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Tio Petros

Base matemática de la música.

Estarán de acuerdo conmigo en que no hace falta saber matemáticas para disfrutar de la música. De hecho, a simple vista parecen ser dos temas totalmente desligados... pero en realidad muy pocas cosas están desligadas de la matemática.
¿Saben ustedes porqué las notas son siete? No parece un número muy adecuado; al fin y al cabo es primo, y no tiene divisores; parecería que ocho es más “adecuado”.

En realidad las siete notas DO, RE MI FA SOL LA SI (escala diatónica) se convierten en doce si intercalamos notas intermedias, obteniendo doce, que constituyen la llamada escala cromática: Do, Do#, Re, Re#, Mi, Fa, Fa#, Sol, Sol#, La, La#, y Si. El símbolo # se llama sostenido, e indica un tono (una frecuencia) intermedio entre la nota que lo nombra y las siguiente. En solfeo se aprende que además existen los bemoles (b), que disminuyen el tono en lugar de aumentarlo, de forma que Re# = Mib y La#=Sib, por poner dos ejemplos.

No se trata de una arbitrariedad, ni mucho menos. Existe una base clara que apoya tal “dodecafonismo”. El propósito de este post es intentar explicarlo.

Dos sonidos puros simultáneos pueden dar una sensación agradable (consonante) o no tan agradable (disonante). El asunto depende de la relación entre sus frecuencias. La consonancia perfecta, y obvia, si produce cuando ambos tonos tienen la misma frecuencia (unísono). Para el resto de los casos, el resultado será más consonante cuando al relación de frecuencias sea un número racional de denominador pequeño. En el fondo todo el misterio es la suma de funciones senoidales: si una frecuencia es 2/3 de otra, la suma “encaja” mucho mejor que si es 465/422...

Es obvio que después del unísono, la mejor consonancia es cuando una frecuencia es el doble de la otra. La sensación percibida es que son ambas la misma nota, pero una más aguda que la otra. Por ello, ambas reciben el mismo nombre (se dice por motivos que veremos que están a una octava de distancia).

¿Cómo dividimos las “distancia entre dos notas del mismo nombre, de frecuencias f y 2f? Pues lo más racional parece seguir con fracciones sencillas. Si tomamos una frecuencia 3f/2, obtenemos una nueva nota, de composición sumamente agradable con f y con 2f.

El siguiente paso parece natural: tomar una frecuencia que sea 3/2 de la última; osea 9/4 de la frecuencia base. El problema es que esta fracción es mayor que dos, por lo que nos habremos salido por encima de 2f. Lo corregimos con bajarla una octava ( dividir la frecuencia por dos), que como hemos dicho da la misma sensación de nota musical, si bien más grave), y tenemos 9/8.

Repitiendo el proceso, tenemos:
· f
· 3/2·f
· 9/8 ·f.(Después de haber descendido una octava).
· 3/2·9/8 ·f=27/16·f
· 3/2·27/16 ·f=81/32·f. (Como la frecuencia es más grande que 2f, descendemos una octava y obtenemos 81/64·f)
· 3/2·81/64 ·f=243/128·f
Si ordenamos de menor a mayor estos seis valores, tenemos:

Nota Base f
9/8·f
81/64 ·f
Quinta 3/2·f
27/16·f
243/128·f
Octava 2·f

Tenemos un buen motivo para pararnos con seis valores, y es que si calculamos los cocientes de cada frecuencia con la anterior, nos sale lo siguiente:

(9/8):1=9/8__________________1,125
(81/64):(9/8)=9/8____________1,125
(3/2):(81/64)=32/27__________1,185
(27/16):(3/2)=9/8____________1,125
(243/128):(27/16)=9/8________1,125
2:(243/128)=256/243__________1,053

Vemos que, salvo el salto del tercero al cuarto tono, la cosa está muy equilibrada. Curiosamente, en este hueco entre el tercero y el cuarto se encuentra la fracción 4/3. Si lo intercalamos obtenemos la siguiente tabla:

