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Tio Petros

Tercera demostración de la infinitud de los números primos

Vamos a por la tercera forma diferente para demostrar la infinitud de los números primos. Esta vez recorreremos un sendero completamente diferente. Nos basaremos en los números de Fermat, tocando para ello otro de los tópicos más queridos de los amigos de la teoría de números.

Los números de Fermat son enteros que se expresan así:

Fn = 22n +1 ; n=0,1,2,...

Los primeros números de Fermat son: 3,5,17,257,65537,... y como es de esperar, crecen a un ritmo vertiginoso.

Demostraremos que dados dos números de Fermat Fm y Fn cualesquiera, ambos son siempre primos entre sí (lo que quiere no decir que ambos sean primos, sino que no tienen divisores comunes).Para hacerlo, demostraremos la siguiente relación de recurrencia (absolutamente inesperada y sorprendente, al menos para un mortal como quien esto escribe):

F0 · F1 · F2 · ... · Fn-1 = Fn - 2

 

Fíjense lo rápido que crecerá la progresión si cada término es tan sólo dos unidades menor que el producto de todos los anteriores!

Demostraremos esta barbaridad por inducción. Si recuerdan, hablamos claro y tendido de este tema aquí .

Para n=1 la cosa es trivial:

F0 = F1 -2 se demuestra cierto por simple comprobación de que F0 =3 y F1 = 5

Supongamos cierta para n-1, e intentemos demostrarlo para n, en cuyo caso la inducción estará completa.

FF1·F2·...·Fn = (FF1·F2·...·Fn-1 )· Fn = (Fn-2) · Fn =

=(22n +1 - 2 )·(22n +1) = (22n -1) · (22n +1) =

= (22n+1 - 1) = Fn+1 - 2

Con lo cual queda demostrada la recurrencia original FF1·F2·...·Fn-1 = Fn - 2

¿Cómo nos puede servir este resultado para nuestros propósitos? Debemos fijarnos que a la izquierda de la fórmula de recurrencia tenemos simplemente el producto de todos los números de Fermat menores que Fn , y a la derecha tenemos un número necesariamente impar. Efectivamente Fn - 2 = 22n +1 - 2 = 22n - 1, que es necesariamente impar.

Por lo tanto, todos los factores que componen los números de Fermat son impares.

Ahora, de la relación de recurrencia se sigue inmediatamente que ningún número de Fermat Fk es divisible por ninguno de los factores de los anteriores números de Fermat. Sólo podría ser divisible por el 2, pero hemos visto que todos ellos son impares, luego eso no se puede dar. Entender esto puede albergar algúna dificultad, pero es perfectamente salvable. Viendo la fórmula de recurrencia que ahora hemos demostrado cierta, un número de Fermat podría parecer divisible por dos (sabemos que no lo es por el razonamiento arriba indicado), preo si lo fuera, el número una vez dividido quedaría algo como así:

F0·F1·F2·...·Fn-1 + 2 = Fn

F0 · ... · Fi /2· ... · Fn-1 + 1 = Fn /2

Donde uno de los factores (el i-ésimo, el que era supuestamente par) ha sido dividido por 2. Ahora vemos que no podemos seguir dividiendo por ninguno de los factores restantes, porque siempre obtendremos un 1 de exceso como resto. De ello se deduce que, dados dos números de Fermat, o tienen el 2 como divisor común, o no tienen ninguno. dado que sabemos que son impares, queda aclarada la cuestión.

Así pues, cada número de Fermat aporta divisores primos nuevos a la lista, nunca aportados por sus antecesores, y como la lista de números de Fermat es infinita ( ¡hay un Fn para cada n natural!), se sigue que la de primos también lo es. Con esto termina la tercera demostración de infinitud de los primos.

Debemos constatar que en ningún sitio se ha dicho que los propios números de Fermat deben ser primos. Tan sólo nos basta que sean primos entre sí.

De hecho, Fermat conjeturó que todos los números naturales de la forma

F_{n} = 2^{2^n} + 1

con n natural eran primos, pero Euler probó que no era así en 1732. En efecto, al tomar n=5 se obtiene un número compuesto:

F_{5} = 2^{2^5} + 1 = 2^{32} + 1 = 4294967297 = 641 cdot 6700417 ;

4294967297 es el número más pequeño que siendo número de Fermat , no es primo.

A diferencia del segundo método del post anterior, que necesitaba ciertos conocimientos de teoría de grupos, éste es totalmente elemental en el sentido de que sólo necesita machacar números. Conviene recordar algo que hemos repetido hasta la saciedad en este blog: en matemáticas la palabra elemental y la palabra fácil son conceptos totalmente diferentes. De hecho, es muy habitual encontrarse con demostraciones elementales dificilísimas. Erdös era un maestro en este arduo campo...

