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Tio Petros

Todos los enteros positivos son iguales !!!

Ya hemos hablado del maravilloso método de inducción matemática. Tenemos un procedimiento para demostrar afirmaciones generales sobre todos los enteros positivos, que consta de dos fases:

1ª FASE:Demostrar la validez de la afirmación para n=1

2ª FASE: Demostrar que si la afirmación es válida para n (hipótesis de inducción), entonces también lo es para n+1.

Hace algunos meses explicábamos que el método de inducción tiene sus peligros, y que tras su aparente simplicidad acechan falacias y razonamientos no válidos que nos pueden llevar a conclusiones erróneas. Demostrábamos que Todos los blogs del mundo están alojados en Blogia, lo cual es un absurdo.

Les propongo otra aberración, aún pero para que intenten encontrar el error.

TODOS LOS ENTEROS POSITIVOS SON IGUALES

DEMOSTRACION

Sean a,b dos enteros positivos. Sea M=max{a,b} el valor del mayor de ambos:

Procederemos por inducción sobre M.

PRIMERA FASE (M=1)

Para M=1 no hay duda. Si M=1 es que el máximo de ambos es 1, y por lo tanto a=b=1. Por lo tanto a y b son iguales.

Supongamos cierta la afirmación para m, demostraremos que también lo es para m+1.

SEGUNDA FASE

Sean a,b tales que M=max{a,b}=m+1. Entonces es evidente que max{a-1,b-1}=m, y por la hipótesis de inducción, tenemos que a-1=b-1, de donde clarísimamente concluimos que a=b.

Por lo tanto, a=b para todo par de enteros positivos.

Anímense a encontrar el error...
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14 comentarios

TioPetros -

Queda modificado el post para solventar el error que señalaba tan certeramente Jorge.

TioPetros -

Perdón, y mil veces perdón. El apresuramiento me ha jugado una mala pasada. Efectivamente, debiera poner M=max{a,b}=m. Estoy llamando m a dos cosas diferentes!!!!!
Tiene usted toda la razón.

Jorge -

Escribes: "Lo que se afirma exactamente es que:
Sean a,b tales que m=max{a,b}=m+1." Claramente, estás escribiendo "m=m+1", es decir, "0=1". Parece que lo que realmente querías escribir es "M=max{a,b}=m+1", es decir "M=m+1", que es algo totalmente distinto.

Me parece que la única razón por la que no entiendo el razonamiento es que, precisamente, es un razonamiento erróneo... A continuación, voy a reescribir el segundo paso, a ver si me aclaro.

Hasta el valor m se cumple que "a=b=m". Para el valor m+1 tendremos los siguientes casos:

1) m+1=max{a,b}
2) m+1=max{a+1,b}
3) m+1=max{a,b+1}
4) m+1=max{a+1,b+1}

En el 1º caso, dado que "a=b=m" se deduce que "m+1=max{a,b}=max{m,m}=m", es decir, "m=m+1" (¡justo lo que discutiamos antes!), esto es, "0=1".

El 4º caso no da problemas. El 2º y el 3º, de ser cierta la hipótesis a demostrar, dicen ambos lo mismo, que "a=a+1" (porque "a=b"), ¡otra vez "0=1"!

TioPetros -

Hola Jorge. No sé si la pregunta va para mi o para algún comentarista de este artículo. En todo caso, no veo dónde afirma nadie que m=m+1, deducido del hecho que sea M=max{a,b}=m+1.

Lo que se afirma exactamente es que:
Sean a,b tales que m=max{a,b}=m+1. Entonces es evidente que max{a-1,b-1}=m, y por la hipótesis de inducción, tenemos que a-1=b-1, de donde clarísimamente concluimos que a=b.

Este era el punto crucial ( y falso) de la "demostración", como [Quique] ha escrito más arriba...

Jorge -

Debo ser un poco corto, pero no entiendo el desarrollo del segundo paso. Escribes "m=max{a,b}=m+1", es decir, "m=m+1".

Me da la impresión de que quieres partir de m+1=max{a,b}, y retroceder a m={a-1,b-1}; pero hay que tomar en cuenta que también se cumple con m={a-2,b-1}, m={a-3,b-1}, m={a-4,b-1}...m={a-1,b-2}, m={a-1,b-3}... (tomando en consideración el rango de valores en que se mueven 'a' y 'b').

pepe -

Si me lo permites, voy a reformular tu demostración, a ver si alguno de los lectores encuentra el error:
La hipótesis de inducción dice en este caso que dado un intervalo cerrado de longitud n, todos los enteros que contiene son iguales.
Demostración:
Para n=0 es evidente.
Supongamos que vale hasta n-1 y veamos para n, sea I un intervalo cerrado de longitud n, y a,b dos elementos del mismo, partimos I en dos mitades (por tanto cada una tiene longitud menor que n, y se les puede aplicar la inducción). En el caso en que n no sea divisible por 2, se parte I en dos intervalos de longitudes lo más aproximadas posibles, por ejemplo 5=2+3.
Si a y b están en la misma mitad, por hipótesis de inducción son iguales, y si no lo estan, sea c el punto de la división de I, a y c están en una mitad y c y b en la otra, aplicando la hipótesis de inducción a=c y c=b, luego a=b.

Un saludo.

PD: si puedes corrige lo del < del comentario anterior cambiandolo por su valor, y si de paso me explicas como habría que ponerlo, ya lo se para el futuro.

TioPetros -

Da gusto tener unos lectores tan agudos...

pepe -

Seguimos, cosas que pasan por poner ≤, decía que tomemos a,b≤m+1, el problema es que las hipótesis son: 0<a,b≤m+1, y al restar uno queda -1<a-1,b-1≤m, es decir puede que alguno de los números se nos salga del rango en que estamos haciendo la inducción, luego no se puede aplicar la hipótesis de inducción a a-1 y b-1, y en consecuencia no puede concluirse que a-1=b-1.

Un saludo.

pepe -

Pues yo estoy con Quique, el problema es el a-1, supongamos por inducción que en efecto todos los enteros hasta m son iguales, y tomemos a,b

[Quique] -

Bueno, entonces yo sigo en mis trece... digo, en mi "a-1". :)

TioPetros -

Hola [QQ]:
REspecto a tu primera pregunta, sí estamos haciendo una afirmación que involucra a m. La afirmación sería la siguiente:
"Dado un entero positivo m, si tenemos una pareja de enteros positivos tales que el mayor de ambos es precisamente m, entonces la pareja está formada por dos enteros idénticos"
Si probamos esta aberración para todo m ( que es lo que supuestamente hace nuestra "demostración", hemos demostrado que dada una pareja cualquiera de enteros positivos, ambos son iguales sin importar cuál es el máximo; y de ahí, concluimos que todos los positivos enteros son iguales.

[QQ] -

Si suponemos q la afirmación es " Para todo m=max{a,b} con a,b enteros; a=b " entonces el error inmediato que se observa es que sabiendo que "a" es un entero positivo, no puedes asegurar que "a-1" también lo sea. ¿habrá otros errores implicados, ya de paso?

[QQ] -

Yo el primer error q veo es que no veo ninguna afirmación acerca de "m" que estemos intentando comprobar. ¿cuál sería esa afirmación?

Pirton -

Muy interesante... pero no le veo el fallo. Socorroooooo
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