Las sucesiones de Goodstein
Este artículo intenta explicar algo muy difícil de creer. Quizás requiera un poco más de esfuerzo que el resto de los artículos hasta ahora publicados en este blog; pero intentaré hacerlo ameno. Sé (y estoy encantado por ello) que entran en este blog lectores a los que la matemática les atrae pero les asusta un poco. No quisiera que la presencia de unas cuantas ecuaciones les espante. No será esta la tónica general del blog, pero es necesario comprender que la belleza está precisamente ahí, y lo que yo hago aquí no es sino un torpe intento de expresar lo mismo en palabras.
El aroma de lo que ahora quiero explicar se puede percibir sin las ecuaciones, de modo que si alguien se siente cohibido, que pase de ellas y lea el resto. Antes de enfrentarnos a la maravilla, debemos repasar varios conceptos previos:
Una sucesión numérica es una secuencia infinita de números uno detrás de otro. Para tener definida la sucesión, debemos conocer la regla de generación de los sucesivos elementos de la misma. Esta definición puede darse mediante el término general , que es una fórmula en función del puesto que ocupa cada número. Sustituyendo la variable que indica el puesto por cada valor n , obtenemos el enésimo miembro de la sucesión. También puede darse recursivamente: utilizando los valores anteriores de la misma para generar los nuevos.
Ejemplo el primer caso:
An= 4n
Estamos ante la sucesión de los múltiplos de 4. Efectivamente, si sustituimos n por 7 obtenemos el séptimo miembro de la sucesión, que es 7 x 4 = 28.
Ejemplo del segundo caso:
A1=1; A2=1; An=A(n-2)+A(n-1)
En este caso, estamos explicando que los dos primeros miembros valen la unidad, y que cada uno de los demás es igual a la suma de los dos anteriores. Estamos ante la famosísima sucesión de Fibonacci {1,1,2,3,5,8,13,...}.
Para generar la sucesión de Goodstein necesitamos varios conceptos más:
1.- Forma normal de Cantor en base 2 de un número entero.
De la misma forma en que cualquier número lo podemos expresar como potencias de diez (Por ejemplo: 266=2x102+6x101+6x100), podemos hacerlo en cualquier base. Hagámoslo en base 2, obteniendo:
266=1x28+1x23+1x21. (Esto no es sino otra forma de decir que en base dos, 266 se escribe 100001010 .
Pues bien, la cosa es expresar como potencias de dos tanto las bases como los sucesivos exponentes, obteniendo una torre de exponentes. Para nuestro número 266 tendríamos:
.
= 
Esto es precisamente la Forma normal de Cantor en base 2 del número 266.
2.- Operador salto de base.B[b](n), u operador dilatación.
Dado un número expresado Forma normal de Cantor en base b , el operador salto de base sustituye cada b por (b+1). No hace falta insistir mucho para comprender que esto es una barbaridad de cambio.
Operando con el 266 obtenemos:
.
y estamos frente a un número ciertamente monstruoso. Si aplicamos a este último el operador, tendríamos un cuatro en lugar de cada tres, y la cifra obtenida simplemente escapa de nuestra comprensión de puro grande.
Con este bagaje podemos acometer las sucesiones de Goodstein.
Comienzan con una semilla, un número natural de cualquiera de partida que en nuestro caso podría ser 266. Este sería el primer término de la sucesión, que denotaremos G0(266)=266.
El segundo término (G1(266))se obtiene mediante el operador cambio de base B[2] sobre el primer término, y restando uno al resultado. Esto es: en su forma normal de Cantor, sustituimos cada dos por un tres, y al resultado le restamos una unidad. Así habríamos obtenido la sucesión de Goodstein de semilla igual a 266. Para cada entero tendríamos una sucesión de Goodstein diferente.
Veamos una recopilación de todo esto en la siguiente imagen:
Es difícil imaginar una sucesión que crezca más rápido que ésta, verdad?
Pues bien, el Teorema de Goodstein dice (y demuestra) que para cualquier valor de la semilla, toda sucesión de Goodstein alcanza... ¡¡EL CERO!!
La explicación de esta alucinante verdad es que el responsable este comportamiento es la unidad que le vamos restando a cada paso . El número de pasos necesario para que, después de un crecimiento abrumador, la sucesión vaya declinando hasta el cero es de tal magnitud que no existe forma de escribirlo, ni de calcularlo. Salvo para semillas muy pequeñas, no hay humano que lo haga, pero tampoco hay ordenador que lo pueda hacer... y sin embargo ahí está el resultado demostrado.
¿Cómo consiguió Goodstein demostrar esta cuestión?
La forma en que lo hizo hace que las sucesiones de Goodstein sean más que una simple curiosidad. De hecho, es la demostración lo importante, y lo que tiene consecuencias incluso filosóficas. Todo esto tiene relación con los infinitos de Cantor, con el teorema de Gödel y con nuestra concepción de la matemática en general. Ni más ni menos.
De todo ello hablaremos en el próximo artículo. ¿Podrán esperar?
____________________________________________________________________________________________
* La dirección de este artículo es:
http://www.infoaragon.net/servicios/blogs/tiopetrus/index.php?idarticulo=200310211
* Ver esta historia sola
El aroma de lo que ahora quiero explicar se puede percibir sin las ecuaciones, de modo que si alguien se siente cohibido, que pase de ellas y lea el resto. Antes de enfrentarnos a la maravilla, debemos repasar varios conceptos previos:
Una sucesión numérica es una secuencia infinita de números uno detrás de otro. Para tener definida la sucesión, debemos conocer la regla de generación de los sucesivos elementos de la misma. Esta definición puede darse mediante el término general , que es una fórmula en función del puesto que ocupa cada número. Sustituyendo la variable que indica el puesto por cada valor n , obtenemos el enésimo miembro de la sucesión. También puede darse recursivamente: utilizando los valores anteriores de la misma para generar los nuevos.
