Aritmética modular (4)
Cuarto post de Lola Cárdenas sobre reglas de divisibilidad.
Reglas básicas de aritmética modular
Dado m un entero positivo, y dados
, 
, 
, 
, se verifica lo siguiente (reglas básicas de aritmética modular):- Si
y 
, entonces 
- Si
y 
, entonces 
Demostrar estas reglas es muy sencillo, como podemos observar:
Regla de la suma: Si
, entonces existe 
tal que 
, y si , entonces existe 
tal que 
.Ahora bien, (a1 + a2) - (b1 + b2) = (a1 - b1) + (a2 - b2) = k1m + k2m = (k1 + k2)m. De aquí es claro pues que
.Regla del producto: Si
, entonces existe tal que , y si , entonces existe tal que .Desarrollamos:
Por tanto, también es claro que
.Dejamos indicado un teorema importante que no vamos a demostrar [1]:
Si llamamos
alconjunto cociente dado por
y la relación binaria de equivalencia de congruencia módulo m (para m un entero positivo), se cumple:- Si
, 
, se definen las operaciones suma y multiplicación en como sigue:
- Ambas operaciones verifican las propiedades asociativa y conmutativa, y también se verifica la propiedad distributiva del producto respecto de la suma. El elemento neutro para la suma es la clase del cero, [0], y el elemento neutro para el producto es la clase del 1, [1].
- Dado
, tiene elemento opuesto para la operación de suma definida, siendo este opuesto el elemento 
. Además, si m es primo, para todo tal que 
, se cumple que [a] tiene inverso multiplicativo, y además este inverso es único.
El teorema no es importante para nuestro desarrollo final, pero sí es importante para ampliar la visión de conjunto de las congruencias y los conjuntos
, enteros módulo m.Y ahora vamos a ver cómo se aplican estas reglas para obtener criterios de divisibilidad para números enteros (el principal objetivo de todo este texto).
Reglas de divisibilidad
Introducimos la siguiente notación: Sean x, y dos elementos pertenecientes a
(es decir, son dos números enteros). Decimos que x divide a y, 
, y lo denotaremos por 
si existe un 
tal que 
.Por ejemplo, decimos que 2 divide a 10 porque, en primer lugar,
y, en segundo lugar, existe 
tal que 
. Así, escribiremos que 
.De la misma manera, decimos que 3 divide a 24 porque, primero,
y, segundo, existe 
tal que 
. Por tanto, podemos escribir que 
.También vamos a adoptar la siguiente nomenclatura para las reglas de divisibilidad: dado un número entero x, escribiremos su expansión en base 10 como:
x0, ..., xn son las cifras de x, es decir, cuando escribimos x, escribimos lo siguiente:
, y la expansión de arriba es la que le corresponde al estar trabajando en base 10.x0 es la cifra de las unidades, x1 la de las decenas (por eso va mutiplicada por 10), x2 la de las centenas (por eso va multiplicada por 100), etc. Se entiende, además, que las cifras están entre 0 y 9, es decir,
, para i entre 0 y n.Divisibilidad entre 2
Proposición (Criterio de divisibilidad)Un número entero x es divisible entre 2 si y sólo si la cifra de las unidades de dicho número (x0) es par.
De acuerdo a la expansión decimal de x, tenemos lo siguiente:
. Porla segunda regla de operaciones con congruencias,
, luego 
. No es difícil comprobar que, en general, 
paracualquier k mayor o igual que 1.
Por tanto, aplicando la primera y segunda regla de operaciones con congruencias, tenemos que:
Ahora bien,
. O lo que es lo mismo, que x0 sea un múltiplo de 2. Es decir, que la cifra de las unidades sea par.Divisibilidad entre 3
Proposición (Criterio de divisibilidad) Un número entero x es divisible entre 3 si y sólo si la suma de sus cifras es divisible entre 3.
(El esquema es similar a la regla de divisibilidad entre 2)
De acuerdo a la expansión decimal de x, tenemos lo siguiente:
. Por la segunda regla de operaciones con congruencias, 
, luego 
. No es difícil comprobar que, en general, 
para cualquier k mayor o igual que 1.Por tanto, aplicando la primera y segunda regla de operaciones con congruencias, tenemos que:
Ahora bien,
.Es decir, que la suma de sus cifras sea divisible entre 3.
Divisibilidad entre 5
Proposición (Criterio de divisibilidad) Un número entero x es divisible entre 5 si y sólo si la cifra de las unidades de dicho número (x0) es cero o cinco.
