Paradojas infinitodimensionales ( y 2)

Las respuestas dadas a la paradoja del post anterior por Eratóstenes y Tute son muy satisfactorias, y completamente correctas. Vamos a verlo en este post desde otro punto de vista que nos ayudará a tomar contacto con algunas nociones que necesitaremos para hablar algún día de los Espacios de Hilbert .

Cuando queremos definir un punto de un espacio de n dimensiones, debemos dar n valores, que son las n coordenadas que se necesitan para ubicar dicho punto en el espacio. La distancia euclídea de dicho punto al origen nos viene dada por el teorema de Pitágoras: será la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados las n componentes.

De esta forma, podemos establecer una aplicación entre el conjunto de puntos del espacio y el conjuntos de números reales, de forma que a cada punto le corresponde el valor numérico de su distancia al centro. Si consideramos cada punto como un vector que nace en el origen y llega a dicho punto, dicho número se denomina norma del vector, y la aplicación se denomina norma del espacio, que ahora se dirá espacio normado. Existen otras normas que no son la euclídea, pero deberán cumplir una buenas propiedades para merecer tal nombre. Otro día hablaremos de ellas.

Un subconjunto del espacio se dice acotado si cabe dentro de una esfera maciza de radio suficientemente grande. Dicho de otra manera: si todos sus puntos están a una distancia no infinita del origen. (aquí el origen es arbitrario: podríamos decir si todos sus puntos están a una distancia no infinita de un punto dado).

Podeis observar que en el espacio de infinitas dimensiones tenemos una interpretación muy intuitiva de qué es cada “punto”: es una sucesión de infinitos números reales, sus coordenadas. Llegamos a la conclusión de que para que un punto esté a distancia no infinita del centro debe cumplirse que la suma de los cuadrados de sus coordenadas sea finita, pues sólo en este caso será finita la raíz cuadrada de dicha suma, y por tanto la distancia al origen. Esto ocurre por ejemplo para aquellos puntos que tengan todas las coordenadas igual a cero salvo un número finito de ellas, pero también puede ser que todas ellas sean diferentes de cero: debemos poner pues la restricción de que la serie que surge del sumatorio de los cuadrados de sus coordenadas sea convergente. Esta restricción es muy importante en los llamados Espacios de Hilbert , por ejemplo.

Si veis la definición de cubo macizo en este espacio, veremos que los puntos interiores tienen la restricción de que cada una de sus coordenadas es menor o igual a un número dado en valor absoluto. Los puntos que tengan todas el valor absoluto de sus coordenadas iguales a dicho valor son precisamente los vértices del cubo, si tenemos n dimensiones, como cada vértice puede tener cada una de sus coordenadas positivas o negativas, tenemos 2 ⁿ posibilidades, que nos da el número de vértices de dicho cubo.

En infinitas dimensiones, y pensando en el cubo de arista dada, infinitos son los vértices, pero en todos ellos el cuadrado de cada coordenada vale una cantidad no nula y mayor que cero ( al elevar al cuadrado (+z) ó (-z) obtenemos siempre una cantidad positiva); y la suma de todos estos cuadrados es infinita, luego cada uno de los vértices está a infinita distancia del origen. Poco importa que el tamaño de la arista: siempre que sea mayor que cero, obtenemos un objeto no acotado que no puede caben en esfera alguna.

Esto no ocurre para ningún valor del número de dimensiones del espacio, por grande que sea mientras sea finito; sólo ocurre para los espacios infinitodimensionales.

Por lo tanto, el error estaba en dar por buena la existencia de un cubo inscrito en la esfera.

6 comentarios

[Crystal - 15 de enero de 2004 - 16:42]

Madre mía! y a pesar de todo creo que lo he entendido....
Gracias Tio Petros

[Tio Petros - 04 de enero de 2004 - 22:06]

Dentro de una infinito-esfera caben tantas infinito-esferas como números reales positivos hay menores que el radio de la dada. Igualito que en nuestro espacio tridimensional ordinario. ¿Cómo podemos saberlo?

Pues no hay más que ver la definición dada en la ilustración. El conjunto de todos los infinito-puntos (sucesiones de reales) que cumplen la desigualdad para un valor de R lo cumplen trivialmente para todo R mayor...

[Eratóstenes - 04 de enero de 2004 - 19:41]

Pero sí existirá una infinito-esfera de radio menor que sí quepa dentro, ¿no?

Sigo pensando que es un mundo muy extraño.

Y ahora me pregunto (y me temo que la pregunta no tenga sentido), ¿y si el infinito es muy muy grande?

[Tio Petros - 04 de enero de 2004 - 18:31]

Por otro lado, no sólo no existe un cubo inscrito en la hiperesfera infinitodimensional: hemos visto que en realidad no exuste cubo alguno, inscrito o no, que pueda habitar en el interior de una infinito-esfera.

[Tio Petros - 04 de enero de 2004 - 18:29]

Hola Rimblow. Es muy difícil hablar de cualidades innatas cuando estamos manejando una colección de objetos diferentes según el número de dimensiones que poseen. Lo único que poseen en común las esferas en cualquier número de dimensiones es la definición que las hace esferas: equidistancia de sus puntos frontera respecto a uno que llamamos centro. No es de extrañar que para el caso infinitodimensional sucedan cosas que no suceden con nuestras esferas tridimensionales. Realmente, parce que nuestro espacio de infinitas dimensiones es un mundo muy extraño...

[Rimblow - 04 de enero de 2004 - 18:08]

La verdad, he de decir, que me he quedado un poco fuera de sitio, con estas paradojas infinitodimensionales, pero lo que creo, es que todo cubo tiene inscrito una esfera, al igual que toda esfera tiene inscrito un cubo, si esto no fuera asi, no existiría ni el cubo, ni la esfera, ya que en su propia existencia está innata la cualidad de estar inscrito y circunscrito...
P.D. Perdonar mi ignoracia y mi romanticismo... !!! FELIZ AÑO A TOD@S"