justamente, el rigor bourbakista permite que cualquiera recite de memoria 10 axiomas, y con eso diga que enseñó matemáticas. ¿Problemas, aplicaciones? No! eso queda afuera, no interesan...

Sobran profesores capaces de dar matemática de esa manera, y la vienen dando.

Lástima que de Guzmán hubo uno solo, sus libros son un ejemplo de todo lo que puede hacerse a nivel educativo con un par de dibujos bien puestos y alguna demostración de menos.

JuanPablo -

yo no recomendaría Lakatos (me suena que tiene un trauma con las matemáticas, parece que nunca entendió qué quieren decir los matemáticos con la palabra 'teoría')

Pero sí a Arnold: en esta charla http://pauli.uni-muenster.de/~munsteg/arnold.html van a encontrar mejores ejemplos del desastre de la educación burbakista a nivel secundario o como mucho 1er año de facultad.

Palimp -

También recomendaría la lectura de 'Pruebas y refutaciones' de Lakatos, donde se ve claramente que conceptos matemáticos 'completamente acabados' provienen en algunas ocasiones de una rica disputa, pero que al quedar fijados pierden todo su atractivo.
Una cosa es el rigor (que en ningún caso se debe abandonar) y otra el aburrimiento.

José María -

Recomiendo la lectura de «¿Está usted de broma Sr. Feynman?». Hacia la mitad del libro, creo recordar, Feynman explica lo que le ocurrió cuando en un ataque de civismo accedió a revisar material docente en física y matemáticas en un esfuerzo del gobierno local por mejorar la calidad de los libros. Creo recordar que eso fue en los 60. Todo lo que Carlos H. Cabrera Gen explica ya lo relata Feynman, el cual después de la experiencia abandonó totalmente el tema de la supervisión de material docente absolutamente desencantado.

TioPetros -

Yo también creo que tiene razón en bastantes cosas, Carlos.

Carlos -

Ups, se triplicó ...

Carlos -

Pues sí, parece que interpretó mal aquel post. De cualquier modo, hay algo en lo que creo que tiene mucha razón :

"Varias multinacionales buscan que se cree la necesidad de nuevo material educativo que, por supuesto, ya tienen disponible. En la mayor parte de los “nuevos” textos escolares se advierte que “recetarios” y “antiformalismo” están vigentes, y todo asomo de rigor es “rigor mortis”."

Anónimo -

Pues sí, parece que interpretó mal aquel post. De cualquier modo, hay algo en lo que creo que tiene mucha razón :

"Varias multinacionales buscan que se cree la necesidad de nuevo material educativo que, por supuesto, ya tienen disponible. En la mayor parte de los “nuevos” textos escolares se advierte que “recetarios” y “antiformalismo” están vigentes, y todo asomo de rigor es “rigor mortis”."
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