(El esquema es similar a la regla de divisibilidad entre 2)
De acuerdo a la expansión decimal de x, tenemos lo siguiente:
. Por la segunda regla de operaciones con congruencias, 
, luego 
. No es difícil comprobar que, en general, 
para cualquier k mayor o igual que 1.Por tanto, aplicando la primera y segunda regla de operaciones con congruencias, tenemos que:
Ahora bien,
. O lo que es lo mismo, que x0 sea un múltiplo de 5. Es decir, que la cifra de las unidades sea cero o cinco.Divisibilidad entre 9
Proposición (Criterio de divisibilidad) Un número entero x es divisible entre 9 si y sólo si la suma de sus cifras es divisible entre 9.
(El esquema es idéntico a la regla de divisibilidad entre 3)
De acuerdo a la expansión decimal de x, tenemos lo siguiente:
. Por la segunda regla de operaciones con congruencias, 
, luego 
. No es difícil comprobar que, en general, 
para cualquier k mayor o igual que 1.Por tanto, aplicando la primera y segunda regla de operaciones con congruencias, tenemos que:
Ahora bien,
. Es decir, que la suma de sus cifras sea divisible entre 9.Divisibilidad entre 10
Proposición (Criterio de divisibilidad) Un número entero x es divisible entre 10 si y sólo si la cifra de las unidades de dicho número (x0) es cero.
(El esquema es similar a las reglas de divisibilidad entre 2 y entre 5)
De acuerdo a la expansión decimal de x, tenemos lo siguiente:
. Por la segunda regla de operaciones con congruencias, 
, luego 
. No es difícil comprobar que, en general, 
para cualquier k mayor o igual que 1.Por tanto, aplicando la primera y segunda regla de operaciones con congruencias, tenemos que:
Ahora bien,
. O lo que es lo mismo, que x0 sea un múltiplo de 10. Es decir, que la cifra de las unidades sea cero.Divisibilidad entre 11
Proposición (Criterio de divisibilidad) Un número entero x es divisible entre 11 si y sólo si la suma de las cifras que ocupan la posición impar, menos la suma de las cifras que ocupan la posición par, es divisible entre 11.
(El esquema es semejante a las reglas de divisibilidad entre 3 y entre 9)
De acuerdo a la expansión decimal de x, tenemos lo siguiente:
. Por la segunda regla de operaciones con congruencias, 
, luego 
. No es difícil comprobar que, en general:
para cualquier k mayor o igual que 1.
Por tanto, aplicando la primera y segunda regla de operaciones con congruencias, tenemos que:
Ahora bien,
, lo que es equivalente a que, como dice el enunciado de la regla, la suma de las cifras en las posiciones pares menos la suma de las cifras en las posiciones impartes sea divisible entre 11.Hasta aquí, las reglas usuales de divisibilidad que a todos nos enseñan en el colegio. Pero vaya, el truco del principio de este texto manejaba unas reglas que normalmente no se enseñan en el colegio: divisibilidad entre 7 y entre 13. Así que vamos a completar las reglas de divisibilidad con los números que nos faltan para completar del 2 al 13. Es decir, vamos a desarrollar las reglas de divisibilidad entre 4, 6, 7, 8, 12 y 13, repitiendo el mismo procedimiento que hemos llevado a cabo para demostrar las anteriores.
Abreviaremos un poco el procedimiento, obteniendo simplemente los resultados de las congruencias módulo m para las potencias de 10, y dejamos al lector el ejercicio de verificar los pasos que no se indican. Son prácticamente idénticos a los ya vistos, por lo que no debe suponer un problema.
Puede verse la demostración en cualquier libro básico de
álgebra, por ejemplo, "Números, grupos y anillos", de J. Dorronsoro
y E. Hernández, editorial Addison-Wesley, página 40 en la primera
edición.
26 comentarios
nestor -
Adrax -
¡Muchas gracias!
franshesca corcino -
TU MADRE -
007 -
LLÑ -
matemática -
osito toño -
anonimo -
Federico -
karla -
ed -
Anónimo -
emma -
MARCELA -
Gema -
pedro -
pancha la del pueblo cañon -
Anónimo -
Matías Sosa Medina -
¿conoce Vd. algún programa informático que pase cualquier númeo en base 10 a otra base, sin tener que efectuar las sucesivas y engorrosas divisiones por la nueva base?
¿Donde puedo encontrarlo?
Le estaré sumamente agradecido.
Saludos afectuosos.
io -
anonimo -
monica alejandra celis -
anonimo -
Anónimo -
manuel de jesus ruiz guzman -