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Tio Petros

Continuidad (2)

Hemos prometido en el post anterior explicar de dónde viene la extraña terminología que se emplea para dar la condición de continuidad de una función real de variable real. Y hemos dicho que las profundas ideas que aquí se encierran hunden sus raíces en la topología. Veremos ahora que, a pesar de la sensación de abstracción difícilmente digerible, la condición épsilon-delta que mencionábamos es en realidad un caso muy concreto de algo mucho más general. Y, como ya estamos acostumbrados, atacaremos el problema desde la mayor generalidad posible.

Esta pretensión de máxima generalidad que tienen los matemáticos no es una manía: entendiendo el caso más general posible se entienden automáticamente todos los casos concretos.

Y qué tiene de concreto la definición de continuidad del post anterior?

Pues mucho: se trata de la definición de continuidad de una función de un espacio topológico concreto ( R con la topología usual), en otro espacio topológico concreto (que resulta ser el mismo).

Abordemos la cosa desde la generalidad, imaginemos que tenemos un espacio topológico (X,T), en el que está definida una aplicación con valores en otro espacio topológico (Y,S). Los puntos p del espacio origen tienen su imagen en puntos f(p), que pertenecen al espacio imagen (Y,S). (A estas alturas a nadie se le escapa que S es la topología definida en el conjunto Y, supongo).

Pues bien, la idea madre del asunto es algo tan ramplón como esto:

Una aplicación continua en un punto p es una aplicación sin sorpresas en el punto p.

Nuestra tarea va a ser ahora comprender que la definición anterior no es sino exactamente eso, y vamos a jugar limpio: hemos dicho que vamos a hablar con la máxima generalidad. Los espacios topológicos nos dan la idea de proximidad mediante las familias de entornos de sus puntos, sin necesidad de hablar de distancias. No debemos por tanto usar frases tales como “si nos acercamos lo suficiente a p”, “si la distancia entre p y q tiende a cero…”, etcétera.

Visualicemos sin pérdida de generalidad la situación: tenemos el punto p de (X,T) y su imagen por la aplicación f, que es el punto f(p) de (Y,S). Lo tenemos en la imagen siguiente:



la notación f(p) supongo que estará clara para todos: se refiere a un punto, necesariamente del conjunto Y, que es la imagen del punto p del conjunto X por la aplicación f. Del mismo modo podemos hablar del subconjunto f(U) de Y evidentemente, que no es sino, dado un subconjunto U de X, el conjunto de todas las imágenes de sus puntos por la aplicación f.

La ausencia de sorpresas, lógicamente debe darse en el espacio (Y,S). El porqué es evidentemente: allí es donde “ocurren cosas” referentes a la aplicación f; el espacio (X,T) es sólo el de partida!!!

Pues bien, tomemos un entorno cualquiera V de la imagen de p, f(p).



La ausencia de sorpresas en el entorno V supone que podemos encontrar un entorno U en el espacio de partida tal que su imagen está dentro de V. A poco que se piense, se comprende porqué esta es la “condición guay” que expresa la ausencia de sorpresa en f(p): Si para cada entorno V de la imagen de p podemos encontrar al menos un entorno de p cuya imagen esté contenida en V, quiere decir que, respetando la noción de proximidad de las topologías tanto de partida como de llegada, no existen transiciones bruscas de la aplicación en proximidades de f(p): siempre existe un entorno lo suficientemente pequeño de p para que su imagen esté incluida en el entorno de partida.

La función transforma puntos próximos a p en puntos próximos a f(p), y esa proximidad se establece en virtud de los entornos de las respectivas topologías.

Lo vemos en la figura siguiente:



En el próximo post veremos que esto es exactamente lo que nos está diciendo la condición épsilon-delta del inicio del post anterior. De momento una cosilla más: debe quedar claro que una aplicación no es continua o discontinua, sino en relación a las topologías de partida y de llegada. Además, ambas topologías influyen de modo opuesto. Me explico: dado que la condición de continuidad exige que para todo entorno de f(p) en (Y,S) exista algún entorno de p en (X,T), que cumpla una determinada cosa, por un lado tenemos que:

1.- Cuantos más entornos posibles haya de f(p) (o lo que es lo mismo: cuanto más fina sea la topología en (Y,S)) más difícil se cumplirá la condición, porque debe cumplirse para todos ellos

2.- Cuantos más entornos posibles haya de p (o lo que es lo mismo: cuanto más fina sea la topología en (X,T)), más fácil se cumplirá la condición, porque basta con encontrar alguno en el que se cumpla, y tenemos más para buscar.

Esto hace que se puedan definir las importantísimas nociones de topologías inducidas por una aplicación: la topología inicial (la menos fina en X que hace a f continua, siendo fija la topología S en Y, y la topología final; la más fina en Y que hace a f continua siendo fija la topología T en X, pero esa es otra historia…
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8 comentarios

karina m. escobar -

no tienen nada de informacion

Adrian -

En The Wall Street Journal comentan al respecto que algunos niños estadounidenses que antes se frustraban con la materia ahora (qeu han importado libros de Singapur) dicen que les gusta. No hay como hacerlo divertido! gracias por ello tio petros!

Adrian -

pues lo cierto es qeu en el articulo no sale la lista...
pero se trata de la última encuesta de Demoscopia para la Fundación Española para la Ciencia y la Tecnología (en PDF).
ah! por cierto acaba de salir un estudio internacional que muestra las mejoras en matematicas y ciencias en EEUU es el International TIMSS 2003 Technical Report (PDF - 8.9 MB). no os lo perdais!(parece que han mejorado mucho ;-P). (si os parece muy grande podeis bajarlo por capitulos desde http://timss.bc.edu/timss2003.html)

JuanPablo -

lástima que está disponible sólo para suscriptores!

por curiosidad, cuántas 'ciencias' hay en la lista?
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Carlos -

Explicación: los premios jorge juan son un concuros de matemáticas a nivel universitario.

Carlos -

En El pais de la comunidad valenciana, sección educación ... y en esa misma página salgo yo !! Por lo de los premios jorge juan jejeje

Adrian -

off topic:
Hoy Miguel Ángel Goberna publica un interesante articulo en el pais titulado:
Así se ven las matemáticas, no os lo perdais. Cito un trocito:
las matemáticas ocupan una tibia quinta posición en la lista de 14 materias con arreglo a su 'nivel de identificación como propiamente científicas', tras medicina, física, química y biología, mientras que una de sus ramas, la estadística, ocupa la penúltima posición, empatada con ¡la astrología!, tan sólo por delante de la historia.

mewt -

Un ejercicio que me ayudó bastante a comprender cómo afectan las distintas topologías a la noción de continuidad es considerar un espacio cualquiera X, junto con la aplicación identidad Id:X-->X que lleva cada punto x en sí mismo, Id(x)=x, y suponiendo que tengamos la topología T como topología para el dominio (el espacio X de partida), y la topolgía S en el codominio (el espacio X de llegada) ver qué condiciones deben satisacer T y S para que la aplicación identidad sea continua.
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