Base matemática de la música.
Estarán de acuerdo conmigo en que no hace falta saber matemáticas para disfrutar de la música. De hecho, a simple vista parecen ser dos temas totalmente desligados... pero en realidad muy pocas cosas están desligadas de la matemática.
¿Saben ustedes porqué las notas son siete? No parece un número muy adecuado; al fin y al cabo es primo, y no tiene divisores; parecería que ocho es más adecuado.
En realidad las siete notas DO, RE MI FA SOL LA SI (escala diatónica) se convierten en doce si intercalamos notas intermedias, obteniendo doce, que constituyen la llamada escala cromática: Do, Do#, Re, Re#, Mi, Fa, Fa#, Sol, Sol#, La, La#, y Si. El símbolo # se llama sostenido, e indica un tono (una frecuencia) intermedio entre la nota que lo nombra y las siguiente. En solfeo se aprende que además existen los bemoles (b), que disminuyen el tono en lugar de aumentarlo, de forma que Re# = Mib y La#=Sib, por poner dos ejemplos.
No se trata de una arbitrariedad, ni mucho menos. Existe una base clara que apoya tal dodecafonismo. El propósito de este post es intentar explicarlo.
Dos sonidos puros simultáneos pueden dar una sensación agradable (consonante) o no tan agradable (disonante). El asunto depende de la relación entre sus frecuencias. La consonancia perfecta, y obvia, si produce cuando ambos tonos tienen la misma frecuencia (unísono). Para el resto de los casos, el resultado será más consonante cuando al relación de frecuencias sea un número racional de denominador pequeño. En el fondo todo el misterio es la suma de funciones senoidales: si una frecuencia es 2/3 de otra, la suma encaja mucho mejor que si es 465/422...
Es obvio que después del unísono, la mejor consonancia es cuando una frecuencia es el doble de la otra. La sensación percibida es que son ambas la misma nota, pero una más aguda que la otra. Por ello, ambas reciben el mismo nombre (se dice por motivos que veremos que están a una octava de distancia).
¿Cómo dividimos las distancia entre dos notas del mismo nombre, de frecuencias f y 2f? Pues lo más racional parece seguir con fracciones sencillas. Si tomamos una frecuencia 3f/2, obtenemos una nueva nota, de composición sumamente agradable con f y con 2f.
El siguiente paso parece natural: tomar una frecuencia que sea 3/2 de la última; osea 9/4 de la frecuencia base. El problema es que esta fracción es mayor que dos, por lo que nos habremos salido por encima de 2f. Lo corregimos con bajarla una octava ( dividir la frecuencia por dos), que como hemos dicho da la misma sensación de nota musical, si bien más grave), y tenemos 9/8.
Repitiendo el proceso, tenemos:
· f
· 3/2·f
· 9/8 ·f.(Después de haber descendido una octava).
· 3/2·9/8 ·f=27/16·f
· 3/2·27/16 ·f=81/32·f. (Como la frecuencia es más grande que 2f, descendemos una octava y obtenemos 81/64·f)
· 3/2·81/64 ·f=243/128·f
Si ordenamos de menor a mayor estos seis valores, tenemos:
Nota Base f
9/8·f
81/64 ·f
Quinta 3/2·f
27/16·f
243/128·f
Octava 2·f
Tenemos un buen motivo para pararnos con seis valores, y es que si calculamos los cocientes de cada frecuencia con la anterior, nos sale lo siguiente:
(9/8):1=9/8__________________1,125
(81/64):(9/8)=9/8____________1,125
(3/2):(81/64)=32/27__________1,185
(27/16):(3/2)=9/8____________1,125
(243/128):(27/16)=9/8________1,125
2:(243/128)=256/243__________1,053
Vemos que, salvo el salto del tercero al cuarto tono, la cosa está muy equilibrada. Curiosamente, en este hueco entre el tercero y el cuarto se encuentra la fracción 4/3. Si lo intercalamos obtenemos la siguiente tabla:
Frecuencia___________ Razón nota anterior _____________Nombre
Tónica_____f_____________________________________________Do
Segunda 9/8·f___________9/8=1,125_________________________Re
Tercera 81/64·f__________9/8=1,125_________________________Mi
Cuarta 4/3·f_____________256/243=1,053_____________________Fa
Quinta 3/2·f_____________9/8=1,125_________________________Sol
Sexta 27/16·f___________9/8=1,125__________________________La
Séptima 243/128·f________9/8=1,125_________________________Si
Octava 2f_______________256/243=1,053_____________________Do
Hemos obtenido una división de la octava (de un Do grave a un Do de doble frecuencia) atendiendo a criterios de máxima consonancia, por lo que las combinaciones de sonidos serán lo más agradable posible. Podemos comprobar que las distancias Mi-Fa y Si-Do son menores que el resto (empleamos en este contexto la palabra distancia en una acepción no habitual: como cociente de frecuencias) . De hecho, las distancias Mi-Fa y Si-Do son aproximadamente la mitad, habida cuenta de que 1,053 2 se aproxima bastante bien a 1,125.
