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Tio Petros

Las sucesiones de Goodstein (2)

¿Cómo hizo Goodstein para demostrar su teorema?

Vamos a ver el asunto, si os parece.

(Se habrá hecho algo parecido en algún blog? Miedo me da a mi aburrir al personal...) .

Para ello necesitamos un concepto adicional: las superdilataciones . Simplifiquemos la nomenclatura, y llamemos d a la dilatación u operador salto visto en el artículo anterior, reservando D para la superdilatación.

Una dilatación, como vimos ,era un cambio de p por p+1 en la expresión normal de Cantor del número, ¿verdad? Pues una superdilatación no es más que un cambio de p por w en la expresión normal de Cantor del número; donde w (omega) es el primer ordinal infinito. Nos zambullimos así en la aritmética transinfinita de Cantor. En ésta aritmética, ajena a los axiomas de Peano sobre los que se basa la aritmética de toda la vida, w simboliza el primer (menor) ordinal mayor que cualquier número natural(y por lo tanto infinito).
Lo tenemos en la imagen siguiente:



Los ordinales se ordenan de la misma manera que los enteros ordinarios, de forma que tenemos una ordenación a su vez infinita de ordinales w, w+1,...w+w=2w, 2w+1,...

Varias cosas debemos notar a estas alturas:

1.- (Esta es paradójica a tope): Si comenzamos en un ordinal infinito cualquiera, toda sucesión estrictamente decreciente llega al cero en un número finito de pasos. ¡Esto es extrañísimo! Lo que estamos afirmando es que comenzando con un ordinal infinito, llegamos al cero en un número de pasos finito necesariamente.
Esto es así por la propia definición de w. Al ser el menor ordinal mayor que cualquier número natural, cuando lleguemos a w, para seguir teniendo una sucesión decreciente, el siguiente debe ser un natural finito a la fuerza, y de éste al cero, siempre habrá un número finito de términos!!

2.- (Esta no es menos atómica). Efectuar una superdilatación, por ejemplo D2 es lo mismo que hacer una dilatación normal d2, seguido de una superdilatación D3. El motivo es claro, la dilatación cambia cada p de la forma normal de un número por p+1 , y la superdilatación D3 cambia p+1 por w . En definitiva lo único que hemos cambiado es p por w, que es precisamente el operador D2. Dicho de otra manera: la superdilatación de un número es igual a la superdilatación de la dilatación normal de un número .Sin embargo, si en vez de dilatarlo previamente, le restamos una simpleunidad, las superdilataciones no son iguales: con una unidad menos, tenemos una superdilatación menor que antes. El motivo es claro: el 1 que restamos “pasa” al resultado, sin transformarse ni en w ni en nada!!!

Miren ahora la figura de abajo:

.

Tenemos dos sucesiones: la de Goodstein normal, y al superdilatada, cuyos miembros son los correspondientes a la anterior por el operador D. Tenemos que la segunda es estrictamente decreciente , y en virtud del punto 1, llega a cero en un número finito de pasos.

Pero resulta que el cero ¡no puede sino ser la superdilatación de otro cero!, luego acabamos de demostrar que la sucesión de Goodstein inicial converge a cero.

Basta por hoy. En el siguiente post veremos las implicaciones filosóficas de todo esto, como siempre si ustedes quieren seguirme. Son más interesantes aún que la propia demostración... y entonces será cuando el bueno de Kurt Gödel entrará en escena.
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9 comentarios

Alberto Venezuela -

Estimado amigo, quizas te refieres a los "números epsilon" de Goerg Cantor; pero podemos crear postulados del CERO "no existente" como valor numerico

pepe -

Siento discrepar, pero me parece que no me convence esa "demostración".
Veamos, "w" es el primer infinito, y a lo que parece "w+1" es mayor que "w" (yo diría que son iguales, pero que le vamos a hacer), con la misma lógica "w-1" debe ser menor que "w", y como "w" es el primer infinito, debe ser finito (esa es la base del razonamiento de 1), sea N=w-1, entonces N+1=(w-1)+1=w (supongo), luego el tal "w" no parece muy infinito que digamos.

Tio Petros -

Me parace muy bien, Quique. ;)

[Quique] -

Ok, ahora sí. No lo había captado todo. Respecto a lo de las demostraciones: ya dije yo aquello de "tal vez no merezcan el nombre de demostraciones", pero de todas forman, podrían resultar interesantes como muestras de lo q ocurre con la sucesión. Si te parece bien, pondré algunos enlaces, a ver si consigo rescatarlos de mi caótico "History".

Tio Petros -

Para Akin:
Esto de debe dejar igual de trastocado que postular que i es el número tal que su cuadrado es menos uno. Pero no más.
Para Quique:
El "penúltimo" término de la sucesión de Goodstein será un natural finito, pero el correspondiente de la superdilatada también será un natural finito. Ahí está tu error. Habremos "caído" en los finitos hace tiempo.La superdilatación de un natural de la sucesión de Goodstein (aún diferente de cero) no es siempre un ordinal infinito: tan sólo cuando en el desarrollo normal de Cantor aparece el número p, que es sustituido por p+1 en las dilataciones y por w en las superdilataciones.
Fíjate que en la figura 1. si hubiéra puesto el 265 en lugar del 266, el último sumando de la forma normal hubiéra sido un 1, no un 2 (que era en ese momento el valor de p). En la dilatación, ese uno se hubiera conservado como un 1 (porque no se trata de p, que es lo único que sustituimos), y lo mismo en la superdilatación.
Por otro lado, demostraciones de la convergencia a cero de una sucesión de Goodstein no has podido ver jamás sin ordinales finitos. En el siguiente post explico porqué.
Un cordial saludo a ambos, y gracias or vuestra atención...

[Quique] -

No ha quedado del todo claro. Por un lado una sucesión decreciente de ordinales infinitos tiene q acabar en cero en un número finito de pasos, porque por narices acabará cayendo en un natural finito, pero al mismo tiempo, a priori podemos decir que la sucesión de goodstein original está formada por naturales finitos cuya superdilatación es por definición algun ordinal infinito. Así pues, si llamamos al primer cero de la sucesión el último término, el penúltimo término sería un natural finito distinto de cero y su superdilatación es un ordinal infinito. ¿De ahí pasamos a cero directamente? En fin, no se si me explico, pero me ha quedado oscuro. He visto algunas demostraciones sin ordinales infinitos (tal vez no merezcan el nombre de demostraciones, no se) que me resultan más convincentes.

Akin -

Prometo volver a intentar entenderlo en un par de días.

Me perdí en "donde w (omega) es el primer ordinal infinito", eso me ha dejado un poco trastocao :)

Crystal -

Madre mía, sigo sin saber si he entendido todo, pero tras esta demostración me he quedado patidifusa: creo que cualquier resultado en el que intervengan infinitos es en sí mismo un resultado sorprendente y hermoso.

Y lo más curioso es que halla personas capaces de llegar a tales conclusiones, sabedores en su fuero interno de que jamás capatarán el significado del infinito.
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