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Tio Petros

Paradoja infinitodimensional

- Para pensar
Siempre he pensado que los lectores dan vida al blog. Lo he repetido varias veces, y no es una concesión de cara a la galería. Volviendo de vacaciones, he leído un comentario de Torek referente al artículo de las esferas y cubos infinitodimensionales.

Decíamos que en una esfera infinitodimensional de radio unidad, el mayor segmento que entraba en su interior era de dos unidades de longitud (cualquiera de sus diámetros); mientras que en un cubo el mayor segmento era infinito (de hecho, toda una recta).

Torek plantea una demostración de que lo anterior es falso, y que también en una esfera infinitodimensional cabe una recta infinita. El razonamiento no puede ser más sencillo y perturbador:

Dado que toda esfera tiene un cubo inscrito, y que dentro del cubo cabe, según se ha demostrado, un segmento infinito, con mayor motivo cabrá en la esfera. Por lo tanto, tanto dentro de una esfera como dentro de un cubo infinitodimensionales cabe un segmento de cualquier longitud, por grande que esta sea.

La elegancia del razonamiento es innegable... a pesar de ser falso.

Si les apetece buscar el error, les espero.

5 comentarios

Tadalafil -

Existe mucha informacion acerca de cubos geometricos, las paradojas son muy complicadas y hay maneras mas facil de entender un cubo.

Artaban -

Continuando con lo que dice Goldbach, efectivamente la longitud del lado del cubo inscrito es igual a 2/Raiz(N), siendo N la dimensión del espacio. De esta forma, el lado del cubo para n->infinito tiende a cero, por lo que la longitud del cubo circunscrito es un limite infinito por cero, que tiende a una cantidad finita que es, precisamente, el diametro de la circunferencia que lo circunscribe.

Goldbach -

Muy interesante. La falacia, según yo lo veo, es que aunque en una esfera de infinitas dimensiones siempre podemos inscribir un cubo, no podemos inscribir CUALQUIER cubo.

Si hemos de inscribir un cubo en una esfera de radio unidad (o cualquier otro valor finito) la diagonal mayor de ese cubo estará limitada al diámetro de la esfera (D=2R, que es también un valor finito). La consecuencia de ello es que, dado que para una longitud de lado determinada el valor de la diagonal CRECE con el número de dimensiones, para una longitud de diagonal dada el valor del lado DECRECE con el número de dimensiones.

Cuando el número de dimensiones crece el valor del lado del cubo inscribible en una esfera de radio R dado se hace cada vez más pequeño. Y si el número de dimensiones tiende a infinito la longitud del lado del cubo inscribible tiende a cero, y por tanto su diagonal ya no aumenta indefinidamente. Tiene una cota superior que es, precisamente, el valor del diámetro de la esfera que lo contiene.

Parafraseando a Perogrullo: ¿Porqué el cubo inscrito en una esfera de infinitas dimensiones no tiene diagonal infinita? Porque dado que su diagonal es finita (ya que "encaja" dentro de la esfera) necesariamente el valor de su lado tiende a cero.