Llamamos entonces a la distancia entre dos notas consecutivas cuya relación de frecuencias es 1,125 y semitono a la distancia referida a un cociente de frecuencias de 1,053. Con esto presente, entre dos notas consecutivas hay siempre un tono, con la excepción de las distancias Mi-Fa y de Si-DO, intervalos de un semitono.
Si bien este estado de cosas parece bastante complicado, la realidad (por una vez) es más sencilla. Actualmente se usa la llamada Escala temperada , que consiste en formar la escala cromática de las doce notas mencionadas más arriba a base de multiplicar la frecuencia de la tónica por la raíz doceava de dos. Obtenemos una escala promediada que vuelve a la tónica una octava más alta, con doble frecuencia tras pasar por las doce de la escala. En la escala temperada , los múltiplos perfectos de frecuencias se pierden, y las armonías no son tan redondas, pero se simplifica enormemente la tarea de afinación de instrumentos musicales. Simplificación ramplona a juicio de los amantes de la música antigua.
En la siguiente imagen podeis comparar la escala temperada, completamente fría y perfecta con otras escalas:
Escala temperada
Shree (india)
Hirajoshi (Japón)
Diatónica o pitagórica
¿Saben ustedes porqué las notas son siete? No parece un número muy adecuado; al fin y al cabo es primo, y no tiene divisores; parecería que ocho es más adecuado.
En realidad las siete notas DO, RE MI FA SOL LA SI (escala diatónica) se convierten en doce si intercalamos notas intermedias, obteniendo doce, que constituyen la llamada escala cromática: Do, Do#, Re, Re#, Mi, Fa, Fa#, Sol, Sol#, La, La#, y Si. El símbolo # se llama sostenido, e indica un tono (una frecuencia) intermedio entre la nota que lo nombra y las siguiente. En solfeo se aprende que además existen los bemoles (b), que disminuyen el tono en lugar de aumentarlo, de forma que Re# = Mib y La#=Sib, por poner dos ejemplos.
No se trata de una arbitrariedad, ni mucho menos. Existe una base clara que apoya tal dodecafonismo. El propósito de este post es intentar explicarlo.
Dos sonidos puros simultáneos pueden dar una sensación agradable (consonante) o no tan agradable (disonante). El asunto depende de la relación entre sus frecuencias. La consonancia perfecta, y obvia, si produce cuando ambos tonos tienen la misma frecuencia (unísono). Para el resto de los casos, el resultado será más consonante cuando al relación de frecuencias sea un número racional de denominador pequeño. En el fondo todo el misterio es la suma de funciones senoidales: si una frecuencia es 2/3 de otra, la suma encaja mucho mejor que si es 465/422...
Es obvio que después del unísono, la mejor consonancia es cuando una frecuencia es el doble de la otra. La sensación percibida es que son ambas la misma nota, pero una más aguda que la otra. Por ello, ambas reciben el mismo nombre (se dice por motivos que veremos que están a una octava de distancia).
¿Cómo dividimos las distancia entre dos notas del mismo nombre, de frecuencias f y 2f? Pues lo más racional parece seguir con fracciones sencillas. Si tomamos una frecuencia 3f/2, obtenemos una nueva nota, de composición sumamente agradable con f y con 2f.
El siguiente paso parece natural: tomar una frecuencia que sea 3/2 de la última; osea 9/4 de la frecuencia base. El problema es que esta fracción es mayor que dos, por lo que nos habremos salido por encima de 2f. Lo corregimos con bajarla una octava ( dividir la frecuencia por dos), que como hemos dicho da la misma sensación de nota musical, si bien más grave), y tenemos 9/8.
Repitiendo el proceso, tenemos:
· f
· 3/2·f
· 9/8 ·f.(Después de haber descendido una octava).
