Los ingenuos trisectores de ángulos
Existen muchos tipos de aficionados a la matemática, como existen muchos tipos de aficionados a la física. Pero básicamente se engloban en dos categorías: La primera es la de los que disfrutan aprendiendo y poco a poco van adquiriendo más y más conocimientos. Cuando tienen la suerte de encontrar a alguien que sabe más que ellos, sabiamente se callan y aprenden.. La segunda es la de los que quieren enseñar sin comprender que el camino es muy largo, y hay mucho que aprender antes de enseñar. A esta última categoría pertenecen los trisectores de ángulos.
Una de las primeras cosas que debe saberse en matemáticas es que una demostración bien hecha es una verdad que ni los siglos ni las modas ni las culturas cambiará jamás. Refleja una verdad eterna e inmutable. Esto no tiene parangón en las ciencias positivas. Una teoría formidable, magnífica como la gravitación de Newton puede ser superada por otra que venga después, como la relatividad einsteniana que la contradiga en alguna de sus afirmaciones. Sin embargo, nadie encontrará jamás un triángulo rectángulo plano que contradiga el Teorema de Pitágoras. Y quien pretenda que las geometrías no euclideas contradicen dicho teorema es que no sabe o quiere olvidar que el teorema de Pitágoras se refiere a triángulos en el plano euclídeo.
Esto viene a cuento de los personajes que afirman haber conseguido cualquiera de las tres construcciones imposibles con regla y compás no graduados:
1.- la duplicación del cubo
2.- la trisección de un ángulo cualquiera
3.- la cuadratura del círculo.
Desde antiguo, matemáticos aficionados autodidactas pretenden haber conseguido alguna de las tres construcciones, e incluso las han patentado. De hecho hace ya muchos años la oficina de patentes de París publicó un edicto en el que se indicaba que ya no recibiría más demostraciones de la trisección del ángulo y pese a eso las demostraciones siguen apareciendo.
¿Porqué es imposible un método para dividir en tres partes iguales cualquier ángulo usando una regla y un compás no marcados? Básicamente la demostración de imposibilidad emana de la Teoría de Galois que trabaja con unas estructuras matemáticos llamadas cuerpos, o campos. Simplificando extraordinariamente diremos que estamos trabajando en un campo o cuerpo cuando tenemos un conjunto de números que podemos sumar, restar y multiplicar o dividir entre sí obteniendo siempre números del conjunto. Si definimos que un número es construible si podemos obtener un segmento de longitud igual a dicho número con regla y compás no marcados partiendo de un segmento de longitud unidad. Resulta que el conjunto de todos los números construibles es un cuerpo. El conjunto Q de los números fraccionarios es también un cuerpo. Toda ecuación de primer grado con coeficientes en un cuerpo tiene solución en dicho cuerpo. Parece difícil de entender, pero es trivial.
En efecto, si tenemos ax+b=0 con a y b de un cuerpo C, x siempre será de C, pues x=-b/a, y sabemos que dentro de un cuerpo se pueden efectuar las cuatro reglas sin salirnos de él, por definición. Si la ecuación es de grado mayor, no podemos afirmarlo, porque tenemos raíces cuadradas o de índice mayor, que no respetan en principio la estructura de cuerpo. Pues bien, tenemos dos teoremas importantes:
1.- Todos los números de Q son construibles.
2.- Un número real es construible si y solo si es solución de una ecuación de grado potencia de dos en Q
La cuadratura del círculo implica al número pi, que no es solución de ningún polinomio en Q, la duplicación del cubo implica la construcción de la raíz cúbica de dos, que es solución de un polinomio de grado tres (no es potencia de dos), y la trisección del ángulo de 60º implica la construcción de otro número solución de una ecuación de grado tres, y por lo tanto las tres son imposibles. Pueden existir métodos para trisecar un ángulo concreto (el del ángulo recto es trivial), pero nunca, NUNCA el de 60º.
Una buena introducción al tema en castellano la tenéis aquí y también aquí
En esta dirección podeis ver una de las infinitas pretendidas demostraciones de la trisección de un ángulo cualquiera. Hay que reconocerle cierto mérito a su autor, pues una lectura superficial parece indicarnos que todo es correcto, pero...no lo es en absoluto.
Como reflexión final, podríamos terminar diciendo que es una pena que haya gente como los trisectores de ángulos, que invierten ilusiones, tiempo y esfuerzo en tales cosas. Mucho menos esfuerzo les costaría entender la Teoría de Galois, que no es tan difícil, y les ampliaría en gran medida la comprensión profunda de porqué sus anhelos están irremisiblemente condenados al fracaso.
