El juego de "El cazador"
No conozco a nadie que le parezca sencillo el cálculo de probabilidades. A pesar de la enorme importancia que tiene para nuestra propia supervivencia, estamos espantosamente dotados por la naturaleza para este tipo de cálculos. Ya lo comentábamos aquí.
Menos mal que tenemos un verdadero arsenal de herramientas para poder afrontarlo. Muchas veces la forma más sencilla de resolver un problema es resolviendo el contrario. Me explico con un ejemplo:
Una persona obtiene un premio si consigue un seis tirando un dado tres veces consecutivas. ¿Qué probabilidad tiene de éxito?
Es evidente que si saca un seis a la primera, no tiene que tirar más: ya lo ha conseguido, y lo mismo a la segunda. La forma más simple de resolver este problema es pensando precisamente en la probabilidad de no acierto: con probabilidad 5/6 sacará un valor diferente de seis cada una de las tres veces; como los lanzamientos son independientes, podemos multiplicar las probabilidades para obtener la probabilidad de que no salga un seis ninguno de los tres lanzamientos, que será exactamente de (5/6)3. Como nos interesa el suceso exactamente contrario (que salga algún seis), la probabilidad pedida será la unidad menos el valor anterior, esto es:
P{ganar el premio})=1- (5/6)3=91/216
¿Es necesario el paso al suceso contrario para calcular el asunto? Obviamente no; pero es algo más elaborado. Lo que no es lícito es pensar que como para que salga al menos un seis, debe hacerlo a la primera, a la segunda o a la tercera, podemos sumar las probabilidades, con lo que obtendríamos 3/6=1/3.
Si esto fuera cierto, con seis tiradas tendríamos la seguridad de ganar, y todos sabemos que esto no es así. ¿Qué es lo que falla?
Lo que falla es que si bien la probabilidad de sacar el seis a la primera es ciertamente 1/6, no es así con la segunda. Porque para sacar un seis a la segunda hacen falta dos cosas:
1.- No haber sacado seis a la primera.
2.- Sí sacarlo a la segunda.
Una vez que la primera tirada no ha sido seis, sí que volvemos a tenemos 1/3 de probabilidad de sacarlo a la segunda, pero no a priori. Así pues, con la nomenclatura siguiente:
A=Obtener premio
Si= Obtener seis a la i-ésima tirada.
Sci=No obtener seis a la i-ésima tirada.
nuestro cálculo directo debería ser:
P(A)=P(S1)+ P(S2/ Sc1). P(Sc1)+P(S3/Sc1, Sc2). P(Sc1).P(Sc2).
El primer término es la probabilidad de obtener el premio a la primera. El segundo es la probabilidad de obtener el premio a la segunda cuando no lo hemos obtenido a la primera, multiplicado por la probabilidad de no obtenerlo a la primera, y así sucesivamente.
Ahora sí: sustituyendo por los valores numéricos correspondientes, obtenemos:
P(A)=1/6 + 1/6.5/6 + 1/6.5/6.5/6 = 91/216.
Vemos que tanto el cálculo directo de la probabilidad pedida como el contrario para luego restarle a la unidad dicho valor, son ambos posibles, pero el trabajo que cuesta uno y otro son diferentes.
Sabiendo esto, podemos abordar algo más elaborado:
¿Se acuerdan de la película El cazador, con Robert de Niro y Christofer Walken? Los malvados del Veitcong se divertían obligando a jugar a la ruleta rusa (una sola bala en un cargador de seis) a dos prisioneros haciendo apuestas. Si suponemos que cada vez que se dispara se vuelve a barajar el revólver, (cosa que en la película no pasaba), por quién apostaría usted: por el primero que lo intente, o por el segundo? Las apuestas se realizan antes de comenzar, pero ya sabiendo quién disparará primero.
Menos mal que tenemos un verdadero arsenal de herramientas para poder afrontarlo. Muchas veces la forma más sencilla de resolver un problema es resolviendo el contrario. Me explico con un ejemplo:
Una persona obtiene un premio si consigue un seis tirando un dado tres veces consecutivas. ¿Qué probabilidad tiene de éxito?
