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Tio Petros

La [conjetura / teorema] de [Poincaré / Poincaré-Perelman]

La [conjetura / teorema] de [Poincaré / Poincaré-Perelman] Como ya dijimos en alguna ocasión una conjetura es un teorema al que le falta la parte más interesante: la demostración. Dicho de otro modo: una conjetura nada tiene que ver con un teorema; es una simple afirmación. Aunque a veces se pervierta la nomenclatura, como en el caso del “Ultimo teorema de Fermat”, que no tuvo tal rango hasta que Wiles lo demostró hace pocos años.

Visto así, parece que una conjetura tiene poco valor, y es poco más que una opinión. Así es en parte, de hecho muchas conjeturas resultaron falsas a la postre. Sin embargo normalmente tienen el valor de ser agudas observaciones realizadas por especialistas, retos lanzados al mundo para que las mejores mentes del planeta se esfuercen en desentrañar sus misterios. Así ocurre con una de las más famosas: la Conjetura de Poincaré

Pasamos a explicar en qué consiste la conjetura, tan de moda últimamente a raíz de la demostración (pendiente de refrendar por lo que yo sé, pero probablemente correcta) del matemático ruso Grigory Perelman

La Conjetura de Poincaré es una afirmación topológica. Una vez explicamos aquí que la topología tiene un estatus muy especial dentro de la matemática. Supondremos que el lector sabe qué estudia la topología por tanto.

A veces, los matemáticos tienen algo de naturalistas; taxónomos más concretamente. Les gusta clasificar cosas y ponerles etiquetas. Este gusto es totalmente lógico; para clasificar atendemos a las propiedades más esenciales de las cosas e investigamos la diversidad de las mismas. El procedimiento básico suele ser el siguiente: se establecen relaciones de equivalencia entre los objetos; no relaciones cualesquiera, sino relaciones que se consideran relaciones importantes precisamente porque atienden a propiedades que consideramos esenciales de las mismas. Dichas relaciones inducen clases de equivalencia dentro de las cuales todos los objetos están “emparentados”, y estudiamos el conjunto cociente de clases obtenido. Ese es el esquema esencial de clasificación en matemáticas, si bien su aplicación práctica puede variar, y así se han establecido clasificaciones para los grupos simples finitos, para las superficies en R n , las formas cuadráticas, los grupos de Lie, etc, etc.

La relación más habitual que se emplea en topología es la relación “ser homeomorfo” . Pocas veces se ha escondido detrás de una palabra tan fea un concepto tan bello. Dado un espacio de trabajo X, dos objetos A y B de dicho espacio (dos subconjuntos de “puntos” de X) son homeomorfos si pueden transformarse el uno en el otro mediante una transformación continua especial llamada homeomorfismo. Diremos que una aplicación de A a B es un homeomorfismo si es biyectiva, continua e inversible, siendo su inversa igualmente continua. Dado que si A y B son homeomorfos, entonces para un topólogo “son” esencialmente el mismo objeto, se comprende la importancia de la clasificación atendiendo a tal concepto.

Pues bien; la capacidad simplificatoria de este procedimiento es impresionante: al tratar a todos los objetos de cada clase como uno sólo (su representante canónico), obtenemos un panorama mucho más racional del universo que estamos estudiando. Es de esperar (de hecho, está asegurado) que todos los objetos de una misma clase de homeomorfia exhiban las mismas propiedades topológicas.

El problema es que lo que vale para un espacio topológico no tiene porqué valer para otro. Dado que un espacio de tres dimensiones no es homeomorfo a uno de siete, cabe esperar que ciertas cosas (cosas topológicas, entiéndanme) que ocurran en un universo de tres dimensiones no ocurrirán o al menos no tienen porqué ocurrir en otro de siete, y viceversa. Y aquí está el quid de la cuestión en lo que a la Conjetura de Poincaré se refiere.

Pero vayamos con calma.