· 3/2·9/8 ·f=27/16·f
· 3/2·27/16 ·f=81/32·f. (Como la frecuencia es más grande que 2f, descendemos una octava y obtenemos 81/64·f)
· 3/2·81/64 ·f=243/128·f
Si ordenamos de menor a mayor estos seis valores, tenemos:
Nota Base f
9/8·f
81/64 ·f
Quinta 3/2·f
27/16·f
243/128·f
Octava 2·f
Tenemos un buen motivo para pararnos con seis valores, y es que si calculamos los cocientes de cada frecuencia con la anterior, nos sale lo siguiente:
(9/8):1=9/8__________________1,125
(81/64):(9/8)=9/8____________1,125
(3/2):(81/64)=32/27__________1,185
(27/16):(3/2)=9/8____________1,125
(243/128):(27/16)=9/8________1,125
2:(243/128)=256/243__________1,053
Vemos que, salvo el salto del tercero al cuarto tono, la cosa está muy equilibrada. Curiosamente, en este hueco entre el tercero y el cuarto se encuentra la fracción 4/3. Si lo intercalamos obtenemos la siguiente tabla:
Frecuencia___________ Razón nota anterior _____________Nombre
Tónica_____f_____________________________________________Do
Segunda 9/8·f___________9/8=1,125_________________________Re
Tercera 81/64·f__________9/8=1,125_________________________Mi
Cuarta 4/3·f_____________256/243=1,053_____________________Fa
Quinta 3/2·f_____________9/8=1,125_________________________Sol
Sexta 27/16·f___________9/8=1,125__________________________La
Séptima 243/128·f________9/8=1,125_________________________Si
Octava 2f_______________256/243=1,053_____________________Do
Hemos obtenido una división de la octava (de un Do grave a un Do de doble frecuencia) atendiendo a criterios de máxima consonancia, por lo que las combinaciones de sonidos serán lo más agradable posible. Podemos comprobar que las distancias Mi-Fa y Si-Do son menores que el resto (empleamos en este contexto la palabra distancia en una acepción no habitual: como cociente de frecuencias) . De hecho, las distancias Mi-Fa y Si-Do son aproximadamente la mitad, habida cuenta de que 1,053 2 se aproxima bastante bien a 1,125.
Llamamos entonces a la distancia entre dos notas consecutivas cuya relación de frecuencias es 1,125 y semitono a la distancia referida a un cociente de frecuencias de 1,053. Con esto presente, entre dos notas consecutivas hay siempre un tono, con la excepción de las distancias Mi-Fa y de Si-DO, intervalos de un semitono.
Si bien este estado de cosas parece bastante complicado, la realidad (por una vez) es más sencilla. Actualmente se usa la llamada Escala temperada , que consiste en formar la escala cromática de las doce notas mencionadas más arriba a base de multiplicar la frecuencia de la tónica por la raíz doceava de dos. Obtenemos una escala promediada que vuelve a la tónica una octava más alta, con doble frecuencia tras pasar por las doce de la escala. En la escala temperada , los múltiplos perfectos de frecuencias se pierden, y las armonías no son tan redondas, pero se simplifica enormemente la tarea de afinación de instrumentos musicales. Simplificación ramplona a juicio de los amantes de la música antigua.
En la siguiente imagen podeis comparar la escala temperada, completamente fría y perfecta con otras escalas:
Escala temperada
Shree (india)
Hirajoshi (Japón)
Diatónica o pitagórica
54 comentarios
Supra TK Society -
Creative Recreation -
PROTON -
Marsiv Deft -
FLoyd -
Deyni Alvarez Rodríguez -
saludos a todos y gracias por adelantado.
deyni
Marsiv Deft -
La verdad es ke hace tiempo estoy con la idea de inventar una escala musical dividida en 16 tonos y presentar un prototipo de un Bajo en escala "Sexagesafónica", la cual el mástil estaría repartido en 32 trastes, lo ke coincidiría con un Bajo de 24 trastes de la escala Dodecafónica.
Decidí esto, porke la verdad indago mucho respecto a este tema y me gustaría experimentar y apreciar un modo alternativo de componer música.
Tio Petrus, tal vez te digas el porké de 16 tonos. Pues al haber analizado e indagado en otros temas relacionados con las matemáticas como es también la computación y sus sistemas integrados de procesar información como lo es el Código Binario, Al representar un número binario, si se tiene una cifra de un tamaño considerable, estos se encasillan de a cuatro. ¿A ké voy con esto? A lo ke voy es ke en una secuencia binaria sería algo así:
0000=0; 0001=1; 0010=2; 0011=3; 0100=4; 0101=5; 0110=6; 0111=7(Octal); 1000=8; 1001=9(Decimal); 1010=10; 1011=11; 1100=12; 1101=13; 1110=14; 1111=15(Sexagesimal); 1 0000=16; 1 0001=17; 1 0010=18; 1 0011=19(Vigesimal); 1 0100=20
(Recuerda ke los computadores siempre parten contando desdel 0, para lo ke nosotros los humanos partimos contando desdel 1).