Ejemplo el primer caso:
An= 4n
Estamos ante la sucesión de los múltiplos de 4. Efectivamente, si sustituimos n por 7 obtenemos el séptimo miembro de la sucesión, que es 7 x 4 = 28.
Ejemplo del segundo caso:
A1=1; A2=1; An=A(n-2)+A(n-1)
En este caso, estamos explicando que los dos primeros miembros valen la unidad, y que cada uno de los demás es igual a la suma de los dos anteriores. Estamos ante la famosísima sucesión de Fibonacci {1,1,2,3,5,8,13,...}.
Para generar la sucesión de Goodstein necesitamos varios conceptos más:
1.- Forma normal de Cantor en base 2 de un número entero.
De la misma forma en que cualquier número lo podemos expresar como potencias de diez (Por ejemplo: 266=2x102+6x101+6x100), podemos hacerlo en cualquier base. Hagámoslo en base 2, obteniendo:
266=1x28+1x23+1x21. (Esto no es sino otra forma de decir que en base dos, 266 se escribe 100001010 .
Pues bien, la cosa es expresar como potencias de dos tanto las bases como los sucesivos exponentes, obteniendo una torre de exponentes. Para nuestro número 266 tendríamos:
.
= Esto es precisamente la Forma normal de Cantor en base 2 del número 266.
2.- Operador salto de base.B[b](n), u operador dilatación.
Dado un número expresado Forma normal de Cantor en base b , el operador salto de base sustituye cada b por (b+1). No hace falta insistir mucho para comprender que esto es una barbaridad de cambio.
Operando con el 266 obtenemos:
.
y estamos frente a un número ciertamente monstruoso. Si aplicamos a este último el operador, tendríamos un cuatro en lugar de cada tres, y la cifra obtenida simplemente escapa de nuestra comprensión de puro grande.
Con este bagaje podemos acometer las sucesiones de Goodstein.
Comienzan con una semilla, un número natural de cualquiera de partida que en nuestro caso podría ser 266. Este sería el primer término de la sucesión, que denotaremos G0(266)=266.
El segundo término (G1(266))se obtiene mediante el operador cambio de base B[2] sobre el primer término, y restando uno al resultado. Esto es: en su forma normal de Cantor, sustituimos cada dos por un tres, y al resultado le restamos una unidad. Así habríamos obtenido la sucesión de Goodstein de semilla igual a 266. Para cada entero tendríamos una sucesión de Goodstein diferente.
Veamos una recopilación de todo esto en la siguiente imagen:
Es difícil imaginar una sucesión que crezca más rápido que ésta, verdad?
Pues bien, el Teorema de Goodstein dice (y demuestra) que para cualquier valor de la semilla, toda sucesión de Goodstein alcanza... ¡¡EL CERO!!
La explicación de esta alucinante verdad es que el responsable este comportamiento es la unidad que le vamos restando a cada paso . El número de pasos necesario para que, después de un crecimiento abrumador, la sucesión vaya declinando hasta el cero es de tal magnitud que no existe forma de escribirlo, ni de calcularlo. Salvo para semillas muy pequeñas, no hay humano que lo haga, pero tampoco hay ordenador que lo pueda hacer... y sin embargo ahí está el resultado demostrado.
¿Cómo consiguió Goodstein demostrar esta cuestión?
La forma en que lo hizo hace que las sucesiones de Goodstein sean más que una simple curiosidad. De hecho, es la demostración lo importante, y lo que tiene consecuencias incluso filosóficas. Todo esto tiene relación con los infinitos de Cantor, con el teorema de Gödel y con nuestra concepción de la matemática en general. Ni más ni menos.
De todo ello hablaremos en el próximo artículo. ¿Podrán esperar?
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* La dirección de este artículo es:
http://www.infoaragon.net/servicios/blogs/tiopetrus/index.php?idarticulo=200310211
* Ver esta historia sola
13 comentarios
Jordan Flight 45 -
Rafael -
yenny -
Random -
Ramón -
De un tal Poincaré, intentando redimir al más ególatra de todos los monos. Aunque no es toda la verdad...Gracias Petros
Crystal -
Para los que no hacemos trampas (ejem) la espera ya está siendo muy larga, no nos dejes en ascuas!!
Una nunca se cansa de aprender por aquí.
Tio Petros -
[Quique] -
Tio Petros -
Haces bien en no creerlo, Akin. Sin embargo es cierto. No quiero incluir en este blog nada especulativo ni incierto. En el siguiente post seguiremos hablando de ello, si seguís visitándome, claro. Daré bibliografía del asunto para los más exigentes.
Para Roberto:
Infinitas (aleph_cero) GRACIAS. Con tu aportación, a partir de ahora los post serán más legibles... al menos en cuanto a los exponentes.
Para Quique:
Pues tendrás que esperar, jejeje. (Me encanta la impaciencia de mis lectores).
[Quique] -
roberto -
roberto -
Para escribir potencias usa las etiquetas 5 < sup>2
Resultado: 52
(eliminando los espacios)
Akin -
Esto si que es contraintuitivo.