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Tio Petros

Plimpton 322

Plimpton 322 La matemática está muchas veces muy alejada de su utilización práctica inmediata. Esto no quiere decir que nunca podamos asegurar que un determinado avance matemático no vaya a tener su aplicación práctica, como repetidamente se ha demostrado. Básicamente conviven la investigación pura con la aplicada. Esta situación es así desde el comienzo.

Y cuando digo desde el comienzo, me refiero realmente al comienzo. Existen muchos indicios de que la matemática babilónica tenía aspectos alejados de la utilidad inmediata.

Una tablilla babilónica, conocida por el número de catálogo Plimpton 322 ejemplifica perfectamente lo que queremos decir. La tienen en la ilustración.

Esta tablilla data del período babilónico antiguo (ca.1900 a 1600 a.C.). Es tan sólo el fragmento de una tabla más grande, ahora perdida para siempre, y demuestra no ser un simple registro de transacciones comerciales como muchas de sus hermanas, sino un texto matemático precusor de ideas trigonométricas muy cercanas a las actuales, con extraordinario grado de exactitud, como vamos a ver.

La transcripción de las seis primeras filas es la siguiente:

1,59,0,15_______________________1,59____________2,49____________1
1,56,56,58,14,50,6,15____________56,7____________1,20,25__________2
1,55,7,41,15,33,45_______________1,16,41_________1,50,49__________3
1,53,10,29,32,52,16______________3,31,49_________5,9,1____________4
1,48,54,1,40____________________1,5_____________1,37_____________5
1,47,6,41,40____________________5,19____________8,1______________6

Hemos de tener en cuenta antes de empezar a desentrañar la tablilla que los babilonios utilizaban la numeración sexagesimal, por lo que debemos convertir las cifras a nuestra numeración antes de cualquier intento.

Tomemos la sexta línea, por ejemplo:

1,47,6,41,40________5,19______8,1______6

Tras la conversión en decimal obtenemos:

1,785192901_______319________481________6

La conversión se realiza de la siguiente forma:

1,47,6,41,40=1·600+47·60-1+6·60-2+41·60-3+40·60-4=1,785192901

y de la misma forma los siguientes números.

Convendrán conmigo que es una proeza inmensa encontrar la relación entre estos números. Más aún teniendo en cuenta que nuestra tablilla es una más entre un sinnúmero de ellas que recogen cifras sin mayor interés matemático, que bien pudieran ser registros contables de mercancías.

Pues bien: la relación es la siguiente. Si tenemos un triángulo rectángulo (ver figura) cuya hipotenusa valga 481 y uno de sus catetos 319, entonces el otro cateto, mediante el teorema de Pitágoras vale 360.



El cociente entre la hipotenusa y este último cateto es 481/360= 1,33611111, y su cuadrado vale 1,785192901; exactamente hasta el noveno decimal la primera cifra de la primera fila de la tablilla.

Varias cosas hay que comentar llegados a este punto: la primera es que tal exactitud nos sirve para rechazar cualquier procedimiento de medida real de triángulos para llegar al dato: su hallazgo debe ser teórico sin lugar a dudas: no es posible medir hasta la milmillonésima sin error. Por otro lado, el lector habrá observado que el cociente cuyo cuadrado es el número de las primeras columnas es el cociente de dos números, uno de los cuales (la hipotenusa) está en la tablilla, pero el otro no. En efecto, es el cateto restante el que aparece en la tablilla, no el utilizado para el cociente.

Dicho cociente es el inverso del coseno del ángulo que forma la hipotenusa con el cateto que no aparece en la tabla. Por tanto, la primera columna representa los valores del cuadrado de la secante del ángulo citado.

Nosotros sabemos encontrar el cateto restante, dadas la hipotenusa y un cateto mediante el Teorema de Pitágoras, pero presumiblemente los babilónicos lo desconocían. También desconocían lo que era un seno, una tangente o una secante. Se puede mantener tal desconocimiento a las luces de esta tablilla?

Pues sí se puede. Los antiguos eran antiguos, pero no eran idiotas. Esto es algo que repetidamente olvidan los amigos del misterio y de las teorías paranormales, que inducen a creer en conexiones extrañas para explicar desarrollos e invenciones de culturas antiguas, olvidando que la inventiva humana es patrimonio de todas las culturas y de todas las épocas.

Parece ser que sin conocer el teorema de Pitágoras, se conocían los valores de ciertas ternas pitagóricas: ternas de números enteros a,b,c que cumplían que a2=b2 + c2.

Los constructores de esta tabla debieron comenzar por dos números sexagesimales p,q , para hallar la terna (p2-q2, 2pq , p2+q2). Un simple ejercicio de álgebra nos convence de que en efecto ésta es una terna pitagórica.

Limitándose a valores de p menores de 60, y a triángulos rectángulos en los que b= p2-q2es menor que c=2pq, los babilonios debieron descubrir que existían 38 pares posibles de p y q que satisfacen las condiciones, con lo que construyeron las 38 ternas correspondientes.

En nuestra tablilla aparecen las 15 primeras. Quizás, el escriba prosiguiera en otra tablilla con las restantes.

