Aritmética modular ( y 6)
Post final de la serie sobre aritmética modular y reglas de divisibilidad a cargo de Lola Cárdenas
El truco del ejemplo del principio
Si observamos el número abcabc, podemos darnos cuenta de que se ajusta inmediatamente tanto a la regla de divisibilidad entre 7 como a la del 13. La regla del 7 tomaba el ciclo (1, 3, 2, -1, -3, -2), y la regla del 13, (1, -3, 9, -1, 3, -9). Es decir, cualquier número de seis cifras construido de manera que tenga las mismas cifras en las posiciones uno y cuatro, dos y cinco, tres y seis, será divisible tanto por 7 como por 13, ya que al aplicar la correspondiente regla de divisibilidad, primero tomará un signo y después el opuesto, además multiplicándose en ambos casos por el mismo factor.
Vemos enseguida, pues, que abcabc es divisible entre 7, puesto que a+3b+2c-a-3b-2c es precisamente igual a 0. Y lo mismo sucede con el 13: a-3b+9c-a+3b-9c=0.
¿Y el 11? Ver la divisibilidad por 11 también es inmediata, ya que tenemos que se cumple que a-b+c-a+b-c=0.
Por ese mismo motivo, no importa que inviertas el número de seis cifras. Como queda de la forma cbacba, ahora ya es inmediato ver que se le aplica lo mismo en lo referente a criterios de divisibilidad.
¿Y cómo sabía que iba a quedar el mismo número de tres cifras abc al dividir abcabc primero por 13, luego por 7 y luego por 11? Pues... porque lo dividí. ¿Cómo, si no tenía ningún número concreto que tratar? Escribiendo la expansión de abcabc en base 10, factorizando adecuadamente, y después dividiendo.
Empezamos factorizando abcabc:
Y como resulta que
, al dividir abcabc entre 1001, el resultado es, precisamente, abc.Corolario: El año 2002 fue un año de mala suerte. Pero sólo para los supersticiosos: es divisible por 13. Aunque también fue un año de buena suerte. Pero sólo para los supersticiosos: es divisible por 7.
Reflexión final
La motivación de este texto ha sido doble. Por una parte, presentar una parte de las matemáticas que tiene muchas aplicaciones prácticas: desde estas sencillas reglas de divisibilidad para números enteros, hasta criptografía (materia que quizá introduzcamos en otra ocasión). Por otra parte, demostrar lo sencillo que resulta elaborar trucos simples que pueden dar la sensación en alguien sin preparación en la materia de que realmente le están leyendo el pensamiento.
Tanto si he conseguido despertar el interés por esta parte de las matemáticas como si he conseguido poneros una alerta cuando alguien parezca estar leyéndonos la mente con algún tipo de juego numérico y os preguntéis por el truco, me daré por satisfecha.
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