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Tio Petros

Numeros trascendentes

A veces es más fácil demostrar el hecho que ciertos objetos existen, que encontrar alguno de ellos. Eso es lo que históricamente ocurrió con los números transcendentes. Como ya hemos dicho varias veces, un número real se llama racional si es solución de un polinomio de primero grado con coeficientes enteros.

ax+b=0

Extendiendo este concepto para cualquier tipo de polinomio tenemos la definición de número algebraico , como aquel que es raíz de un polinomio cualquiera de coeficientes enteros.

anxn + an-1xn-1+ a1x +...+ a0 =0

Y ahora llamaremos número trascendente a todo número real que no sea algebraico, en caso de que tal cosa exista.

La demostración de existencia es muy sencilla, y se basa en el hecho de que el conjunto R tiene la potencia del contínuo, mientras que el conjunto de los algebraicos es numerable.

Esto no debería ser ninguna sorpresa. La sorpresa (mayúscula) fue la demostración de que el conjunto de los números racionales era numerable. Lo demostró Cantor con su famoso método diagonal que vimos aquí.

Una vez demostrado que el conjunto Q era numerable, ya no nos sorprende tanto que el conjunto de los algebraicos también lo sea. En efecto, Cantor demostraba que el conjunto de los pares ordenados (a,b) de enteros era numerable; y extender esto a las n-tuplas (a1, a2,..., an) es trivial. Como cada n-tupla tiene asociado un único polinomio cuyos coeficientes son los elementos de la misma, resulta que el conjunto de polinomios de grado n es numerable; y por tanto el conjunto de todos los polinomios también; pues estamos sumando una cantidad numerable de numerables. Dado que un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces diferentes, queda demostrada la numerabilidad de los números algebraicos.

Como los reales son los algebraicos más los trascendentes, concluimos que no sólo existen, sino que los hay en cantidad no numerable. Esto es: casi todos los reales son trascendentes.

Este casi todos parece una afirmación vaga, y sin embargo no lo es: quiere decir exactamente que TODOS los reales son trascendentes excepto un conjunto de reales de medida nula. Esta frase es más profunda de lo que parece, pero necesitaríamos muchos post para hablar de la teoría de la medida, y en particular de la medida de Lebesgue . Quizás lo hagamos en breve.

Pues bien, estamos en 1.874. Cantor demuestra la ubicuidad de los trascendentes dentro de los reales... y sin embargo no se conoce ningún número trascendente. El primero no es pi , ni e, cuyas trascendencias se demostrarían años después. El primero número trascendente concreto conocido es la llamada Constante de Louiville .

Su valor es el siguiente:

L = 0.110001000000000000000001000...

Esta constante tiene todos sus decimales igual a cero a excepción de aquellas situadas en posiciones factoriales:1!=1; 2!=2; 3!=6; 4!=24; etc. Se trata de un número construido efectivamente para ser trascendente.

El primer número del que se demostró que era trascendente sin haber sido específicamente construido para ello fue e, por Charles Hermite en 1873. En 1882, Carl Louis Ferdinand von Lindemann publicó una demostración de que pi es trascendente.

Estas demostraciones ya no son elementales, en el sentido de que utilizan un fuerte arsenal de métodos integro-diferenciales para llegar a buen puerto.

En general, el estudio de los números trascendentes es difícil, más aún que cualquier tema de teoría de números. Particularmente uno de los retos de Hilbert era dilucidar si a b es trascendente cuando a y b son algebraicos, con a diferente de cero y de la unidad y con b irracional. Este enunciado está englobado en el conocido como Séptimo problema de Hilbert . En 1.934 fue demostrada esta parte del séptimo problema por Gelfond y Schneider independientemente.

La teoría de los números trascendentes es una parte muy difícil de una disciplina ya de por sí difícil como es la teoría de números. La única demostración on line del teorema de Gelfond-Schneider en castellano que he podido encontrar está en la nunca suficientemente alabada labor del profesor Ivorra de la Universidad de Valencia. La teneis aquí.

Un tema profundo del que no puedo hablar mucho más aquí; y no por las limitaciones del blog, sino por las de su autor...

