Maraña de rectángulos ( y 2)
Como se ha afirmado en los comentarios del post anterior, debemos buscar la disposición de rectángulos que haga máximo el número de subdivisiones del plano, y esa disposición es la que tenga mayor número de intersecciones entre los rectángulos.Dados dos rectángulos, el número máximo de intersacciones es de ocho, y se da cuando están girados uno respecto de otro. La situación se observa perfectamente considerando cuadrados (rectángulos al fin y al cabo) concéntricos y girados 45 grados uno respecto al otro. Definen nueve regiones. Ocho regiones que pertenecen tan sólo a un rectángulo (las puntas) y otra grande que pertenece a ambos.
Cuando tenemos tres rectángulos tenemos 4·3=12 puntas que pertenecen a un solo rectángulo, otras doce que pertenecen a dos y una que pertenece a los tres. (ver figura)
En el caso general, tenemos 4n regiones que pertenecen a un sólo rectángulo (las puntas), y el mismo número de regiones que pertenecen a dos, a tres... a (n-1) rectángulos y una sola que pertenece a todos ellos.
Compruébenlo en la ilustración siguiente, para el caso de cinco cuadrados:
Por tanto, operando un poco, si llamamos F(n) al número de regiones en que se divide el plano con n rectángulos en esta disposición, tenemos:
F(n) = 1 + 4n + 4n + ... +4n donde hay (n-1) sumandos de 4n.
Por tanto:
F(n) = 1 + 4n(n-1)=1 + 4n2 - 4n = (2n-1)2
Dado que teníamos F(n)= 18.769 regiones, el número mínimo de rectángulos corresponderá con el número de rectángulos de la disposición anterior, de máxima intersección. Tenemos:
18.769 = (2n-1)2
Osea, n = 69; como había afirmado none en un comentario anterior, y no 68 como había dicho yo...
Así pues, podemos afirmar que el número de rectángulos de la disposición del enunciado tiene en 69 su cota mínima.
PD.- Mewt planteaba en los comentarios la ecuación F(n)=2 + 4n(n-1), seguramente contando la región no acotada exterior a todos los rectángulos. En el enunciado se eliminaba la contabilización de la zona no acotada para evitar dudas.
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