Frecuencia___________ Razón nota anterior _____________Nombre

Tónica_____f_____________________________________________Do
Segunda 9/8·f___________9/8=1,125_________________________Re
Tercera 81/64·f__________9/8=1,125_________________________Mi
Cuarta 4/3·f_____________256/243=1,053_____________________Fa
Quinta 3/2·f_____________9/8=1,125_________________________Sol
Sexta 27/16·f___________9/8=1,125__________________________La
Séptima 243/128·f________9/8=1,125_________________________Si
Octava 2f_______________256/243=1,053_____________________Do

Hemos obtenido una división de la octava (de un Do grave a un Do de doble frecuencia) atendiendo a criterios de máxima consonancia, por lo que las combinaciones de sonidos serán lo más agradable posible. Podemos comprobar que las distancias Mi-Fa y Si-Do son menores que el resto (empleamos en este contexto la palabra distancia en una acepción no habitual: como cociente de frecuencias) . De hecho, las distancias Mi-Fa y Si-Do son aproximadamente la mitad, habida cuenta de que 1,053 2 se aproxima bastante bien a 1,125.

Llamamos entonces a la distancia entre dos notas consecutivas cuya relación de frecuencias es 1,125 y semitono a la distancia referida a un cociente de frecuencias de 1,053. Con esto presente, entre dos notas consecutivas hay siempre un tono, con la excepción de las distancias Mi-Fa y de Si-DO, intervalos de un semitono.
Si bien este estado de cosas parece bastante complicado, la realidad (por una vez) es más sencilla. Actualmente se usa la llamada Escala temperada , que consiste en formar la escala cromática de las doce notas mencionadas más arriba a base de multiplicar la frecuencia de la tónica por la raíz doceava de dos. Obtenemos una escala promediada que vuelve a la tónica una octava más alta, con doble frecuencia tras pasar por las doce de la escala. En la escala temperada , los múltiplos perfectos de frecuencias se pierden, y las armonías no son tan redondas, pero se simplifica enormemente la tarea de afinación de instrumentos musicales. Simplificación ramplona a juicio de los amantes de la música antigua.

En la siguiente imagen podeis comparar la escala temperada, completamente fría y perfecta con otras escalas:

Escala temperada

Shree (india)

Hirajoshi (Japón)

Diatónica o pitagórica
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54 comentarios

rocio -

matematica y musica

Supra TK Society -

Keeping looking and listening and keep my brain active. We are never too old to learn. It's a good behavior.

Creative Recreation -

You introduction is detail, thank you so significantly information, but why do not you deliver some reference photographs?

FLoyd -

Buena relación entre las matemáticas y la música y tengo entendido que tambien existe proporcoines musicales y su relacion con la arquitectura y que la arquitectura mediante sus medidas y sus proporciones se pueden transformar en notas musicales; tendrán el método de ello, seria genial

antikaria -

Tuve la oportinidad de tener entre mis manos hace tiempo un libro de matematicas del s. XVII y tenia dos partes: la primera de Geometria Analitica y la Segunda de Teoria de la Musica. Se conoce que en principio se estudiaban juntas.Saludos.

Deyni Alvarez Rodríguez -

Hola, a todos, llegue hasta aquí buscando informacuión sobre como graficar el sonido a partir de ecuaciones matemáticas, alguien sabe como hacerlo, por favor necesito hacer una aplicación donde se reproducen sonidos, y quiero graficarlo, parecido a lo que hacen algunos reproductores de sonidos, como el winamp,

saludos a todos y gracias por adelantado.

deyni

ana -

Le agradezco que si me me pudiera ayudar en que tiene relación la matemática y la música, estoy haciendo un trabajo sobre eso , se le agradeceria, soy estudiante de educación matemática

billy -

hola me parecio muy bien explicado el articolo...y estoy interesado en saber algo sobre las escalas orientales. Me parece muy grosso que los chabones dividan los tonos en cuatro, si bien esta musica nos suena "rara" cuando la escuchamos, me parece que si adecuamos nuestro oido a ella es como disfrutar de un tipo de musica el doble de "amplia", en cierta forma e como ampliar nuestro universo de audision ( o algo asi)
mi nombre es Ginés estudio psicologia y soy graduado en la academia munisipal de mucica de la ciudad de azul-bs as- argentina
un saludo....