 

 

 

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18 comentarios

Fernando -

Muchas gracias, la informacion me a servido mucho y me ha echo pensar ahun mas :D gran valor

Tadalafil -

Hola, las formulas que utilizas se ven un poco complejas, me gustaria que me explicaras un poco como utilizarlas.

ailen -

che... y maso menos a q hora me responden? :D

ailen -

estoy buscando en esta pàgina que la musica se relacione con la matematica.
para un t.p
como hago par encontrarlo?

fabiola -

estoy buscando descenso infinto
sobre las demostraciones de fermat

ECR -

A mi también me gusta mucho tu blog.
Tampoco había entendido a la primera que los divisores de F0, F1,..., Fk no pueden dividir a F(k+1).

Solamente decir una tontería sin trascendencia para que no quede incorrecta la frase: \"Fíjense lo rápido que crecerá la progresión si cada término es tan sólo dos unidades menor que el producto de todos los anteriores\" tendría que poner mayor.

Tio Petros -

Gracias a vosotros...

Gonzalo -

Creo que ya lo he pillado :-) Muchas gracias por la re-explicación.
Saludos,

Gonzalo

omalaled -

Creo que ya lo he visto, Tio Petros. Lo digo de otro modo.

Sea: A+B=C

si D divide (o sea, da de resto 0) a A y a C, forzosamente debe dividir a B. En este caso B es 2 y C es impar. Por tanto, o es 2 (que no puede ser ya que C es impar ) o menor que 2 y sólo nos queda el 1.

Gracias.

Saludos
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faraox -

El enlace sigue estando mal, apunta a : http://tiopetrus.blogia.com/2006/2004/010901-resolucion-por-recurrencia..php

cuando debería apuntar aquí:
http://tiopetrus.blogia.com/2004/010901-resolucion-por-recurrencia..php

Un salado,

TioPetros -

El Anónimo anterior es mío.

Anónimo -

En el comentario anterior donde dice:

\"el producto F1·...·Fn podrá expresarse como:
P1·...·Pm\".

debe decir:

\"el producto F1·...·F(n-1) podrá expresarse como:
P1·...·Pm\".

Tio Petros -

Veamos un poco más pormenorizadamente:

Partimos de

F0·F1·F2·...·Fn-1 + 2 = Fn .

Cada Fn es el producto de todos los anteriores MAS DOS.

Cada uno de los Fn, será primo, o tendra una descomposición en primos, luego el primer término de la suma, el producto F1·...·Fn podrá expresarse como:
P1·...·Pm.

Así pues, nos queda:

P1·...·Pm + 2 = Fn, donde todos los P son primos.

Bien, si una suma como esta es divisible por alguno de los factores Pi, sólo será posible si ambos sumandos lo son, y como uno de los sumandos es un 2, sólo es posible que sean divisibles por 2, cosa que por otro lado es imposible porque todos los Fn son impares, luego ningún Fn es divisible por ningún Pi (por ningún factor primo de los Fk anteriores).

Otra cosa es que Fn no tenga factores primos, claro que los tendrá (él mismo, en caso de ser primo), pero dichos factores serán factores que no estaban en la lista P1,...,Pn.

No sois duros de mollera, lo que sucede es que este razonamiento no es trivial, y por desgracia nos e me ocurren más formas de explicarlo.
Pensadlo un poco a ver si lo veis, y si no, seguimos intentándolo.

Gracias por vuestra atención.

omalaled -

Tio Petros, yo estoy igual que Gonzalo. Veo todos los demás pasos, pero afirmas \"de la relación de recurrencia se sigue inmediatamente que ningún número de Fermat Fk es divisible por ninguno de los factores de los anteriores números de Fermat\". Ese \"inmediatamente\" es el punto crucial. Tengo claro es que ambos miembros son impares, pero en ningún momento tengo claro que no un Fk no pueda dividir a un Fn con n > k. Lo de divisible por 2 ya se ve que no.

Es posible que seamos nosotros los duros de mollera, pero no lo veo.

Saludos

RIGORTU -

Mes sumo a los agradecimientos por la calidad de este sitio, que he descubierto recientemente.

Estrictamente se demuestra que si es cierto para n, lo es para n+1. Es lo mismo, pero me he liado.

Saludos

TioPetros -

Hola Gonzalo. Ningún número de Fermat es divisible por ninguno de los factores de Los números de Fermat anteriores porque todos son primos entre sí, según acabamos de demostrar, Gonzalo. Si un Fk fuera divisible por un factor de algún número de Fermat anterior, entonces ambos compartirían un mismo divisor, y eso es imposible porque son primos entre sí.

¿sí?

Gonzalo -

Enhorabuena por tu página y por tus conocimientos, y gracias por compartirlos con todo el mundo. Una duda... estoy un poco espeso esta mañana... ¿podrías explicar con un poco más de detalle por qué \"ningún número de Fermat Fk es divisible por ninguno de los factores de los anteriores números de Fermat.\"?
Gracias de nuevo.

Gonzalo.

Jose -

Acabo de encontrar esta página via curiosoperoinutil.com (gracias a Remo) y tan sólo quería agradecerte el esfuerzo que dedicas a mantener un sitio como este del que tanto aprendemos.

Creo sinceramente que el esfuerzo merece nuestro agradecimiento.

Muchas Gracias.

Jose.
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