Como postdata, comentaré que existe gente de muy diferente índole que intentar construcciones aproximadas con regla y compás de estos tres extremos. Son perfectamente conscientes de la imposibilidad de la construcción exacta, pero idean métodos aproximados, mejorando contínuamente los records anteriormente conseguidos. Chapeau para ellos.
Una de las primeras cosas que debe saberse en matemáticas es que una demostración bien hecha es una verdad que ni los siglos ni las modas ni las culturas cambiará jamás. Refleja una verdad eterna e inmutable. Esto no tiene parangón en las ciencias positivas. Una teoría formidable, magnífica como la gravitación de Newton puede ser superada por otra que venga después, como la relatividad einsteniana que la contradiga en alguna de sus afirmaciones. Sin embargo, nadie encontrará jamás un triángulo rectángulo plano que contradiga el Teorema de Pitágoras. Y quien pretenda que las geometrías no euclideas contradicen dicho teorema es que no sabe o quiere olvidar que el teorema de Pitágoras se refiere a triángulos en el plano euclídeo.
Esto viene a cuento de los personajes que afirman haber conseguido cualquiera de las tres construcciones imposibles con regla y compás no graduados:
1.- la duplicación del cubo
2.- la trisección de un ángulo cualquiera
3.- la cuadratura del círculo.
Desde antiguo, matemáticos aficionados autodidactas pretenden haber conseguido alguna de las tres construcciones, e incluso las han patentado. De hecho hace ya muchos años la oficina de patentes de París publicó un edicto en el que se indicaba que ya no recibiría más demostraciones de la trisección del ángulo y pese a eso las demostraciones siguen apareciendo.
¿Porqué es imposible un método para dividir en tres partes iguales cualquier ángulo usando una regla y un compás no marcados? Básicamente la demostración de imposibilidad emana de la Teoría de Galois que trabaja con unas estructuras matemáticos llamadas cuerpos, o campos. Simplificando extraordinariamente diremos que estamos trabajando en un campo o cuerpo cuando tenemos un conjunto de números que podemos sumar, restar y multiplicar o dividir entre sí obteniendo siempre números del conjunto. Si definimos que un número es construible si podemos obtener un segmento de longitud igual a dicho número con regla y compás no marcados partiendo de un segmento de longitud unidad. Resulta que el conjunto de todos los números construibles es un cuerpo. El conjunto Q de los números fraccionarios es también un cuerpo. Toda ecuación de primer grado con coeficientes en un cuerpo tiene solución en dicho cuerpo. Parece difícil de entender, pero es trivial.
En efecto, si tenemos ax+b=0 con a y b de un cuerpo C, x siempre será de C, pues x=-b/a, y sabemos que dentro de un cuerpo se pueden efectuar las cuatro reglas sin salirnos de él, por definición. Si la ecuación es de grado mayor, no podemos afirmarlo, porque tenemos raíces cuadradas o de índice mayor, que no respetan en principio la estructura de cuerpo. Pues bien, tenemos dos teoremas importantes:
1.- Todos los números de Q son construibles.
2.- Un número real es construible si y solo si es solución de una ecuación de grado potencia de dos en Q
La cuadratura del círculo implica al número pi, que no es solución de ningún polinomio en Q, la duplicación del cubo implica la construcción de la raíz cúbica de dos, que es solución de un polinomio de grado tres (no es potencia de dos), y la trisección del ángulo de 60º implica la construcción de otro número solución de una ecuación de grado tres, y por lo tanto las tres son imposibles. Pueden existir métodos para trisecar un ángulo concreto (el del ángulo recto es trivial), pero nunca, NUNCA el de 60º.
Una buena introducción al tema en castellano la tenéis aquí y también aquí
En esta dirección podeis ver una de las infinitas pretendidas demostraciones de la trisección de un ángulo cualquiera. Hay que reconocerle cierto mérito a su autor, pues una lectura superficial parece indicarnos que todo es correcto, pero...no lo es en absoluto.
Como reflexión final, podríamos terminar diciendo que es una pena que haya gente como los trisectores de ángulos, que invierten ilusiones, tiempo y esfuerzo en tales cosas. Mucho menos esfuerzo les costaría entender la Teoría de Galois, que no es tan difícil, y les ampliaría en gran medida la comprensión profunda de porqué sus anhelos están irremisiblemente condenados al fracaso.
Como postdata, comentaré que existe gente de muy diferente índole que intentar construcciones aproximadas con regla y compás de estos tres extremos. Son perfectamente conscientes de la imposibilidad de la construcción exacta, pero idean métodos aproximados, mejorando contínuamente los records anteriormente conseguidos. Chapeau para ellos.
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