ALBITA -

EXCELENTE INFORMACIÓN Y GUSTO POR RELACIONAR LA MUSICA Y LA MATEMATICA. FELICITACIONES.........

lucero -

hola quisiera añadir que no se mucho de la amtematica pero quisiera aprendre un poco mas sobre el .
si desean hablenmme un poco mas de la matematica ya que todos dicen que es muy buen.

PROTON -

SOY GEY

Marsiv Deft -

Corrección: No es Sexagesáfono, sinó Hexadecáfono. Lamento la confusión de términos. Recuerden: HEXADECAFÓNICO!!

JMichael -

TioPetrus:
Yo tenia entendido que las relaciones entre las notas eran las siguientes:
Si tomamos Do como 1
Re = Do x 9/8
Mi = Re x 10/9 = 5/4 Do
Fa = Mi x 16/15 = 4/3 Do
Sol = Mi x 9/8 = 3/2 Do
La = Sol x 10/9 = 5/3 Do
Si = Sol x 9/8 = 15/8 Do
Do'= Si x 16/15 = 2Do

De modo que aparecian los acordes:
Do Mi Sol con frecuencias
1 5/4 3/2 que multiplicando por 4 estan en relacion como los numeros
4 5 6

Un saludo de JMichael

Julian Andres -

oye, excelente documento, te lo agradezco como un matematico ya que para mucha gente la matematica es 'inutil' porque no la necesitamos y con este documento queda claro que en un aspecto tan cotidiano y popular se vea la influencia de las matematicas, excelente investigacion y manejo de las matematicas

Ju -

sakura car captors -

hola que lindo es mi oyo

alma del oyo prieto -

no mames que es eso no entiendo nada escribeme guey para desirte que eres un tio prieto

XMaryX777 -

waoo!! saludos desde Puerto Rico ..es muy interesante aui estaba buscando sobre en que la musica tenia relación con la contabilidad y me tope con esto ..pues sabia que la matemática se relacionaba y lo veo medio complicado;pero lo de los colores nunca lo habia visto.:/
Dios les bendiga!

maria jose -

megustaria saber mas sobre la musica, como las de los 80, punk,rock etc

Giron -

Bueno mirar estoy... super soprendido sobre este tema que no lo habia escuchado nunca. Lo que no tengo claro es (atencion tio petros!) la conclusion de todo esto cual es? se puede tocar musica por comandos de colores que "pegen" entre sí. Como por ejemplo DO-MI-SOL. O haciendo una serie de problemas se puede conseguir notas q sigan un melodia bonita y agradable? En fin es muyyyyy interesante. RESPONDER POR FAVOR.

Anónimo -

julian garcia guzman -

Estoy preparando mi clase introductoria de matematicas utilizando estos conceptos y mi guitarra, esperando con esto impactar a mis alumnos

gabriela -

disculpeme, pero no estoy muy de acuerdo con su visión de la consonancia y la disonancia. Algo es consonante (o agradable como Ud. dice) no sólo dependiendo de sus frecuencias sino de su a´mbito. Una octava no siempre será consonante, habrá que ver en que ámbito se lo ejecuta. si toco con mi mano muchas teclas al azar juntas, la octava no sonará "consonante", porque su contexto no está en relación con ella, por lo tanto esta consonancia será, en este contexto, disonante.

