EL juego de "El cazador" ( y 2 )
Para resolver este problema tan sólo necesitamos un conocimiento añadido: el de la suma de una serie geométrica.
Una serie es el sumatorio de los elementos de una sucesión infinita. En determinados casos, las serie son convergentes, y la suma es finita a pesar de ser infinitos los términos a sumar. Para que esto ocurra, los términos deben tender a cero, pero esto no es suficiente, y hacen falta condiciones adicionales. Concretamente las serie geométricas son muy sencillas: cada término es igual al anterior, multiplicado por una constante r. Si la constante r es menor que uno, la serie es convergente y la suma total vale S=A1/(1-r) ; donde A1 es el primer término de la serie.
En nuestro caso, aparece una serie infinita porque el juego no tiene una longitud definida: no acaba hasta que la pistola se dispara; y dado que tras cada disparo se barajael tambor del revólver, nunca podemos saber cuántos disparos habrá que realizar. Tenemos que contabilizar todas las posibilidades. Llamemos A al individuo que dispara primero y B al otro.
Según el esquema marcado en el post anterior, para que el primero muera es necesario que:
1.- El arma se dispare al primer intento de A o bien que
2.- El arma se dispare al segundo intento de A, tras el no disparo en el primer intento de A y el primero de B. o bien que
3.- El arma se dispare al tercer intento de A, tras el no disparo en los dos primeros intentos de A y B. o bien que ...
n.- El arma se dispara al n-esimo intento de A, tras el no disparo en los (n-1) intentos de A y otros tantos de B o bien que ...
...hasta el infinito.
Como sabemos que las probabilidades de disparo son en cada caso 1/6, y de no disparo 5/6, tenemos que la probabilidad de que muera A es:
P(A): 1/6 + 1/6 . (5/6)2 + 1/6 . (5/6)4 + 1/6 . (5/6)6+ ... =
= 1/6. (1 + (5/6)2 + (5/6)4 + (5/6)6 + ...).
Vemos que la cantidad entre paréntesis es una serie geométrica, de razón (5/6)2, cuyo valor es 1/(1-(5/6)2) = 36/11..
Y por tanto, tenemos que:
P(A)=(1/6) . (36/11) = 6/11 .
Con B podríamos hacer el mismo razonamiento, obteniendo P(B)=5/11 . Esto último está bien como ejercicio y para comprobar que la cosa va bien, ya que la suma de ambas probabilidades debe ser la unidad.
Vemos que es más fácil que muera el primero, como habían intuido algunos lectores. Cuando el primero aprieta el gatillo y tiene la suerte de no dispararse el arma, la situación se invierte, y es ahora el segundo el que ocupa su posición desfavorable de 6/11. Pero en un inicio, las cosas son como las hemos contado, y es necesario correr 1/6 de probabilidad de morir para invertir la situación . Decididamente los Vietcong de la peli eran unos cabrones.
En realidad en la película no se tocaba el tambor entre disparo y disparo. Esto hace que el juego fuera más aterrador si cabe: a cada disparo fallido, la probabilidad de muerte en el siguiente iba in crescendo. No obstante, ese sí era un juego equilibrado: la desventaja de jugarse la vida el primero era compensada con la terrible situación del segundo cuando se habían realizado ya cinco disparos. Haced los cálculos y vereis que así es.
Una serie es el sumatorio de los elementos de una sucesión infinita. En determinados casos, las serie son convergentes, y la suma es finita a pesar de ser infinitos los términos a sumar. Para que esto ocurra, los términos deben tender a cero, pero esto no es suficiente, y hacen falta condiciones adicionales. Concretamente las serie geométricas son muy sencillas: cada término es igual al anterior, multiplicado por una constante r. Si la constante r es menor que uno, la serie es convergente y la suma total vale S=A1/(1-r) ; donde A1 es el primer término de la serie.
En nuestro caso, aparece una serie infinita porque el juego no tiene una longitud definida: no acaba hasta que la pistola se dispara; y dado que tras cada disparo se barajael tambor del revólver, nunca podemos saber cuántos disparos habrá que realizar. Tenemos que contabilizar todas las posibilidades. Llamemos A al individuo que dispara primero y B al otro.
Según el esquema marcado en el post anterior, para que el primero muera es necesario que:
1.- El arma se dispare al primer intento de A o bien que
2.- El arma se dispare al segundo intento de A, tras el no disparo en el primer intento de A y el primero de B. o bien que
3.- El arma se dispare al tercer intento de A, tras el no disparo en los dos primeros intentos de A y B. o bien que ...
n.- El arma se dispara al n-esimo intento de A, tras el no disparo en los (n-1) intentos de A y otros tantos de B o bien que ...
...hasta el infinito.
Como sabemos que las probabilidades de disparo son en cada caso 1/6, y de no disparo 5/6, tenemos que la probabilidad de que muera A es:
P(A): 1/6 + 1/6 . (5/6)2 + 1/6 . (5/6)4 + 1/6 . (5/6)6+ ... =
= 1/6. (1 + (5/6)2 + (5/6)4 + (5/6)6 + ...).
Vemos que la cantidad entre paréntesis es una serie geométrica, de razón (5/6)2, cuyo valor es 1/(1-(5/6)2) = 36/11..
Y por tanto, tenemos que:
P(A)=(1/6) . (36/11) = 6/11 .
Con B podríamos hacer el mismo razonamiento, obteniendo P(B)=5/11 . Esto último está bien como ejercicio y para comprobar que la cosa va bien, ya que la suma de ambas probabilidades debe ser la unidad.
Vemos que es más fácil que muera el primero, como habían intuido algunos lectores. Cuando el primero aprieta el gatillo y tiene la suerte de no dispararse el arma, la situación se invierte, y es ahora el segundo el que ocupa su posición desfavorable de 6/11. Pero en un inicio, las cosas son como las hemos contado, y es necesario correr 1/6 de probabilidad de morir para invertir la situación . Decididamente los Vietcong de la peli eran unos cabrones.
En realidad en la película no se tocaba el tambor entre disparo y disparo. Esto hace que el juego fuera más aterrador si cabe: a cada disparo fallido, la probabilidad de muerte en el siguiente iba in crescendo. No obstante, ese sí era un juego equilibrado: la desventaja de jugarse la vida el primero era compensada con la terrible situación del segundo cuando se habían realizado ya cinco disparos. Haced los cálculos y vereis que así es.
3 comentarios
inwit -
Rimblow -
Tute -
P.D.: se te escapó un cierre de tag de color azul.