La conjetura de Polyà

En el post anterior mencionábamos la conjetura de Polyà.

Aunque la mención era únicamente para ilustrar un ejemplo de conjetura que se demostró falsa, un lector me ha hecho ver la inconsistencia del enunciado expuesto. Paso a solventar este déficit, que no es meramente tal, sino más bien una pésima definición de la conjetura, a pesar de que lo transcribí literalmente del libro que menciono en los comentarios al post anterior(eso para que aprendamos que no todo lo que está en letra impresa es cierto).

Bueno, vamos a lo nuestro.

Dado un número natural n , denominamos r(n) al número de factores primos del mismo; iguales o diferentes.

La función l(n)=(-1)^r(n) simplemente nos dice si dicho número es par o impar. Si l(n) es positivo, es que r(n) es par, y viceversa. ("l" es la letra L minúscula, que sustituye a la lambda griega de la fórmula que no puedo o al menos no sé poner aquí.)

La función L(m) no es más que el sumatorio de los valores de la función anterior para todo natural menor que un m dado.

Pues bien; si L(m) es positivo, querrá decir que el número de enteros menores que m con factores primos en número par [que no es otra cosa que el P(m) de la fórmula] es mayor que el número de enteros menores que m con factores primos en número impar [que es I(m)].

La conjetura dice que L(m) es negativo o cero para todo m, con la única escepción del caso inicial m=1 .

Los primeros valores de la ele minúscula son:

1,-1,-1,1,-1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,...

Los correspondientes de la ele mayúscula son:

1,0,-1,0,-1,0,-1,-2,-1,0,-1,-2 ...

Vemos que escepto el primer valor todos son negativos o cero, y eso es lo que afirma la conjetura, no lo que decíamos en el post anterior, influidos por la absurda creencia de que todo lo publicado en un libro sobre matemáticas es correcto.

Haselgrove demostraba en 1.958 que la conjetura debía fallar más allá de un valor enorme.

Lehman encontró en 1.960 que para n=906.180.359, L(n)=1 con lo cual la conjetura se demostraba falsa con datos concretos.

Posteriormente se han encontrado valores más bajos (Tanaka, 1.980)

Y así acababa la historia de una conjetura que no aportó nada interesante (que yo sepa) al mundo de la teoría de números...