Rosa Ana Ampuero Silva -

Hola, la verdad es que soy matemática y estoy realizando mi Tesis sobre la Música y la Matemática, me gustaría saber si ud, me puede enviar informacion sobre esto, pues la verdad es que todo lo que tengo es sobre la ecuación de fourier para graficar sonidos, engo una gran confusión de términos musicales que yo no manejo, esperando una buena acogida a mi peticion atte Rosa Ampuero

Marsiv Deft -

Según tengo entendido, y concuerdo con Billy, es ke la escala musical occidental se divide en 12 tonos y la escala musical hindú se divide en 22 tonos. Mi duda es la sigiente: ¿Tendrá alguna relación el Dodecafono con la división horaria de un reloj (porke también se divide por 12)?
La verdad es ke hace tiempo estoy con la idea de inventar una escala musical dividida en 16 tonos y presentar un prototipo de un Bajo en escala "Sexagesafónica", la cual el mástil estaría repartido en 32 trastes, lo ke coincidiría con un Bajo de 24 trastes de la escala Dodecafónica.
Decidí esto, porke la verdad indago mucho respecto a este tema y me gustaría experimentar y apreciar un modo alternativo de componer música.
Tio Petrus, tal vez te digas el porké de 16 tonos. Pues al haber analizado e indagado en otros temas relacionados con las matemáticas como es también la computación y sus sistemas integrados de procesar información como lo es el Código Binario, Al representar un número binario, si se tiene una cifra de un tamaño considerable, estos se encasillan de a cuatro. ¿A ké voy con esto? A lo ke voy es ke en una secuencia binaria sería algo así:
0000=0; 0001=1; 0010=2; 0011=3; 0100=4; 0101=5; 0110=6; 0111=7(Octal); 1000=8; 1001=9(Decimal); 1010=10; 1011=11; 1100=12; 1101=13; 1110=14; 1111=15(Sexagesimal); 1 0000=16; 1 0001=17; 1 0010=18; 1 0011=19(Vigesimal); 1 0100=20
(Recuerda ke los computadores siempre parten contando desdel 0, para lo ke nosotros los humanos partimos contando desdel 1).
Entonces de akí asiento mi base de una escala musical "Sexagesafónica", en la cual creo ke sería una innovación y APORTE a la música.
Si Hubiera un piano (a modo de ejemplo) en escala "Sexagesafónica", cada "Décima" (porke ya no serían Octavas) se compondría de 9 notas naturales y 7 notas alternadas (o semitonos) y Gráficamente se vería de esta forma de como estarían distribuídas las teclas en un piano "Sexagesafónico":
-Como en un piano Dodecafónico o "Normal", cada Octava contiene 7 teclas blancas, 2 Teclas negras y 3 Teclas negras después del 'Fa'.
-Si fuese un piano "Sexagesafónico", serían 9 teclas blancas, 3 teclas negras y 4 teclas negras despues del ¿'Fa'?
A raíz de esto me vería en la obligación de inventar nombres para las 'Notas Nuevas'.
¿Ké tal esto?:
Además de los nombres de los 7 tonos naturales de un Dodecafono, se le añadiesen 2 tonos más al ajustar las frecuencias de ondas de un Dodecafono para transformarlo en un Sexagesáfono, o sea, 2 tonos + 2 Semitonos.
-C (Do)
-D (Re)
- (Ki)
-E (Mi)
-F (Fa)
-G (Sol)
- (Yun)
-A (La)
-B (Si)

ekant -

existen 2 escalas una para la mañana y una para la tarde, (referente a la musica hindu pero no se como tocarlas las notas son obiamente de la escala pentatonica

che victor -

wooooooooow¡¡¡
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Lee Abraham -

Me pordrian explicar mas claramente que es un intervalo;;; y tambien quisiera saber cual es la escala de la india

naldo salvador carrasco vasquez -

bueno ke sean un poco mas explicitos en el tema pues es un poco confusa con eso me refiero ake deben ser mas sencillo al buscar uno un tema

eugenia kor -

Me gustaría tener un intercambio de ideas sobre la relación entre la música y las matemáticas.

agradezco de antemano la ayuda prestada
Atentamente .
geni

kik -

Hola!!
Buscand información sobre escalas he caido por aqui, y me ha parecido muy interesante el tema. No sé mucho sobre el tema... tan solo soy un pobre estudiante de musica, pero referente a la inquietud de willy si que puedo añadir que, las escalas orientales contemplan la croma, cosa que en las escalas occidentales o las "bien temperadas" no. Por eso el color tan especial de las musicas orientales.
Salu2

txo -

Bien,bien. Algunos detallitos musicales te comentaré. Explicado genial!!!