Consideremos una esfera. Es muy importante explicar que entendemos que una esfera es el conjunto de puntos del espacio que equidistan de otro, llamado centro. Esto viene a cuento porque con esta definición una esfera es una superficie. No una bola maciza sino la superficie que la delimita. Esto es básico para entender lo que sigue. Para dejar más claro el asunto, la llamaremos 2-esfera por ser un objeto bidimensional, aunque esté inmerso en un espacio de tres dimensiones.


Todo objeto homeomorfo (topológicamente equivalente) a una esfera tendrá las mismas propiedades topológicas que una esfera; esto es una perogrullada. Lo que no lo es es preguntarse si una determinada colección de propiedades de la esfera es una caracterización topológica de la misma. Esto no es nada trivial. Y de eso va la conjetura.

Una caracterización es un conjunto de propiedades que definen sin ambigüedad un objeto. Tres propiedades topológicas son importantes en una esfera:

1.- Es compacta
2.- Es orientable
3.- Es simplemente conexa

Hace mucho tiempo que quedó claro que este conjunto de tres propiedades es una caracterización de una 2-esfera, pero ¿qué ocurre en dimensiones superiores?

Una 3-esfera NO ES una esfera maciza, como alguno podría pensar. Una 3-esfera es una variedad diferenciable de tres dimensiones, que podemos definir como el conjunto de los 4-puntos de R4 que equidistan de uno dado (centro). Es una 3-variedad inmersa en un espacio de 4 dimensiones, por tanto.

Pues bien; ¿sigue siendo el conjunto de las tres propiedades una caracterización de las 3-esferas?

La Conjetura de Poincaré afirma que para cualquier número de dimensiones el conjunto de las tres propiedades es en efecto una caracterización de las n-esferas.

Apreciar el sabor de este bello (bellísimo, no lo duden) postulado es la tarea que les proponga en sucesivos post, en los que desgranaremos conceptos topológicos, y recorreremos la historia de la conjetura hasta llegar al bueno de Grigory Perelman , que se encerró durante años hasta dar con una demostración de este reto que el genial Poincaré lanzó a sus iguales.

Seguiremos disfrutando (yo al menos) con este tema en días sucesivos. Les espero.
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34 comentarios

fernando -

nada el señor perelman es un maestro digno habia escuchado de tal conjetura pero ps no sabia por donde comenzarlo ...

ferx -

¡HOMBRE, LA CONJETURA DE P0INCARÉ SIEMPRE ES DEMOSTRABLE,AL MENOS, RESPECTO A SU IMPROCEDENCIA. CIERTAMENTE, NO HE LEÍDO EL ARTÍCULO DEL SEÑOR PERELMAN, PERO CREO QUE ES DEMASIADO PURO...

santi -

fascinante. no entiendo nada. me encanta.

theterock -

genial este blog realmente los felicito ójala que pongan nueva información sobre los otros problemas matemáticos restantes.

Respcto a lo de Poincaré me parece justo que el trabajo del ruso Grigory Perelman sea bien valorado aún que el crédito se lo lleven los otros matemáticos chinos. Perelman avanzó mucho en esto, al igual que el gran teorema de Fermat el credito es lo llevo Wiles, pero enrealidad Taniyama lo hizo básicamnete todo. En fin


Felicidades,


Ángel -

Este blog me encanta pero voy a hacer de abogado del diablo: un teorema es una fórmula dentro de una prueba, nada exige que hayamos encontrado la prueba. La conjetura de Poincare siempre ha sido un teorema sólo que ahora hay gente que está seguro de ello...

