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Tio Petros

¿Qué es un número?

¿Qué es un número? No parece que exista disciplina científica cuyo objeto sea tan difícil de precisar como la matemática. Precisamente por ello es doblemente importante establecer un buen punto de partida: unas bases desde las que edificar el edificio entero.

Históricamente las bases iniciales fueron geométricas. La matemática griega era básicamente la ciencia de las figuras geométricas. En el siglo III antes de nuestra era Euclides propuso un sistema riguroso basado en unos pocos postulados (cinco axiomas), desde los cuales edificar toda la teoría geométrica con el auxilio de las leyes de la lógica de primer orden. Las afirmaciones cuya veracidad se probaba a partir de los axiomas eran teoremas.

Estas bases permanecieron firmes hasta el siglo XVII, en el que Newton y Leibniz desarrollan el cálculo, atendiendo a demandas concretas de la física del momento. Las nociones de límite en las que se basaban suponía una “desgeometrización” de la teoría matemática, aunque aún las derivadas eran concebidas como pendientes y las integrales como áreas: se notaba la influencia geométrica de antaño. Cuando Cauchy y Weierstass, hacia 1.870 reformulan las definiciones de límite sin el auxilio de las incómodas cantidades que “tienden a cero”; cuestión que nadie entendía en realidad, y consiguen la definición épsilon-delta que usamos actualmente, el cálculo llega a su mayoría de edad, y el concepto geométrico queda sustituido por el concepto de número (número real, concretamente).

Pero la cosa no paró ahí: las verdaderas bases debían ser más generales que los números reales. Existe una maravillosa historia que cuenta cómo los números reales son construidos desde los racionales, utilizando sucesiones de racionales (sucesiones de Cauchy); los racionales desde los enteros, y los enteros desde los naturales.

Kronecker diría, resumiendo la situación: Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre

Estos números naturales surgían como entidades radiantes, primigenias de un puñado de axiomas: los cinco axiomas de Peano :


1.- 0 es un número
2.- El siguiente de todo número es un número
3.- Números distintos tienen siguientes distintos
4.- 0 no es el siguiente de ningún número
5.- Si una determinada propiedad es cumplida por el 0, y si es cumplida por un número también es cumplida por el siguiente, entonces es cumplida por todo número.


Parecería que estos cinco axiomas concentran la totalidad de la matemática, dado que desde ellos se puede construir todo... y sin embargo no es así.

Volvieron a cambiar las bases, y así como de los objetas geométricos pasaron a los números reales y de estos a los naturales, ahora las bases se trasladaban a una teoría nueva que surgía de la mente de George Cantor : la teoría de conjuntos.

Esto supone que los números naturales; el cero, el uno, el dos, etc deben ser definidos en base a conceptos aún más generales.

Sin embargo, esto no parece cuestión fácil: ¿cómo definir el cero sin caer en una peligrosa circularidad introduciendo el concepto a definir en la definición?

No parece fácil. Decir que el cuatro es el conjunto de todos los conjuntos de cuatro elementos no es serio, por motivos que saltan a la vista.

Cómo podemos definir un número natural desde la teoría de conjuntos de forma que no caigamos en una circularidad inaceptable?

Lo vemos próximamente...
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24 comentarios

lis - 20 de diciembre de 2008 - 03:44

qe es un numero osea nadie sabe o qe

ELISANDRA PIZARRO - 20 de agosto de 2008 - 01:16

QUE ES UN NUMERO?

anita - 20 de julio de 2008 - 21:12

Seguro, Javier, que Peano no dijo el 0 era un natural?
Casi todo lo que he encontrado dice que sí, y que su exclusión es posterior para incluirlo en los enteros. Gracias.

anita - 20 de julio de 2008 - 19:40

Hola, acabo de encontrar este maravilloso oasis de las matemáticas, y volviendo al tema de los axiomas de Peano, no se define en ningún momento "ser el siguiente a",¿no es necesario? Seria algo asi como que dado el cero y el uno como su siguiente, el siguiente de a es a+1, o sobra la definición?
Gracias

Javier - 20 de julio de 2008 - 18:52

segun peano el 0 no es considerado un numero natural, yo no se porque dicen que peano dijo que es un numero natural

1. 1 es un número.
2. El sucesor inmediato de un número también es un número.
3. 1 no es el sucesor inmediato de ningún número.
4. Dos números distintos no tienen el mismo sucesor inmediato
5. Toda propiedad perteneciente a 1 y al sucesor inmediato de todo número que también tenga esa propiedad pertenece a todos los números.

Carlos H. Cabrera Gen - 08 de noviembre de 2004 - 08:51

El cero tiene "partida de nacimiento":

cero = card{ }

juliana - 01 de noviembre de 2004 - 18:52

me encantan las matemáticas en este momento curso tercer semestre de matemática pura en colombia y el tema de sistemas numericos en este momento son los numeros naturales en especial su construcción y para ello es sumamente importante los axiomas de Peano pues ayuda a demostrar muchas de las propiedades de los números naturales. si alguien tiene material sobre eso me encartaría que lo compartieran conmigo.

Carlos H. Cabrera Gen - 14 de octubre de 2004 - 06:07

En un sistema natural:

a) Hay un mínimo elemento
b) Todo elemento tiene un sucesor
c) El mínimo no es sucesor de ningún otro elemento.
d) Si dos objetos son distintos, los sucesores también lo son
e) Si el mínimo cumple una propiedad P, y cada vez que un elemento cumple P, también la cumple su sucesor; entonces todos los elementos de cumplen P.