Entonces de akí asiento mi base de una escala musical "Sexagesafónica", en la cual creo ke sería una innovación y APORTE a la música.
Si Hubiera un piano (a modo de ejemplo) en escala "Sexagesafónica", cada "Décima" (porke ya no serían Octavas) se compondría de 9 notas naturales y 7 notas alternadas (o semitonos) y Gráficamente se vería de esta forma de como estarían distribuídas las teclas en un piano "Sexagesafónico":
-Como en un piano Dodecafónico o "Normal", cada Octava contiene 7 teclas blancas, 2 Teclas negras y 3 Teclas negras después del 'Fa'.
-Si fuese un piano "Sexagesafónico", serían 9 teclas blancas, 3 teclas negras y 4 teclas negras despues del ¿'Fa'?
A raíz de esto me vería en la obligación de inventar nombres para las 'Notas Nuevas'.
¿Ké tal esto?:
Además de los nombres de los 7 tonos naturales de un Dodecafono, se le añadiesen 2 tonos más al ajustar las frecuencias de ondas de un Dodecafono para transformarlo en un Sexagesáfono, o sea, 2 tonos + 2 Semitonos.
-C (Do)
-D (Re)
- (Ki)
-E (Mi)
-F (Fa)
-G (Sol)
- (Yun)
-A (La)
-B (Si)
Angélica -
Es deplorable que se considere la disonancia como desagradable.
olulo trucios kenyo -
billy -
mi nombre es Ginés estudio psicologia y soy graduado en la academia munisipal de mucica de la ciudad de azul-bs as- argentina
un saludo....
Luis -
carefla -
julito -
panchito -
colo-colo
markito -
carefla -
wuajajajajajajajaja
au revoir
julito -
rocio -
antikaria -
ana -
ALBITA -
lucero -
si desean hablenmme un poco mas de la matematica ya que todos dicen que es muy buen.
ana laura -
Yenifer -
Es sorprendente lo semejantes que son con la música, pero a fin de cuentas ha estado siempre ahí.
Ric -
Ha habido un par de cosas que me han pasado por la mente al leerlo.
a) Los pitagóricos y las referencias de fraciones en cuanto a una cuerda de lira.
b) Me preguntaba si saldría algo interesante de investigar las obras de Bach (por ejemplo) matemáticamente.
¡Salud!
JMichael -
Yo tenia entendido que las relaciones entre las notas eran las siguientes:
Si tomamos Do como 1
Re = Do x 9/8
Mi = Re x 10/9 = 5/4 Do
Fa = Mi x 16/15 = 4/3 Do
Sol = Mi x 9/8 = 3/2 Do
La = Sol x 10/9 = 5/3 Do
Si = Sol x 9/8 = 15/8 Do
Do'= Si x 16/15 = 2Do
De modo que aparecian los acordes:
Do Mi Sol con frecuencias
1 5/4 3/2 que multiplicando por 4 estan en relacion como los numeros
4 5 6
Un saludo de JMichael
Julian Andres -
Ju -
sakura car captors -
alma del oyo prieto -
XMaryX777 -
Dios les bendiga!
maria jose -
Giron -
Anónimo -
julian garcia guzman -
gabriela -
Rosa Ana Ampuero Silva -
ekant -
che victor -
Lee Abraham -
naldo salvador carrasco vasquez -
eugenia kor -
agradezco de antemano la ayuda prestada
Atentamente .
geni
kik -
Buscand información sobre escalas he caido por aqui, y me ha parecido muy interesante el tema. No sé mucho sobre el tema... tan solo soy un pobre estudiante de musica, pero referente a la inquietud de willy si que puedo añadir que, las escalas orientales contemplan la croma, cosa que en las escalas occidentales o las "bien temperadas" no. Por eso el color tan especial de las musicas orientales.
Salu2
txo -
Tio Petros -
¿O quizás no?
Glups...
El Artista -
¿Cómo has calculado los colores? ¿Tienes más información acerca de los colores en la escala?
Azrael -
Respecto al post anterior, puede que te refieras a los microtonos de las escalas orientales, aunque no sé si es 1/4 de tono.
Eratóstenes -
Tio Petros -
willy -
por cierto, había oído que la escala hindú presenta cuartos de tono, ¿es cierto ésto?
Rimblow -
Shunt -
Las melodías, acompañamientos y demás notas serían como el personal que deambula en esa antigua casa. Cuando cambia el acorde es como si cambia de propietario, todo queda en suspenso...
Algernon -
malglam -