Luis A. Amat -

Hola a todos los que lean estas palabras... Un saludo de un humilde biólogo que ha acabado de "machacateclas" para la administración. No sé si es el lugar adecuado para ésto, pero al ver el entusiasmo que despierta este magnifico rincón matemático, tan próximo al que yo siento, no he podido resistirme: NO SOY MATEMATICO, NI DE LEJOS... PERO, NI FALTA QUE ME HACE PARA CASI DESPEGAR DEL SUELO LEYENDO ARTICULOS COMO EL DE ARRIBA... Ni que decir tiene que, hasta donde pueda y entienda, también yo intentaré revisar todo el material. Saludos de nuevo para TioPetros (gracias por existir) y todos mis ya amigos lectores de (y aportadores a) este "site".

jgalvez -

Me parece interesante que alguien explique la demostración de la conjetura de Poincaré que hicieron los dos matemáticos chinos. Es verdad que Perelman ya la había demostrado?

Anónimo -

TioPetros -

Cluje: es un gran placer leer tus explicaciones. Me encanta que te guste el sitio.

Cluje -

Jo, Tio Petros, tu blog es un vicio, lo he descubierto hace poco y me encanta, a ver si puedo ir leyendo poco a poco los archivos...

Del problema de la teoría de dimensión para espacios en general, creo que lo que dice mewt es correcto, en el sentido de que para espacios topológicos sin ninguna condición a priori, la teoría de la dimensión es una rama de la topología con entidad propia desde hace bastante tiempo. Creo recordar que la definición más generalmente aceptada es lo que llaman la definición inductiva, que es en función de inclusiones de abiertos; se puede encontrar, si no me falla la memoria, en el libro de Hurewicz y Wallman "dimension theory".

Sin embargo, en lo que respecta a variedades, que son los espacios que normalmente aparecen en el contexto de la conjetura de Poincaré, la manera de verificar la invariancia por homeomorfismo es un razonamiento sencillo "lola-like": si una aplicación entre dos variedades topológicas es homeomorfismo, en particular es homeomorfismo local (=homeomorfismo en un entorno de cada punto). Pero una variedad se define precisamente como un espacio tal que cada punto posee un entorno homeomorfo a R^n, para un cierto n fijo para todos los puntos de la variedad. Ahora basta aplicar lo que dice Lola.

Y bueno, un par de anecdotillas para terminar, que me está quedando el post muy técnico:

- Una, que una parte de la teoría de la dimensión se ocupa de los espacios de dimensión...fraccionaria!!!! Son estos espacios de tipo fractal, como las curvas de Peano o el conjunto de Cantor (que tiene dimensión log 2/log 3); espacios que son muy "gordos" para tener una cierta dimensión entera y muy "finos" para tener la siguiente. Aclaro aquí para los que están más puestos en el tema que esta definición de dimensión es la de Hausdorff, que proviene del Análisis y que coincide con la habitual en los números enteros.

- Dos. A Poincaré se le consideró el matemático más influyente del cambio de siglo del XIX al XX, junto con Hilbert; entre otras cosas, su Analysis Situs se considera el germen de la Topología Algebraica y la Teoría de Homología (dicho de otro modo, de cada plato de garbanzos que me como, por lo menos dos o tres se los debo a Poincaré). Sin embargo, su hermano le superó, pues llego a ser... Presidente de la República Francesa!!!

Bueno, que se hace tarde. Buenas noches a todos.

Crystal -

Creo que este tema lo voy a disfrutar de lo lindo, una vez me lo intentaron explicar pero no recuerdo haberme enterado del todo ;)

Y a mí también me encanta Escher; en concreto esa imagen está entre mis preferidas, pero hay muchas otras, por supuesto.

Andy -

Y por cierto se agradece el cuadro del autorretrato de Escher, uno de mis artistas preferidos.. Sabes de algún otro artista con un estilo parecido (aunque Escher era único en su genero ^_^)

