Las raíces de la unidad (1)
Definir funciones en el campo complejo es relativamente fácil. El cuerpo C se define como el conjunto de pares de reales (a,b) con una operación suma y otra producto:
(a,b)+(c,d)=(a+c, b+d)
(a,b)·(c,d)=(ac-bd, bc+ad)
Aquí no hay nada arbitrario. Si bien podemos definir las operaciones queramos y luego comprobar si tenemos o no un cuerpo, la definición anterior corresponde a la idea previa de que existen números cuyo cuadrado es negativo: los números imaginarios. Es muy fácil comprobar que las definiciones de suma y producto anteriores son simplemente la expresión de que las partes reales e imaginarias se suman y multiplican algebráicamente teniendo en cuenta que i2=-1.
Ciertamente, para tener perfectamente construido el cuerpo C no hizo falta un alarde de imaginación y de genialidad como en el caso del cuerpo de los reales; hizo falta tan sólo la valentía de postular la existencia de pleno derecho de un número i cuyo cuadrado era 1. Todo lo demás viene dado una vez que se ha cometido esta audacia. Un número complejo es por tanto un par, en el que el primer elemento es un número real, y el segundo es un número imaginario, o sea: un real multiplicado por la i así definida. Podemos escribir dicho número en forma de par (a,b) o en forma de binomio a+bi.
Pues bien, resulta sencillo definir en C otras operaciones más complicadas, por simple extrapolación de sus definiciones en el caso real. Para ello suele ser muy conveniente utilizar las expansiones en forma de serie de potencias de las funciones elementales de R , y extrapolarlas a C .
Concretamente la función exponencial, que para un número real está definida así:
para un imaginario puro la definimos de la misma forma:
Quiero hacer hincapié en un hecho fundamental: no hemos utilizado, no vamos a utilizar ninguna propiedad desconocida para manejar, por primera vez en este blog los números complejos. A riesgo de ser repetitivo, diré una vez más que la única audacia cometida es postular la existencia del número i, cuyo cuadrado vale i2=-1.
Las sucesivas potencias de i son triviales:
i3=i· i2=-i
i4= i2· i2=(-1)·(-1)=1
i5= i4·i=i
y a partir de aquí se repite el ciclo.
Así pues, operando con los sucesivos términos de nuestra ecuación, obtenemos:
y ahora no tenemos más que dejarnos llevar por el instinto. Agrupamos los términos que llevan la i imaginaria por un lado y los que no la llevan por la otra, obteniendo:
Ahora resulta que ambos paréntesis son el desarrollo en serie de las funciones trigonométricas seno y coseno, cosa que no por no ser trivial, deja de ser cierta.
Así pues, la cosa queda así, obteniendo la archiconocida fórmula de Euler
Esto es fue una gran sorpresa. Las funciones trascendentes tales como las exponenciales y las trigonométricas eran viejas conocidas en tiempos de Euler, y todo el mundo sabía que las primeras son funciones de rápido crecimiento (crecimiento exponencial, traspasado al lenguaje cotidiano), mientras que las segundas reflejaban los vaivenes cíclicos de las oscilaciones de la naturaleza; las mareas, los péndulos... Qué quería decir esta fórmula increíble?
No tiene mucho sentido hacer cábalas sobre significados ocultos de esta bella ecuación, ni tiene sentido ver misticismos orientales en su particularización para x= pi; pero no deja de ser sorprendente esta relación, conocida como la fórmula de Euler
Nos servirá para expresar un número complejo de una tercera manera: en forma exponencial. Veamos las implicaciones de la fórmula en cuestión.
Dado que el módulo de un número complejo se obtiene por el teorema de Pitágoras, como pueden ver en la ilustración siguiente:
resulta claro que nuestro exponencial de imaginario puro es un complejo unitario, y que el valor x nos indica precisamente el ángulo que forma el eje X real con el vector que desde el origen apunta a dicho número complejo. Una vez más, nada nuevo hemos utilizado, sólo la conocida relación trigonométrica sin22(x)+ cos22(x)=1.
Así pues, e ix representa un número complejo que está situado a distancia uno del centro de coordenadas, y cuyo radio vector forma un ángulo x con el eje real. Es fácil comprender que si queremos representar en forma exponencial y complejo de módulo diferente de la unidad, bastará multiplicar su correspondiente unitario por el módulo, obteniendo
z= r· e ix
como expresión general de un complejo cualquiera.
