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Tio Petros

Cuarta demostración de la infinitud de los números primos (2)

Viene de aquí_

Estamos intentando demostrar que los primos son infinitos en base a demostrar la divergencia de la suma de sus inversos, siguiendo los pasos del gran Euler. Lo estamos haciendo pasito a pasito,ocupando dos posts extensos donde estrictametne hablando sólo son necesarias unas pocas líneas. Lo hacemos con la esperanza de hacer asequible a más personas un paseo matemático de cierto nivel. Espero que el resultado sea provechoso.

Recordemos que en el post anterior habíamos llegado a la siguiente fórmula:

Tomamos logaritmos a ambos lados de la expresión anterior:

Ahora nos conviene sustituir la función log(1-x) por su desarrollo en serie de Taylor; donde x = 1/ps < 1/2.  Haciendo dicha sustitución y englobando los términos a partir del segundo en un resto R(1/ps) ≈ O(1/ps)2 obtenemos:

Hagamos s→1. El primer término del segundo miembro es el logaritmo de la serie armónica y por lo tanto es infinito. El segundo término está sin embargo acotado en virtud del orden cuadrático del resto, por lo tanto la suma total es infinita, y de ello deducimos que el primer miembro, que no es sino la suma de los recíprocos de los primos, también es infinita.
Evidentemente esto sólo puede ocurrir si el número de primos es a su vez infinito.


A modo de nota al margen, la posible convergencia de esta suma de recíprocos no hubiera demostrado la finitud de los primos, mientras que la implicación contraria está clara. Un caso de este estilo es el que ocurre con los primos gemelos, que son aquellos primos que distan dos unidades, como el 3 y el 5. Se sabe que la suma de sus recíprocos es convergente, pero aún se desconoce si existen infinitos de ellos. En su día hablamos de ello aquí

En los próximos días hablaremos de otra demostración de lo mismo (de momento la última). Esta es verdaderamente sorprendente, porque utiliza argumentos exclusivamente topológicos (¿Me lees, Lola?).

Al igual que ésta, la desmenuzaremos hasta el límite, necesitando para ello otros dos post. Espero que el paseo les resulte agradable.

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9 comentarios

Sildenafil Citrate -

Me gusta la informacion que compartes, quiero felicitarte porque hiciste un gran trabajo

Nike Shox Shoes -

You introduction is detail, thank you so a great deal knowledge, but why do not you offer you some reference pictures?

alejandra -

o.O esta pagina es lo mejor
me encanto demasiado
justo tenia que hacer una
tarea de matematica.. mi
asignatura favorita.. con mi
profesora favorita :)
entiendo todo taaan perfectamente... oo
me gustaria ser tu para tener esta pagina... bueno
aqui te dejo mi e-mail por
si acaso
ale_vale_93@hotmail.com
agregamee :)

Fede -

Interesante blog, gracias y enhorabuena.


En mi opinión una de las demostraciones mas interesantes de la divergencia de la serie de los inversos de los primos es la dada en el 'Hardy & Wright', pag 17. y que proviene, segun nota, de Erdos. Es absoluamente elemental (y corta) y no usa la divergencia de la serie de los inversos de los enteros (que surge como corolario y de la que por lo tanto es otra demostración).

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Tio Petros -

Gracias a ti, Ramiro.

Ramiro II -

He leido, entendido y guardado sus publicaciones sobre \"las series\"; he seguido con atención sus escritos acerca de los números primos y debo felicitarle con la claridad y simplificación que está utilizando. Tabién deseo agradecerle que lo haga así, pués estoy aprendiendo mucho.

Saludos,

Lola -

Bueno, es que yo, por deformación profesional, tiendo a pensar que la topología es topología algebraica y no es así. Supongo que irá más encaminado a la topología de R. Pero bueno, te hago caso y no pienso más. Hale, a comer!

Tio Petros -

Pues si no se te ocurre cómo, te invito a que no busques...poorque encontrarías y entonces te perderás la emoción de la espera.
Jajaja.
Un abrazo.

Lola -

¡¡¡te leo!!! Le estoy dando vueltas y vueltas y no se me ocurre cómo... Entre Vailima y tú me teneis las oposiciones entretenidas. ¿Tu crees que si le planto una demostración topológica de la infinitud de los primos (tema 4) al tribunal, me la aceptarán? (es que no hay ningún tema de topología en todo el temario... y me da que acabaré haciendo algo así, para encubrir mi espíritu topólogo).
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