N "con el cero", N "sin el cero", N "sin 0, 1, 2, 3", etc; son sistemas naturales.

Anónimo - 08 de septiembre de 2004 - 03:34

jose - 20 de agosto de 2004 - 02:54

soy estudiante del pedagogico de maracay (venezuela edo-aragua )los aiomas de peano son importantes para el estudios de las estructuras algebraicas

Annto_¬¬ - 20 de agosto de 2004 - 02:33

hola soy lo mas!
yeahh!!
bessito!

LEONEL FEDERICO GARCIA CESPEDES - 11 de julio de 2004 - 00:27

quiero que me digan sobre couchi seorge por que stoy haqblando desde ahora y nada
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~~~::LOñes® - 20 de junio de 2004 - 00:53

soy estudiante de primer año
en pedagogia en computacion y matematica.
en Chile
y me han mandado una sarta de tareas relacionada con numeros y sus propiedades.
me gustaria saber mas de
\"como\" se llego a los aximas de peuno,(para poder explicarle a mis Futuros Alumnos.

y ademas saber mas de los numeros \"amigos\", me parece un tema interesante

luh9i7y - 20 de mayo de 2004 - 11:45

hola

Tio Petros - 30 de enero de 2004 - 14:11

Tute: donde en los axiomas de Peano pone "Número", puedes poner perfectamente "número natural".
Me imagino que la ausencia de la palabra "natural" se debe a que Peano se planteó la definición de los números naturales sin auxilio alguno de otro tipo de números, se manera que estos eran los primeros en definir, y de momento, fingidamente, los únicos existentes.
Tute: definir cualquier número en función de l cero y del unono es demasiado difícil, en efecto. Ahora nos vamos a plantear algo mucho más difícil: definir todos ellos sin el auxilio de ninguno, y por supuesto sin la menor noción de la operación suma. ¿Qué podemos saber de la suma si aún no tenemos números que sumar? ;)

Rimblow - 30 de enero de 2004 - 13:42

Totalmente de acuerdo con Tute, pero ademas añadó que si sólo existiera un número natural ese sería el 0. Yo pienso que sin el número 0 no se entendería ni las matemáticas, ni la vida...mira se es "natural"...creo que definir cualquier número natural desde la teoría de conjuntos en sencillo, excepto definir el 0 y el 1, ellos son la clave...de todo.

Un saludo, y perdonar lo de mi cabeza que esta fatal...

Tute - 30 de enero de 2004 - 05:15

...wow...

No sólamente acabo de entender porqué muchos consideran al 0 como natural sino que cada vez me gustan más las matemáticas.

Según Peano, todos los entes fuera de los naturales no son números. ¿O estoy interpretando mal y donde dice 'número0 debería leer 'número natural'?

carlos olmedo romero - 20 de mayo de 2003 - 03:36

La verdad que ya se que 'cosa loca ' es el cero difundieron una aseveracion incorrecta acerca de los axiomas de peano, ahora me di cuenta y acepto la hipotesis, es buena, claro no es muy rigurosa pero es parte de los axiomas de peano, buena idea.

maria sanchez - 20 de febrero de 2003 - 01:43

no vale no me sirvio nada

Carlos H. Cabrera Gen - 20 de junio de 2002 - 01:50

José Angel: El concepto de "sucesor" es primitivo.

Atte. Carlos

jose ángel madrid - 20 de mayo de 2002 - 13:26

Respecto a lo que dice Carlos H. Cabrera, sí es cierto que los axiomas de Peano no hacen más que definir un conjunto que tiene un primer elemento, y luego una serie de elementos consecutivos. Esto valdría para definir a N partiendo desde cualquier número inicial. Es decir, la axiomática de Peano describe la construcción de un conjunto de elmentos ordenados "uno tras otro". Incluso podría describir simplemente a un conjunto cualquiera siempre y cuando contenga infinitos elementos desiguales. Lo que tendríamos que hacer es definir quién es el sucesor de quién.
El cero sólo cobra sentido cuando se empieza a definir la suma.

laura isabel - 20 de julio de 2001 - 22:41

las matematicas se convierten en algo exacto y perfecto a la hora de reduccir un pequeño problema a la mas minima expresion me encantaria saber si a alguien que de su sincera ayuda a auqellas personas que en realidad no sabemos entender por razones humanas las matematicas

LAURA ISABEL - 20 de julio de 2001 - 22:02

ME GUSTARIA CONOCER A ALGUEN QUE ME AYUDE A COMPRENDER LAS MATEMATICAS NO SOY EXPERTA PERO ME GUSTARIA ENTENDERLAS AL LA PERFECCION.ES BUENO TENER EN CUENTA LA IMPORTANCIA DE LAS MATEMATICAS, YA QUE SE VUELVE ALGO RUTUNARIO Y ESNCIAL PARA LA VIDA HUMANA

Boris Nelson Flores Santos - 20 de junio de 2001 - 19:05

El último teorema, pero no el único

Los números amigos, un problema con 2000 años
Los pitagóricos ya habían observado una rara relación entre los números 220 y 284.

Los divisores de 220 son: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110

Los de 284 son: 1, 2, 4, 71 y 142.

En apariencia no tiene mucho parecido, salvo por este curioso hecho:

Si sumamos todos los divisores de 220:
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284,

si sumamos los de 284:
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

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