PD me equivoque antes poniendo mi direccion web esta es la buena :P

Andy -

Bueno como había otro Carlos aquí tendré que ponerme un apodo xD, he tenido que leer dos o tres veces el artículo, pero el concepto del homeomorfismo me ha resultado más que fascinante :D :D Lo de la 2-esfera me rompió los esquemas pero ya me estoy haciendo a la idea te voy a poner en mis favoritos ;)

angelrls, El Lobo Rayado -

Sí, si se suponen que tenemos varias asignaturas de topología [/digamos aplicada/] en la carrera, esencial para las teorías de partículas, pero es que mi relación de amor-odio con las matemáticas me entorpece más, lo siento (es una de mis mayores espinitas, no tener el nivel de matemáticas que me gustaría tener. Y la topología es tannnnnnn rara... es para los [/toposlocos/] ;P )

juan -

tio petros.
no te preocupes. es el primer detalle que evo que olvidas en casi un año que llevo visitandote. he tardado mucho, peo creo que he leido casi todos tus mensajes en este tiempo.
a por ellos!! a por la diferenciacion de espacios de diferentes dimensioes!!! larga vida a la homologia...

y el astrofisico, no me explico como no os enseñan estas cosas. deberian ponerlas en 2º bacillerato...(es coña)

angelrls, El Lobo Rayado -

esto.. creo en esta bitácora los enlaces se ponen de forma distinta a como se hace en blogalia... bueno, ahí lo he deajdo ya.

angelrls, El Lobo Rayado -

¡Gracias por la explicación! A ver si así me entero de algo, aunque sea un poco muy poco, de lo que hace mi mujercita ;P

Ah, y que conste que ella lo intenta explicar siempre con todas sus fuerzas, pero ... soy un simple astrofisiquito, esto me supera...

Palimp -

Sólo comentar que no soy matemático, aunque tampoco lerdo en estas cuestiones. Ahora bien, he leído el artículo en el I&C y no me he enterado de mucho. Leyendo este post me he enterado mucho más, y espero seguir haciéndolo.
De nuevo gracias por tu labor divulgativa.

TioPetros -

Adrian:
Off topic, pero interesantísimo. Gracias

Adrian -

off topic:
Avance de la investigación matemática española
http://www.usc.es/gl/institutos/instituto.jsp?id=5477

Avance de la investigación matemática española

La investigación matemática española ha experimentado un desarrollo espectacular en los últimos años, que la han convertido en la tercera ciencia nacional, con una producción de articulos del 4.65% en el quinquenio 1999-2003. Fruto de este desarrollo ha sido la inclusión, por primera vez, de un Programa Nacional de Matemáticas en el Plan Nacional de I+D+i 2004-2007.

A pesar de este éxito espectacular, las matemáticas españolas necesitan nuevas herramientas que la capaciten para afrontar nuevas cotas y que, además, faciliten la transferencia del conocimiento matemático a otras ciencias y al sector productivo y tecnológico. En el citado Programa se incluía, como Acción Estratégica, la creación de un Centro Nacional de Matemáticas.

Con el objetivo de conseguir un amplio y abierto debate entre los matemáticos españoles, responsables institucionales, y agentes internacionales desde una óptica multidisciplinar se celebrarán los próximos 18 y 19 de noviembre unas Jornadas de Política Científica en Santiago de Compostela, que serán la continuación de las Primeras celebradas en el CSIC (Madrid) los días 17 y 18 de junio pasados.
Esta iniciativa se enmarca dentro de una Acción Especial coordinada por Manuel de León (como Coordinador de Matemáticas de la ANEP) y Enrique Zuazua (como Gestor del Programa Nacional de Matemáticas).

Lola -

pues yo creo que a mi este blog se me queda muy muy alto la mayoría de las veces, que eso de "un paseo"... Pero creo que todos agradecemos el nivelazo.

TioPetros -

Newt y Lola: gracias por vuestras puntualizaciones. Tiemblo al pensar el nivel de algunos lectores de este blog... que no es sino un paseo matemático. Aquí no pretendo hacer matemáticas, sino hablar de ellas con el máximo rigor posible, a la vez que de forma entendible para el que se acerca con una cierta prevención, por eso vuestras puntualizaciones son excelentes. Odio meter la pata cuando explico algo, porque me gusta ser creíble...pero Lola, tienes razón: con qué facilidad se olvidan las coas que no ves hace algún tiempo!

