La paradoja de Tarski - Banach
Las paradojas no existen. Existen resultados que nos parecen paradójicos por que habíamos supuesto erróneamente que el resultado iba a ser otro. Y es que a partir de cierta hondura matemática, la intuición suele ser mala consejera. La llamada paradoja de Tarski-Banach dice la siguiente barbaridad:
Es posible partir una esfera maciza en seis trozos disjuntos de forma que recomponiéndolos mediante movimientos rígidos obtengamos dos esferas macizas de las mismas dimensiones que la original.
Este enunciado y su demostración fue presentado en 1.924 por los matemáticos Alfred Tarski y Stephan Banach. En 1.944 el número de piezas fue reducido a cinco por R.M.Robinson, y en la actualidad bastan cuatro a condición de olvidarse tan sólo del punto central de las esferas.
¿Dónde está el truco? Bueno, en realidad las demostraciones son rigurosas y habría que decir que no hay truco; sin embargo el asunto va contra todas las intuiciones que uno pueda tener. Para empezar, si las esferas son materiales, y no ideales, estamos ante una violación del principio de conservación de la materia. Dado que no es probable que el proceso de partición implique reacciones nucleares, la materia debería conservarse...
Olvidémonos por un momento de esferas materiales y pensemos tan solo en subconjuntos del espacio ordinario tridimensional en forma de esfera. Aunque no lo mencionemos, estamos en terrenos de la Teoría de la medida. Todo el mundo tiene nociones intuitivas de lo que es una medida: es un número asociado a un objeto que indica la cuantización de alguna de sus propiedades; el volumen en este caso. Toda medida que se precie debe tener tres propiedades de sentido común, sin entrar en los formalismos de la Teoría de la medida:
1.- No puede ser negativa.
3.- Debe ser invariante por movimientos rígidos.
2.- Debe ser aditiva. (Esto quiere decir que la medida de la unión de varios objetos sin partes comunes debe ser igual a la suma de las medidas de los objetos por searado).
Siendo así, parece una aberración la afirmación de Tarski y Banach. ¿Hay una explicación satisfactoria de este resultado?
Bueno, la buena noticia es que hay explicación, y la mala es que no es satisfactoria (al menos para un humilde servidor).
La culpa la tiene el axioma de elección, que dice la "obviedad" siguiente:
Si tenemos una colección A de conjuntos no vacíos, es posible formar un conjunto tomando exactamente un elemento de cada uno de los conjuntos que forman la colección A.
Pues bien, utilizando dicho axioma, cuya consistencia con la Teoría de Conjuntos ha sido probada, es posible demostrar que existen subconjuntos no medibles en la recta R, en el plano y por extensión en el espacio tridimensional. Pero entiendanme bien, por favor: no medible no quiere decir de medida cero, como un punto: no medible quiere decir que no se le puede asociar ningún valor a la medida.
Además, la demostración de esto último es constructiva: se construye un subconjunto que no puede tener por su propia construcción ninguna medida asociada. Esto se hace utilizando el axioma de elección.
Ahora podemos comprender que si podemos partir una esfera en trozos no medibles, la aditividad de la medida de volumen se nos va al traste. ¿Porqué tendrían que cumplirla unos trozos que nada saben de medidas? Lo que consiguen Tarski y Banach sobre el papel y en teoría es trocear una esfera de forma que los trozos no son medibles. Esto no deja de ser un experimento mental, desgraciadamente: las formas deben ser irrealizablemente complejas para ser no medibles; algo tan imposible de realizar en la práctica como esculpir un conjunto realmente fractal...
En este direcciónteneis un maravilloso libro de texto sobre Teoría de Conjuntos y lógica matemática. Allá se habla con extensión y enorme rigor de los axiomas de la teoría de conjuntos y sus aplicaciones. Es gratis bajarlo, pero no sale gratis comprenderlo. Si bien no es necesario ningún conocimiento previo, requiere un gran esfuerzo... pero algunos pensamos que merece la pena.
Sobre la paradoja de Tarski-Banach no he encontrado en la red nada interesante, más allá de cuatro tópicos. Si algún lector sabe alguna dirección complementaria a lo que aquí se ha dicho, sería de agradecer que la expusiera en los comentarios.
9 comentarios
Frederick -
"esta afirmación es falsa"
en loógica es terreno prohibido referirse a sí misma, por que pasan este tipo de cosas. en fin, las paradojas son paradojas hasta que alguien llega e inventa algo nuevo para que dejen de serlo, por ejemplo la paradoja de zenón deja de ser una paradoja con el estudio de convergencia de sumas infinitas.
Tadalafil -
Muy Incorrecto -
jhon -
Anónimo -
Yo también soy matemático y hay que tener sentido del humor hombre
Anónimo -
alejandro -
Anónimo -
Jan Cantor -