Es evidente que si saca un seis a la primera, no tiene que tirar más: ya lo ha conseguido, y lo mismo a la segunda. La forma más simple de resolver este problema es pensando precisamente en la probabilidad de no acierto: con probabilidad 5/6 sacará un valor diferente de seis cada una de las tres veces; como los lanzamientos son independientes, podemos multiplicar las probabilidades para obtener la probabilidad de que no salga un seis ninguno de los tres lanzamientos, que será exactamente de (5/6)3. Como nos interesa el suceso exactamente contrario (que salga algún seis), la probabilidad pedida será la unidad menos el valor anterior, esto es:
P{ganar el premio})=1- (5/6)3=91/216
¿Es necesario el paso al suceso contrario para calcular el asunto? Obviamente no; pero es algo más elaborado. Lo que no es lícito es pensar que como para que salga al menos un seis, debe hacerlo a la primera, a la segunda o a la tercera, podemos sumar las probabilidades, con lo que obtendríamos 3/6=1/3.
Si esto fuera cierto, con seis tiradas tendríamos la seguridad de ganar, y todos sabemos que esto no es así. ¿Qué es lo que falla?
Lo que falla es que si bien la probabilidad de sacar el seis a la primera es ciertamente 1/6, no es así con la segunda. Porque para sacar un seis a la segunda hacen falta dos cosas:
1.- No haber sacado seis a la primera.
2.- Sí sacarlo a la segunda.
Una vez que la primera tirada no ha sido seis, sí que volvemos a tenemos 1/3 de probabilidad de sacarlo a la segunda, pero no a priori. Así pues, con la nomenclatura siguiente:
A=Obtener premio
Si= Obtener seis a la i-ésima tirada.
Sci=No obtener seis a la i-ésima tirada.
nuestro cálculo directo debería ser:
P(A)=P(S1)+ P(S2/ Sc1). P(Sc1)+P(S3/Sc1, Sc2). P(Sc1).P(Sc2).
El primer término es la probabilidad de obtener el premio a la primera. El segundo es la probabilidad de obtener el premio a la segunda cuando no lo hemos obtenido a la primera, multiplicado por la probabilidad de no obtenerlo a la primera, y así sucesivamente.
Ahora sí: sustituyendo por los valores numéricos correspondientes, obtenemos:
P(A)=1/6 + 1/6.5/6 + 1/6.5/6.5/6 = 91/216.
Vemos que tanto el cálculo directo de la probabilidad pedida como el contrario para luego restarle a la unidad dicho valor, son ambos posibles, pero el trabajo que cuesta uno y otro son diferentes.
Sabiendo esto, podemos abordar algo más elaborado:
¿Se acuerdan de la película El cazador, con Robert de Niro y Christofer Walken? Los malvados del Veitcong se divertían obligando a jugar a la ruleta rusa (una sola bala en un cargador de seis) a dos prisioneros haciendo apuestas. Si suponemos que cada vez que se dispara se vuelve a barajar el revólver, (cosa que en la película no pasaba), por quién apostaría usted: por el primero que lo intente, o por el segundo? Las apuestas se realizan antes de comenzar, pero ya sabiendo quién disparará primero.
11 comentarios
lica -
Yitanu -
SOLUCION: otro viaje
Cankamusen -
briggy -
De otra forma:
El primer jugador muere en el primer tiro 1/6 veces
El segundo muere si sobrevive el primero 5/6 y muere en el segundo tiro, 1/5. 5/6*1/5 es 1/6
El primero muere en la tercera tirada si sobrevive la primera 5/6, sobrevive el segundo en la segunda 4/5 y muere él en la tercera 1/4. Así pues 5/6*4/5*1/6 es 1/6
Sumando quedan 3/6 cada uno, así q tienen las mismas posibildades
Si en cambio vuelven a rular la ruleta cada vez la posibilidad de sobrevivir el segundo es algo mayor
Un saludo
briggy
astur51 -
Goldbach -
Por otra parte, aunque sencillo, también resulta interesante pensar quién lleva las de perder si NO se baraja el tambor tras cada intento. Y se sigue jugando hasta que muere uno de los participantes...
etxe -
manufirun -
Rimblow -
Tute -
Continuando:
5/36 es menor que 1/6.
Ahora: ¿A qué estamos apostando?
Tute -
(5/36)