Así, mientras x va recorriendo los valores reales desde 0 hasta 2·PI, z= e ix va recorriendo la circunferencia unidad centrada en el origen, girando en contra de las agujas del reloj. La fórmula mágica que surge al igualar x a 2·PI, y que ya la hemos usado alguna vez en este blog:
no representa ninguna conexión cósmico-mágica, ni tiene mística alguna en su interior,si la ponemos en forma menos críptica, así:
nos está diciendo que con un ángulo de PI radianes, estamos en el punto 1 del eje real, cosa que puede entender un niño (1).
Ahora tenemos ya las herramientas para comprender que las raíces enésimas de la unidad , las soluciones de la ecuación
x n=1
surgen como bellas particiones de la circunferencia unidad. Lo vemos en el post siguiente, y luego pasearemos por los polinomios ciclotómicos. Les deseo un agradable paseo conmigo.
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(1) Un niño bastante listo, no un niño cualquiera.
(a,b)+(c,d)=(a+c, b+d)
(a,b)·(c,d)=(ac-bd, bc+ad)
Aquí no hay nada arbitrario. Si bien podemos definir las operaciones queramos y luego comprobar si tenemos o no un cuerpo, la definición anterior corresponde a la idea previa de que existen números cuyo cuadrado es negativo: los números imaginarios. Es muy fácil comprobar que las definiciones de suma y producto anteriores son simplemente la expresión de que las partes reales e imaginarias se suman y multiplican algebráicamente teniendo en cuenta que i2=-1.
Ciertamente, para tener perfectamente construido el cuerpo C no hizo falta un alarde de imaginación y de genialidad como en el caso del cuerpo de los reales; hizo falta tan sólo la valentía de postular la existencia de pleno derecho de un número i cuyo cuadrado era 1. Todo lo demás viene dado una vez que se ha cometido esta audacia. Un número complejo es por tanto un par, en el que el primer elemento es un número real, y el segundo es un número imaginario, o sea: un real multiplicado por la i así definida. Podemos escribir dicho número en forma de par (a,b) o en forma de binomio a+bi.
Pues bien, resulta sencillo definir en C otras operaciones más complicadas, por simple extrapolación de sus definiciones en el caso real. Para ello suele ser muy conveniente utilizar las expansiones en forma de serie de potencias de las funciones elementales de R , y extrapolarlas a C .
Concretamente la función exponencial, que para un número real está definida así:
para un imaginario puro la definimos de la misma forma:
Quiero hacer hincapié en un hecho fundamental: no hemos utilizado, no vamos a utilizar ninguna propiedad desconocida para manejar, por primera vez en este blog los números complejos. A riesgo de ser repetitivo, diré una vez más que la única audacia cometida es postular la existencia del número i, cuyo cuadrado vale i2=-1.
Las sucesivas potencias de i son triviales:
i3=i· i2=-i
i4= i2· i2=(-1)·(-1)=1
i5= i4·i=i
y a partir de aquí se repite el ciclo.
Así pues, operando con los sucesivos términos de nuestra ecuación, obtenemos:
y ahora no tenemos más que dejarnos llevar por el instinto. Agrupamos los términos que llevan la i imaginaria por un lado y los que no la llevan por la otra, obteniendo:
Ahora resulta que ambos paréntesis son el desarrollo en serie de las funciones trigonométricas seno y coseno, cosa que no por no ser trivial, deja de ser cierta.
Así pues, la cosa queda así, obteniendo la archiconocida fórmula de Euler
Esto es fue una gran sorpresa. Las funciones trascendentes tales como las exponenciales y las trigonométricas eran viejas conocidas en tiempos de Euler, y todo el mundo sabía que las primeras son funciones de rápido crecimiento (crecimiento exponencial, traspasado al lenguaje cotidiano), mientras que las segundas reflejaban los vaivenes cíclicos de las oscilaciones de la naturaleza; las mareas, los péndulos... Qué quería decir esta fórmula increíble?
No tiene mucho sentido hacer cábalas sobre significados ocultos de esta bella ecuación, ni tiene sentido ver misticismos orientales en su particularización para x= pi; pero no deja de ser sorprendente esta relación, conocida como la fórmula de Euler
Nos servirá para expresar un número complejo de una tercera manera: en forma exponencial. Veamos las implicaciones de la fórmula en cuestión.