El orden de las filas viene dado por los valores de la primera columna, de mayor a menor, y corresponden a ángulos desde 45o hasta 31o.

Esta que ahora nos ocupa es, a juicio de los investigadores una de las tablillas babilónicas más extraordinarias. Una muestra de la extraordinaria exactitud de los cálculos de esta tablilla nos la proporciona la fila décima. Una simple observación de la ilustración de la tablilla basta para comprobar que el primer número de la décima tablilla tiene más dígitos que los demás; efectivamente representa el cuadrado de la secante del ángulo correspondiente con ocho cifras sexagesimales, lo que corresponde a catorce decimales en nuestra notación decimal. Todos ellos correctos.

Ni la Nasa necesita ese nivel de exactitud en sus cálculos de órbitas, pues los erroresy las indeterminaciones de todo tipo son de mayor entidad.
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42 comentarios

Sabandre -

a mi sobrina le gusto, per

Isidoro -

Me gusta esa idea, es maravillosa! No les parece a ustedes?

Lomego -

Este argumento se pierde en la noche de los tiempos, y ha conocido diversas materializaciones. Algunas sugerentes e intelectualmente potentes, como la del teólogo William Paley, que public

Chico -

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Zamba -

sirviendo de punto de partida para la generación de materia viva a partir de los organismos autótrofos.

Yocasta -

un diseñador en el mundo: la atmósfera terrestre – decía – tiene un 21% de oxígeno; si en lugar de un 21% tuviera un 19%, nos moriríamos asfixiados, y si tuviera un 25%, moriríamos igualmente

Nelia -

un diseñador en el mundo: la atmósfera terrestre – decía – tiene un 21% de oxígeno; si en lugar de un 21% tuviera un 19%, nos moriríamos asfixiados, y si tuviera un 25%, moriríamos igualmente

Lizzy -

molestar nuevamente.

Peter -

a verdad es que así dicho, parece demoledor. Hoy, sin embargo tenemos una enorme batería de explicaciones alternativas .

AL -

Seguiremos esperando, quizás lo tengamos de molestar nuevamente.

Isabella -

es tan sólo un paseo que debe darse como se hace en una soleada tarde de verano: con placer.

Cristinne -

depende del motivo por el que te dan el premio, ¿no?

Mabel -

una sugerencia... y cuantos premios nobel, eran realmente matemáticos? el caso de nash en economía, russell en literatura, ...

Ortino -

si, la ciencia es enormemente valiosa para la sociedad

Blore -

una sugerencia... y cuantos premios nobel, eran realmente matemáticos? el caso de nash en economía, russell en literatura, ...

James -

Tal vez no, seguro, jeje. El Annals of mathematics es lo más.

Jayor -

Stephen Smale 36 AÑOS Estados Unidos , pense que no era de alli!

Pocho -

que pasaba a llamarse a partir de entonces Teorema de Fermat-Wiles

Macanno -

si, la ciencia es enormemente valiosa para la sociedad

Milagro -

El Sangaku más antiguo que sobrevive hasta hoy fue encontrado en la prefectura de Tochigi y es del año 1683.

Jana -

Aprovechando el momento estuve ojeando y hojeando algunos libros y cómics. Al final me llevé “Píldoras Azules” (que de momento me esta gustando mucho) y el número dos de Malas Tierras.

Victor -

depende del motivo por el que te dan el premio, ¿no?

Chimmi -

Que susto me he llevado con el segundo libro de Mikami. Cualquiera diría que el pobre hombre escribía desde la tumba :-D

Fey Arter -

que se puede decir aparte de eso? que es un bueno para nada?

Caracol -


Portada

Manni -

Ni idea q es eso, un gusano sera?

Geeni -

Que buena gente che!

Cris -

no es genial poder aprender tanto? este tema es realmente intweresante, sigan adelante con una pagina web tan cultural

Garrilo -

yo no se ingles pero me gustaria aprender...

Divine -

"Dos esferas rojas son tangentes exteriormente y ambas son tangentes interiormente a la esfera grande de color verde. Un collar de esferas azules de diferentes tamaños rodea el "cuello" entre las esferas rojas."

Natty -

bueno y siii

Anetta -

bien dicho y hecho

Rose -

si, la ciencia es enormemente valiosa para la sociedad

Macalla -

vengan a ver futbol conmigo

Jimmy -

Vayan alli, mas lejos

laura -

como se pone 1914 me quiero hacer un tatuaje con esta fecha y no se como se hace en numeros de babilonia

Djenka -

hoy al leer esta noticia me ilucione

Lauretta -

el premio abel es una verdadera justicia

Jime -

espectacular, como pueden demostrar eso?

claudia -

hey...lo que yo queria encontrar es la tabla de los numeros babilonicos,por ejemplo, del 1 al 100...

fernanda paz zamorano arancibia -

tendrian que poner la tabla de numeros babilanicos porque eso busque

Ernest Moyer -

I saw your site but was unable to find an address for you. I am sympathetic to your "to reject any procedure of real measurement of triangles to arrive at the data"

I have a series of essays refuting Eleanor Robson's interpretation of OB math.

Would you send me your email address?

Ernest Moyer
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