El trabajo que supone hacer un cierto orden en nuestras conexiones sinápticas se ve una y otra vez vencido por la inalterable segunda ley de la termo... snif.

Lola -

Jaja... bueno, hacer, hacer, últimamente las leo, más que otra cosa. Será el síntoma post-tesina. El caso es que lo que ha dicho Mewt es correcto. Lo que sí se tiene es que si tenemos un abierto de R^n y otro de R^m, si son homeomorfos, entonces m=n.

De todas formas, es increíble la rapidez con la que puedo olvidar las cosas de la carrera cuando sólo se ven idempotentes que te dan splittings en homotopía estable de no sé qué leches... A ver si doy clases de topología y me pongo a recordar todo de nuevo :)

Ah, y hay más topólogos en la sala: Cluje, doctor incluso.

Carl Philip -

Entusiasmado estoy. Ni te imaginas lo ESTUPENDAMENTE que me va a venir este artículo, y sospecho que algunos de los que sigan, para mi bitácora. En la que, no faltaba más, serás convenientemente citado, atribuido y enlazado por ello. Era algo que me tenía un poco en vilo.

Off-topic: Xenakis será —relativamente— pronto.

TioPetros -

Lola:
"yo no tengo tanta paciencia... "
lo que pasa es que mientras yo tengo un humilde blog sobre historias matemáticas, tú HACES matemáticas. Ni color... ;-)

mewt -

TioPetros:
Me imagino que lo que dices será cierto; con lo que hay que tener cuidado es con como se define la "dimensión" de un espacio topológico. Desde luego no puede definirse a partir de bases, y si usas una definición del tipo de las de las variedades (topológicas) el problema de la invarianza de la dimensión nos lleva de nuevo a la homología (creo) ya que la dimensión no es invariante por homotopía. De todas formas, seguro que de esto sabe más Lola, que es topóloga :-P A mi dadme álgebra...

TioPetros -

Para Newt:
De acuerdo, la inversa debe ser continua. Por supuesto.
Respecto a los homeomorfismos entre espacios de dimensiones diferentes, en fin: no necesito más que saber que el número de dimensiones es un invariante topológico (o no?).

Lola -

puf, Tio Petros, lo has explcado de escándalo, yo no tengo tanta paciencia... Seguiremos al tanto.

juan -

vaya, caso todo lo que iba a decir ya lo ha dicho mewt.
de todas formas, a lo importante. animo tio petros!!! este tema es de los que mas me entusiasman. el año pasado curse una asignatura de topologia algebraica, donde estudiabamos la homologia simplicial y la verdad es que me encanto.

un saludo.

mewt -

Creo que seguire el post. Ya habia oido hablar de la demostración de Perelman, que por lo que parece se fue por derroteros mas "diferenciales".
Por cierto, que la definición de homeomorfismo es incompleta, no basta conque la aplicación sea continua y biyectiva, además hay que pedir que la inversa sea continua, o equivalentemente, que la aplicación sea abierta o cerrada. Basta considerar un espacio con unos cuantos puntos y la aplicación identidad en ese espacio, poniendo en el dominio la topología discreta y en el codominio la trivial. Esto es siempre una biyección continua, pero no es abierta, por lo que no es un homeomorfismo.

Por cierto, lo de demostrar que un espacio de tres dimensiones no es homeomorfo a uno de 7 tiene tela... la única demostración que yo conozco usa cosas como homología local. Lo digo solo para mostrar que, incluso en los casos mas sencillos, demostrar que dos cosas no son homeomorfas suele ser un problema bastante complicado ;-)

Carlos -

Qué bueno , una charla divulgativa sobre la conjetura de Poincaré ... me encanta ! ;o)

TioPetros -

Dios, cómo me gusta ese entusiasmo...

Palimp -

¡Yupi!
Lo había leído en el I&C y tenía ganas de preguntarte al respecto, pero si vas a ir paso a paso hasta llegar a la conjetura preveo, como dices, un disfrute asegurado.
¡Gracias!
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