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Tio Petros

Poliedro imposible

Para el fin de semana, un problema muy sencillo y sorprendente:

demostrar que no puede existir ningún poliedro tal que sea inestable sobre todas sus caras.

Una de las cosas curiosas de este problemilla es que admite una demostración desde fuera de la matemática. Desde la física, concretamente, y más concretamente desde ¡la termodinámica!

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HACE UN AÑO nos introducíamos en los espacios de dimensión infinita y preguntábamos cuál era la mayor longitud de un segmento que podía introducirse en el interior de un cubo y de una esfera infinitas dimensiones. La respuesta era bastante antiintuitiva: dentro de una esfera de radio unidad cabía un segmento de dos unidades,pero dentro de un hipercubo de arista unidad cabía toda una recta infinita. Un lector planteó una aparentemente impecable demostración contraria, que dió paso a este post y al siguiente, demostrando una vez más que los lectores son los que dan la vida al blog.

Que tengan un feliz fin de semana, y que ni los políticos se lo puedan amargar...
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21 comentarios

omar -

nesisitot un dibujo doe matematica imposible

anthony -

Por favor si alguien pueidra facilitarme un formulario de centro de gravedad, centros de masa y momentos de inercia

mewt -

Como ya está resuelto, sólo añado un pequeño detalle: una cara es estable cuando la proyección ortogonal del centro de masas sobre el centro definido por dicha cara se encuentra en el interior de la misma. Si la proyección cae fuera de la cara el poliedro "se vuelca" en esa dirección. El hecho de que la cara más cercana al baricentro (para los que nos os guste hablar de centro de gravedad) es estable se muestra de manera similar al caso de los polígonos.

TioPetros -

La "envoltura convexa" de un poliedro es como meter el poliedro en un condón. Me encanta, BitFarmer.

BitFarmer -

Encontre un "contraejemplo" curioso:

Imaginar un simple cubo, pero en cada cara, le "restamos" una piramide con esa base y altura pequeña. Obtenemos un cubo con 6 pequeñas piramides quitadas, y ninuna cara podria ponerse encima de la mesa... a no ser hagamos una mesa a medida, muy chiquita.

Esas caras son "estables"? Todas lo son siempre que usemos la mesa de la "Barbie".

Bueno, es coña, las caras son todas estables por lo que yo entiendo, pero la mesa de la Barbie nos hara falta para comprobarlo "in situ".

BitFarmer -

Si, ya lo pense (luego, claro), que si no era convexo, se aplicaria el razonamiento a su "envoltura convexa", que es como meter el poliedro en un condon -perdon a los muy catolicos, pero creo que para este si se puede usar.

Pero me surje una duda filosofica... si el poliedro original solo es estable en una cara "fantamas", es decir, apoyado en tres vertices pero sin una cara que los una... entonces, no es estble sobre ninguna de sus caras! Ya que para ser estable, primero debes poder poner el poliedro sobre una mesa apoyado sobre esa cara... es mas un problema de lenguaje.

Finalmente se demostraria que alguna cara "real" debe ser estable, pero eso introduce mas "lineas de codigo" a la demostracion.

TioPetros -

Efectivamente, BitFarmen ha dado en el clavo.

Considerar el poliedro como convexo es conveniente, porque en caso contrario pudiera ser estable sobre tres vértices que no formen una cara. Decididamente podemos introducir la convexidad en el enunciado.

BitFarmer -

Creo que lo tengo: Si buscamos el punto de la frontera mas cercano al centro de gravedad, el segmento que una al centor con este punto DEBE ser perpendicular a la cara donde caiga dicho punto, asi que esa cara TIENE que ser estable!

El porque tiene que ser asi, es porque como el objeto es convexo, el punto mas cercano a un punto interior no puede caer en una arista (espero que os valga la intuicion, es tedioso escribir todos los casos), asi que no puede caer en una arista, y por los mismos razonamientos, pero con mas razon aun, no puede tampoco caer en una esquina (ademas, la esquina pertenece a una arista siempre), asi que cae en el interior de una de las caras.

El que el segmento que une ambos puntos es perpendicular a la cara tambien es intuitivo, si no fuera asi, habria una direccion en la que si nos movemos nos acercamos mas al centro sin salirnos de la cara (contradiccion, era el mas cercano).

En fin, que limando algunos detalles, creo que asi se podria demostrar.

BitFarmer -

La demostracion fisica esta clara, pero la matematica se me resiste.

Si una cara es estable, eso significa que si proyectamos perpendicularmente a la cara el centro de gravedad, su proyeccion cae dentro de la cara (o en su envoltura convexa), asi que el enunciado equivale a decir que el centro de gravedad no esta en la "columna" que se forma al proyectar una cara en direccion perpendicular a ella misma.

Es como construir todos los cilindros con base una de las caras (cilindros en el sentido mas amplio, e incluyendo el interior), y demostrar que el centro de gravedad no esta dentro de nignuno de ellos.

Intuitivamente no puede ser, pero como poner esto en claro?

Seria como demostrar, en el plano, que si sobre cada segmento del poligono dibujamos una columna que sube hacia el centro del poligono, estas columnas cubren todo el poligono.

Con esto, sabriamos que el centro de gravedad, cae en alguna de esas columnas, y entonces la cara correspondiente es estable.

Pero pasar de la intuicion geometrica a la demostracion, eso no veo como, me debe faltar algun resultado de convexos o algo del estilo.

jose -

Ha llegado a mis oídos el siguiente enunciado:

"Si se toman al azar dos números naturales, la probabilidad de que no tengan divisores comunes es 6/Pi^2 ."

¿Es cierto? Si lo es, ¿por qué?

samu -

Supongo que si un poliedro es inestable en todas sus caras no tenemos derecho a decir que existe su centro de masas.
La verdad es que yo de fisica ni idea. Me falta una definicion matematica de "cara inestable" xD.

Ramiro -

Sea di la distancia del centro de masas del poliedro a la cara i. Existe una cara (quizás no única)que hace dicho valor mínimo. Cuando el poliedro descansa sobre dicha cara es estable, ya que en caso contrario la cara a la que volcaría estaría a menor distancia del centro de masas que la actual, contra la suposición inicial.

Por lo tanto el poliedro inestable sobre todas sus caras no existe.

TioPetros -

Sí, Samu. Podemos circunscribirnos a R3 concebido como un espacio euclídeo. Entiende "poliedro" en sentido habitual.

samu -

estamos hablando en geometria euclidea, no?

Nico -

Jum... Creo que leí este problema hace años en un libro de Martin Gardner, y resulta que me acuerdo de la solución "física", pero no de la solución geométrica.

TioPetros -

Bien. Ahora falta la demostración puramente matemática.

Raquel -

Y eso lo prohíbe la primera ley de la termodinámica!!!

Qué buenooooooo!!!!!!

Jorje -

Si fuese inestable en todas sus caras, tendríamos un móvil perpétuo...

Vailima -

Vamos a ver, que he estado pensando un poco y me ha dolido... si la segunda ley de la termodinámica va a hacer que mi pecho se caiga, ¿qué no hará con algunas caras de un poliedro?
pues lo mismo, ya verás, ya. Tarde o temprano se caerán y de esta guisa demuestro de un plumazo y yo solita que no puede existir ningún poliedro tal que sea inestable sobre todas sus caras.
Me parece que me he liado y que ésta no es la solución ¿no? jeje
esperaré a que llegue a casa el matemático...

Vailima -

Yo no me lo sé pero se lo voy a consultar a un matemático que vive conmigo.
Un saludo

Palimp -

Como ya me lo sé, me abstengo de participar.
¡Saludos!
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