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Tio Petros

Atrapando el concepto de azar (4)

Atrapando el concepto de azar (4)
Azar es una palabra vacía de sentido, nada puede existir sin causa.

Voltaire

FUNCIONES DE CONJUNTO. MEDIDAS DE CONJUNTO

Siguiendo el guión que nos hemos trazado en posts anteriores, pasamos a definir las funciones de conjunto, necesarias para explicar cómo se define una probablidad en un conjunto de sucesos.

Como hemos avanzado, una función de conjunto es el concepto riguroso de una idea intuitiva muy sencilla: una regla que asigna a cada conjunto de una colección determinada un número real. Esta definición intuitIva se formaliza mediante dos propiedades que debe cumplir tal “regla” para que merezca el nombre de función de conjunto.

1.- Al conjunto vacío le debe corresponder el cero

2.- Si tenemos una suma finita de conjuntos pertenecientes al campo de definición de la función, todos ellos disconjuntos dos a dos, entonces la medida de la unión de todos ellos será igual a la suma de las medidas individuales. Diremos que las medidas de conjuntos deben ser aditivas

Si esta propiedad 2 se hace extensiva a colecciones numerables de conjuntos, entonces la función se denomina sigma-aditiva.

Es del todo evidente que estas definiciones deben su razón de existencia a las propiedades intuitivas que todos tenemos en mente cuando hablamos de “medidas”. Pensémos en triángulos, cuadrados y polígonos generales en un plano. Pensémos en ellos no como figuras geométricas, sino como subconjuntos de un conjunto más general (el plano). A cada subconjunto le asociamos una “medida” de su área, que cumple evidentemente las propiedades pedidas. En efecto, la aditividad es una propiedad incuestionable que debe cumplir toda medida de conjunto para que responda a la idea previa que todos tenemos de lo que es una medida. Viene a ser algo así como un teorema de conservación del área generalizado a medidas más generales que la del área: si descomponemos una figura en n trozos disjuntos, la medida del original coincide con la medida de las partes.

La propiedad 3 engloba a la 2, y es la propiedad ad hoc para las sigma-álgebras, ya que por su propia definición (ver post anterior) tenemos asegurada la pertenencia de la suma infinita a dicha sigma-álgebra.

Para que la función de conjunto sigma-aditiva sea una medida ya sólo necesitamos una cosa: que todo conjunto tenga una medida no negativa.

Y para que dicha medida sea una probabilidad, lo único que hace falta es que la medida del conjunto completo sea la unidad. Ahora se ve que la probabilidad nace de la teoría de la medida sin duda alguna. Sin embargo la teoría de la probabilidad no es un mero apartado de la teoría de la medida; sino que tiene sabor propio, debido a conceptos como independencia , que en teoría de la medida no existen.

Recapitulemos: en Teoría de la probabilidad tenemos un conjunto X de sucesos elementales, más una colección de subconjuntos suyos, llamados simplemente sucesos o eventos. La estructura de dicha colección es la de una sigma-álgebra. Además, tenemos definida una probabilidad en dicha sigma-álgebra. Esto quiere decir que cada elemento de la colección de subconjuntos tiene asociado un valor comprendido entre 0 y 1. Todo ello junto forma un espacio probabilístico.

Es decir un espacio probabilístico es la terna (X, A, P), donde X es un conjunto cualquiera, A una sigma-álgebra suya y P una medida de probabilidad definida en A.

Aquí habitan las variables aleatorias , de cuya definición estamos ya cerca.

Antes de seguir convendría aclarar dos cosas:

1.- La propiedad primera de las medidas no es necesaria, ya que puede deducirse de la segunda. ¿Sabría el lector hacerlo?

2.- Aún no hemos respondido a una pregunta muy irritante: hemos visto que las sigma-álgebras cumplen por su propia constitución las propiedades “guays” para construir un espacio probabilístico, pero ¿No podríamos haber contemplado simplemente el conjunto de partes de X como conjunto de sucesos? Al fin y al cabo, al ser el mayor conjunto posible, cumple trivialmente las propiedades necesarias, y es infinitamente más sencillo de definir...

La respuesta de la pregunta 1 la dejo en el aire hasta el próximo post; es muy sencilla. La respuesta a la pregunta 2 es sin embargo una de las mayores sorpresas que uno se lleva al estudiar matemáticas. Personalmente dos cuestiones matemáticas , por su antiintuitividad me sorprendieron enormemente cuando las estudié. Una es el hecho de que el conjunto Q de los racionales sea numerable, y otra es esta: No a todo subconjunto de un conjunto general se le puede aplicar una medida .

Esto quiere decir que incluso en un conjunto tan poco inamistoso como el intervalo [0,1] ; de longitud unidad; existen subconjuntos que no tienen una longitud asociada. Que no se lleve el lector a engaño; no tener medida asociada NO es tener medida cero; es exactamente eso: no tenerla en absoluto.

La demostración de esto es un poco complicada, y hace uso del axioma de elección . Consiste en construir efectivamente un subconjunto de [0,1] para el cual no podemos asociar ninguna longitud sin caer en contradicción.

Es por eso que el sistema de subconjuntos en los que se define la probabilidad debe ser una sigma-álgebra, menos fina que el conjunto de partes de X.

Seguimos mañana.

Si ustedes quieren.
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12 comentarios

andres jelvez -

hola necesito saber mas algebra sobre los conjuntos disjuntos o adyacentes a mi mail enseñarme gracias

melina -

q significa este simbolo ⊆?

iopo -

no cacho nada de nada.........
xD

xaielita!

Adrian -

void

Lo veo todo verde,me parece que se te olvido cerrar el font color=green en este post.

TioPetros -

Te estaré eternamente agradecido. Muchas veces echo en falta ciertas facilidades en blogia, pero ahora ya sé escribir Ø
Thanks

Jorge -

Para el símbolo consulté el mapa de caracteres del tipo de letra. En Window$, se obtiene con Alt+0216. Hice lo mismo con el símbolo de intersección, pero veo que no lo admite; será porque ø y Ø son la letra o con una barra.
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Tio Petros -

Por cierto, Jorge: cómo haces para escribir aquí el símbolo del conjunto vacíp???

TioPetros -

Justo.
Salvo en un caso muy poco interesante de una medida excepcional para la cual lo anterior no es cierto.
La excepción es de tan pequeña importancia que decidí escribir que la propiedad 2 incluía la 1 en todo caso.

Sabríais cuál es esa medida extraña, y sin importancia ni siquiera teórica; para la cual esto no es cierto?

Jorge -

Para todo conjunto A, se cumple que:

A = A U Ø

y

A ∩ Ø = Ø

por lo que:

m(A) = m(A U Ø) = m(A) + m(Ø)

m(A) = m(A) + m(Ø)

0 = m(Ø)

TioPetros -

Luzbel; no dejes que los árboles te impidan ver el bosque
Wok: Alcanzar el rigor no es fácil. De hecho esto no es sino una muestra somera, parcial e imprecisa del camino que trazaron mentes poderosas para atrapar el concepto del azar.

wok -

Nunca hubiera pensado qe hacía falta tanto historia par definir la probabilidad. Alucinado estoy.

Luzbel -

No veo porqué la segunda propiedad de las funciones de conjunto tiene que implicar la primera. La segunda se refiere a la medida de la union de varios subconjuntos, y la primera se refiere a la medida del conjunto vacío. No veo relación alguna...
Lo sigo pensando.
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