Tio Petros -

Eres un cachondo, Artista.
¿O quizás no?
Glups...

El Artista -

Una explicación muy, muy clara. Lo que me gusta especialmente es lo de los colores no lo había visto nunca.

¿Cómo has calculado los colores? ¿Tienes más información acerca de los colores en la escala?

Azrael -

Me ha encantado el artículo,bien explicado y claro.
Respecto al post anterior, puede que te refieras a los microtonos de las escalas orientales, aunque no sé si es 1/4 de tono.

Eratóstenes -

Siete sonidos de piel oscura bailaban entre cinco paralelas...

Tio Petros -

No lo sé, Willy. Lo que sí sé es que no hay "una escala hindú", seguramente habrá cientos. La variabilidad en otras civilizaciones ajenas a la nuestra es enorme en música, a todos los niveles, incluso los más teóricos. De todas formas, sí he oído hablar de escalas que contemplan cuartos de tono, hindúes o no.

willy -

una explicación extraordinaria...
por cierto, había oído que la escala hindú presenta cuartos de tono, ¿es cierto ésto?

Rimblow -

Impresionate artículo Tio Petros y no menos impresionante el simil que ha hecho Shunt, desde luego lo que esta claro es que la música y las matemáticas son lo mismo, se quiera ver o no,..."el que tenga oidos que oiga"...un saludo...MAESTROS...

Shunt -

Hace tiempo me preguntaba cuál era la base y me lo explicaba mediante los armónicos que son las frecuencias múltiplos de la original. Dada una nota de referencia, una escala musical estaría entre el múltiplo 8 (óctuple) y el 16 que sería ya su octava. Me fascina pensar en que, por ejemplo, una acorde tan sobrio como un Do-Mi-Sol está formado por los múltiplos x3 (ó x6), x4 y x5 de un Do virtual situado dos octavas más abajo. Los acordes son como los nietos, una vez desaparecido el abuelo y los hijos. Tal vez por eso trasmitan un "vacío", ese sentimiento inexpresable si no se oyen.

Las melodías, acompañamientos y demás notas serían como el personal que deambula en esa antigua casa. Cuando cambia el acorde es como si cambia de propietario, todo queda en suspenso...

Algernon -

Muy interesante! :)

malglam -

Precioso post. Es algo por lo que siempre tuve curiosidad.

ana laura -

planeo hacer un doctorado sobre la relación entre las fracciones (en la métrica musical) y los números fraccionarios (como partición de la unidad) ¿alguien que tenga información? gracias y saludos

Yenifer -

La matemática consiste en el principio universal de la armonía estética de lo perfecto.
Es sorprendente lo semejantes que son con la música, pero a fin de cuentas ha estado siempre ahí.

Angélica -

Siento decirte que estás equivocado, la matemática no está atrás de la música.
Es deplorable que se considere la disonancia como desagradable.

olulo trucios kenyo -

ANHELO SUS LAS NOTAS MUSICLAES DE LA LIRA Y PORFABOR DESEARIA QME MANDAEN MENSAJES SOY DE PERÙ

Luis -

yo quisiera que publicaran graficamente los acordes de la guitarra en especial las 12ª

Ric -

¡Genial artículo!
Ha habido un par de cosas que me han pasado por la mente al leerlo.
a) Los pitagóricos y las referencias de fraciones en cuanto a una cuerda de lira.
b) Me preguntaba si saldría algo interesante de investigar las obras de Bach (por ejemplo) matemáticamente.

¡Salud!

carefla -

a mi =

julito -

me gusta el manguako

panchito -

GB

colo-colo

markito -

The Valle Sur

carefla -

hijos de la verdadera perra ke los pareo atras de los matorrales jiles kuliaos ballan a meterse una flauta en el pótoo !!!
wuajajajajajajajaja
au revoir

julito -

aweonaa la wea de musika vale callampa!!
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