Dado que el módulo de un número complejo se obtiene por el teorema de Pitágoras, como pueden ver en la ilustración siguiente:
resulta claro que nuestro exponencial de imaginario puro es un complejo unitario, y que el valor x nos indica precisamente el ángulo que forma el eje X real con el vector que desde el origen apunta a dicho número complejo. Una vez más, nada nuevo hemos utilizado, sólo la conocida relación trigonométrica sin22(x)+ cos22(x)=1.
Así pues, e ix representa un número complejo que está situado a distancia uno del centro de coordenadas, y cuyo radio vector forma un ángulo x con el eje real. Es fácil comprender que si queremos representar en forma exponencial y complejo de módulo diferente de la unidad, bastará multiplicar su correspondiente unitario por el módulo, obteniendo
z= r· e ix
como expresión general de un complejo cualquiera.
Así, mientras x va recorriendo los valores reales desde 0 hasta 2·PI, z= e ix va recorriendo la circunferencia unidad centrada en el origen, girando en contra de las agujas del reloj. La fórmula mágica que surge al igualar x a 2·PI, y que ya la hemos usado alguna vez en este blog:
no representa ninguna conexión cósmico-mágica, ni tiene mística alguna en su interior,si la ponemos en forma menos críptica, así:
nos está diciendo que con un ángulo de PI radianes, estamos en el punto 1 del eje real, cosa que puede entender un niño (1).
Ahora tenemos ya las herramientas para comprender que las raíces enésimas de la unidad , las soluciones de la ecuación
x n=1
surgen como bellas particiones de la circunferencia unidad. Lo vemos en el post siguiente, y luego pasearemos por los polinomios ciclotómicos. Les deseo un agradable paseo conmigo.
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(1) Un niño bastante listo, no un niño cualquiera.
24 comentarios
hoteles -
viajes ultima hora -
César -
Esta es la ecuación:
[sen(pi/n)]*[sen(2pi/n]*...*[sen(n-1)pi/n]=n/[2^(n-1)]
Si alguíen me lo puede responder, al día siguiente cuando por fin haya conseguido dormir, se lo agradeceré mucho.
DIEGO -
si el cuadrado del numero i es -1 . El cuadrado del numero (-i) es = -1??? creo
¿me podria decir el punto de corte de una circunferencia de centro (0,-i)y radio 3 con el eje x? yo obtengo un resultado de 3,algo y eso graficamente no puede ser posible.
¿me lo puede responder al correo? gracias por todo
Marco Antonio -
Kopito -
Demostrar que la suma de las raices enesimas de la unidad es igual a cero
Gracias por adelantado
milenz -
Alejandra -
Carlos H. Cabrera Gen -
2) "Subobjeto" es generalización de subconjunto"
3) R es subobjeto de C
4) Ver "Categorías Abelianas" de Peter FREYD
Henry -
TioPetros -
(4,0) no es 4
(0,0) no es 0
Pero yo puedo abusar del lenguaje siguiendo la tradición; y considerar R como subconjunto de C por los motivos arriba expuestos.
Carlos H. Cabrera Gen -
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4 no es ( 4 , 0 )
0 no es ( 0 , 0 )
x no es ( x , 0 )
¿ Por qué R es subconjunto de C ?
Un niño -
Anónimo -
Aligustre -
Crystal -
TioPetros -
Carl Philip -
TioPetros -
Lo que puede comprender hasta un niño es que se damos media vuelta a la circunferencia partiendo del 1, llegamos al -1. Esto y no otra cosa es lo que nos quiere decir la famosísima ecuación ei.PI+1=0.
TioPetros -
Tu asignatura de cálculo era de una carrera de ingeniería?
Te lo pregunto porque los estudiantes de ingeniería necesitan urgentemente herramientas matemáticas, sin tiempo para detenerse en los porqués de las mismas. Es comprensible...
Aligustre -
Su método me dejó muy frustrado. Hubiera preferido saber que tal fórmula se obtenía desarrollando por Taylor la función exponencial como acabas de hacer. Supongo que así me habría parecido mucho más atractiva e interesante.
Sergi -
samu -
Que no os ofusque su sencillez, por que es ahi donde reside su belleza.
Carl Philip -