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Tio Petros

Razonamientos geométricos.

Razonamientos geométricos. Comentamos hace algún tiempo que existen personas empeñadas en demostrar lo imposible. En aquel momento hablábamos de los ingenuos trisectores de ángulos. Este tipo de falsas demostraciones suelen ser casi siempre demostraciones geométricas, lo que pudiera dar pie a pensar que las demostraciones que se basan en conceptos geométricos no son seguras.

Nada más lejos de la realidad. Lo que sucede es que muchas veces confundimos razonamiento geométrico con razonamiento a bulto, a ojo o al "poco más o menos". Una demostración basada en conceptos geométricos puede ser tan perfectamente válida como la fundada exclusivamente en manipulaciones algebraicas.

Basta con no dar un paso antes de asegurarse de la licitud del mismo. Las figuras deben servir para orientarnos, no para desorientarnos, y son los razonamientos lo que nos habilitan para aceptar proposiciones como ciertas, no los dibujos.

Será por eso que una de las vertientes más divertidas de la matemática recreativa es la de las presuntas paradojas geométricas. Dado que virtualmente cualquier tema aritmético admite una interpretación geométrica, siempre es posible hacer un dibujo para ejemplificarlo. Hablemos de uno de tales divertimentos, que espero no sea demasiado conocido por mis lectores (yo ya me lo he encontrado bastantes veces por la web).

Sabemos que una de las propiedadesd de las areas de las figuras geométricas, como medidas que son, es que son invariantes por traslaciones. Así, si troceamos un cuadrado y con los trozos recomponemos un rectángulo, es de esperar que ambos tengan el mismo área. Sin embargo, en nuestra figura, los 8x8=64 unidades cuadradas del cuadrado se convierten en 13x5=65 en el rectángulo.

Encontrar el error no es demasiado difícil, pero a mi juicio lo más interesante es lo bien que este ejercicio ejemplifica los peligros de un razonamiento geométrico no riguroso. Todo el mundo sabe que un metro cuadrado no puede aparecer por arte de magia, y que algo debe estar mal; pero si el error hubiera sido menos vistoso, hubiera pasado desaparecibido. Eso es lo que ocurre con las demostraciones falsas de teoremas imposibles, tales como la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo o la trisección del ángulo de 60o

Feliz fin de semana a todos.

Por cierto; les invito a que encuentren de dónde sale una unidad cuadrada de más en el rectángulo, tras unir las cuatro piezas del cuadrado...
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14 comentarios

marco -

dibuje y corte la figura y a simple vista parecia que todo era correcto. pero no estaba convencido ni con lo que veia asi es que busque mas info en la web y encontre este video http://www.youtube.com/watch?v=ee0dksxkog0&feature=related

jessica paola nuéz genes -

q buena publicacion me cirvio de mucho

Aliena -

la página es genial, aunque creo que debieran añadirse más ejemplos

Francoise Niclous Golpier -

Ustedes podrian incorporar un trabajo sobre semejanza de triangulo.

Shunt -

Tratando de buscar una explicación geométrica he visto que, por semejanza, el triángulo verde que está dentro del rectángulo tiene una altura de 8·5/13, es decir, 1/13 más que el triángulo verde del cuadrado. Con el triángulo azul y las otras dos figuras ocurre lo mismo. Con las porciones extras, oponiéndolas de dos en dos, se podría formar un paralelepípedo a lo largo de las trece unidades horizontales cuya superficie sería 13/13 es decir, la del cuadradito que faltaba.

Adrian -

...justamente eso, visión y lo que necesito son unas buenas gafas para ver cuadriláteros donde veo triángulos..
hay que mirarlo con unasgafas detectoras de mentiras
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Sam Berimbad -

Efectivamente, no hay paradoja alguna cuando te das cuenta de que ciertas figuras del rectángulo de abajo, son diferentes a las del cuadrado de arriba. Pero hasta ese momento, un creciente grado de desconcierto y perplejidad te va recorriendo la médula espinal, hasta desembocar en el cerebro ya como una duda abierta y clara: ¿será que se me ha escapado algún aspecto filosófico de la matemática?, ¿será que me falta una visión holística de la matemática, en virtud de la cual el todo es más que la suma de sus partes?, o será que lo que me falta es, justamente eso, visión y lo que necesito son unas buenas gafas para ver cuadriláteros donde veo triángulos. ¡Qué desvarío!

Pérez -

No hay ninguna paradoja. Los triangulos y cuadrados de la figura de arriba no son iguales a los de la figura de abajo, sólo son muy parecidos.

Tio Petros -

MikeCT; tienes razón. A Sam le vuelven loco ciertas senoidales. Me consta que la geometría de curvas y superficies (sobre todo de algunas curvas y algunas superficies)es uno de sus apartados favoritos de la matemática. Lo sé porque lo conozco bien, créeme...

MikeCT -

A Sam lo que le vuelven loco son los senos! :P , seguro que el truco está en los ángulos de los triángulos, pero todavía no lo he "pillado"
Un saludo

Sam Berimbad -

Confieso que ya lo había visto por la red (no hace mucho y con una figura diferente). El shock que me produjo, cuando empecé a contar cuadraditos, fue casi comparable a la impresión que me causó el descubrimiento de la relatividad restringida (con sus paradojas temporales), e incluso parecido al que experimenté la primera vez que acaricié un pecho femenino :o). La dificultad para descubrir el gazapo, es también una consecuencia de nuestra rigidez mental. Las "rectas" no siempre son lo que parecen y hay "triángulos" de cuatro lados. Nada es ya como era antes y cualquier tiempo pasado...

Tio Petros -

Hola Worm:
No sólo no me supone ningún problema: me encanta. Sobre todo me encanta que te guste. Un cordial saludo

worm -

Otro artículo genial. Sino te supone ningun problema te agrego un link en mi blog ;-)
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