Feliz fin de semana a mis lectores. Espero que a parir del lunes retomemos la actividad habitual en Tio Petros; un poco interrumpida desde la Semana Santa.
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17 comentarios

IronCarnage -

Mi profesor me ha mandado un trabajo sobre números trascendentes y ha dicho "Busca que es un numero trascendente y que relación hay con poder dibujarlo exactamente en R como nº real". No he encontrado ninguna información sobre dibujar números trascendentes, si alguien sabe algo lo agradecería.

capea -

un numero trascedental por un coseno es transcedental

XDANIELX -

muy bien, genial este tema
pero quien me da la respuesta de dos elevado a pi ?
soy estudiante de tercero medio y necesito saber dicha experesion...(sin calculadora)
mi resultado es 8,8......
favor responder

ANGEL P.P. -

ESTE SITIO EN LA LINEA DEL NUEVO MUNDO ES LO MEJOR PA UN ESTUDIANTE DE SECUNDARIA; PERO LO SEGUNDO ES EL REGGAETON EN EL PERU

SOY PERUANO Y SOY FELIZ AKI PSSS
GRACIAS TIOPETRUS

Maribel -

estuve averiguando sobre la trascendencia de numeros, y me interese al punto de pedirle mas información a mi maestro, sin embargo atinó sólo a decirme: \"consiguete el libro de Siegel \'Trascendental Numbers\' o por internet busca el \'Bulletin of the American Mathematical Society\', y las mismas recomendaciones (mejores aun) las encontre en el libro de I.N Herstein \'Algebra moderna\' sin embargo me gustaria las demostraciones de la trascendencia de \'pi\' y \'e\'de manera sencilla y detallada que me permita repetirla quizá.(ah,¿cómo hago para enviar algunos trabajos que podrian ser de utilidad para los lectores de este blog?)

Anónimo -

luis -

alguien tiene la demostracion de que el conjunto de los numeros algebraicos es numerable

miguel -

me parece que estas demostraciones son muy complejas necesito algo mas facil
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Crystal -

Ups, lo siento

Crystal -

Cada vez que entro aquí, me doy cuenta de lo poco que sé, y parece que eso poco que creía saber, va disminuyendo más y más... para ser sustituido por conocimiento del bueno ;)

Gracias, como siempre, Tio Petros.

Crystal -

Cada vez que entro aquí, me doy cuenta de lo poco que sé, y parece que eso poco que creía saber, va disminuyendo más y más... para ser sustituído por conocimiento del bueno ;)

Gracias, como siempre, Tio Petros.

Crystal -

Cada vez que entro aquí, me doy cuenta de lo poco que sé, y parece que eso poco que creía saber, va disminuyendo más y más... para ser sustituído por conocimiento del bueno

JuanPablo -

Hay otra clase de demostraciones, más constructivas -como la del número de Liouville-, que sólo necesitan conocer qué es la derivada y el Teorema del valor medio.

TioPetros -

Hola Palimp: no es cierto que conocemos un puñado de trascendentes. Conocemos infinitos.
Para comprobarlo, piensa que si x es trascendente, entonces ax también lo es, para cualquier "a" racional. Así pues, cada vez que descubrimos un trascendente nuevo, "vienen con él" una infinidad numerable de trascendentes.

Las demostraciones de que un número es trascendente, se realizan por reducción al absurdo: Suponiendo que existe un polinomio Pn tal que Pn(x)=0, y viendo que se llega a una contradicción; lo cual nos legitima a pensar que no existe tal polinomio; por lo que el número es trascendente. La demostración de irracionaledad es similar en su concepción: suponer que existe una razón a/b igual a dicho número para obtener una contradicción.
Por supuesto, esto es más fácil decir que hacer. Además, las demostraciones de trasncendencia son más difíciles que las de irracionalidad.

Palimp -

Se agradece la vuelta, además con un artículo de un tema muy interesante. Cada vez que he comentado que los reales son no numerables por los trascendentes, es decir, que caso todos los reales son trascendentes siempre me han preguntado lo mismo:

1) Como puede ser si sólo conocemos un puñado de trascendentes.

2) Como se demuestra que un número es trascendente.

Huelga decir que como no matemático poco podía decir más allá de la anécdota.

Tio Petros -

Pues ya ves, Jorge; volvemos a la carga...

Jorge -

¡Siempre es agradable leer un nuevo artículo de Tio Petros! Se te echaba de menos.
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