Blogia
Tio Petros

Biyección entre un minúsculo segmento y el universo.

En cierto modo, vamos a cerrar un ciclo.

Hemos visto y demostrado que el conjunto de los números racionales es numerable.
Hemos visto y demostrado que el conjunto de los números reales o de los puntos de la recta no lo es.
También hemos dicho que la potencia de R es tal que cualquier segmento, por pequeño que sea tiene tantos puntos como el universo entero. Pero no lo hemos demostrado.

Dado que algún lector me ha manifestado estar de acuerdo conmigo en que lo importante no es sólo el resultado, sino también el camino, y dado que la demostración de esta increíble afirmación está al alcance de cualquiera, paso a exponerla. Como siempre en estos casos, se debe a Cantor, y consta de dos pasos: demostraremos primero que existen tantos puntos en un segmento cualquiera como en toda la recta, y veremos luego que existen tantos en una recta como en un plano. La extrapolación del plano al espacio tridimensional, tetradimensional o n-dimensional es inmediata, como veréis, siempre que n sea finito.

El fabuloso método de correspondencia que veíamos en el post anterior no se puede aplicar tan sólo en los conjuntos finitos, sino que vale también a los infinitos, como sabéis si me habéis leído. Ocurren entonces cosas extrañas, como que un conjunto es comparable a una parte suya. La extrañeza que esto nos produce se debe a que en nuestra vida cotidiana manejamos objetos finitos, en los que la parte es inferior al todo, pero sirve de hecho para definir a los conjuntos infinitos como aquellos que son de la misma potencia que alguna de sus partes. No nos preocuparemos por ello.



En la primera foto podéis ver el método que usó Cantor para crear una biyección entre los puntos de un segmento AB cualquiera y toda una recta. Basta mirar el dibujo para convencerse sin necesidad de mayor explicación que podemos encontrar para cada punto x del segmento un f(x) de la recta, y viceversa, luego ambos tienen el mismo número de elementos: aleph_uno.



En la segundo foto veis la forma de biyectar el segmento [0,1] con el cuadrado de lado unidad. Dado que todo real entre cero y uno es de la forma 0,x1x2x3x4,... podemos “fabricar” dos reales, uno con los decimales en puesto par y otro con los decimales en puesto impar, que serían las coordenadas X e Y del punto f(x) del cuadrado que le corresponde a nuestro x original. Viceversa, cada un punto del cuadrado tiene dos coordenadas; intercalando los decimales de ambas podemos obtener un único número real que pertenezca al segmento.
Ambas operaciones son unívocas e inversibles, luego la biyección está demostrada.

Pasar del cuadrado unidad a todo el plano es tarea bien sencilla, e incluso a un espacio de cualquier número finito de dimensiones: en el espacio tridimensional tenemos tres coordenadas para cada punto: intercalaríamos los decimales de tres en tres: primero el de la coordenada X, luego el de la Y, luego el de la Z, y el siguiente sería el correspondiente de la X otra vez...
Podemos comprobar que dos simples gráficas nos explican por sí solas la veracidad de una proposición que en principio es absolutamente increíble. En algún momento afirmé que no me parece cierto que una imagen vale siempre más que mil palabras; pero si la imagen está bien elegida puede ciertamente en algunos casos valer más que cualquier explicación...
¿Y esta publicidad? Puedes eliminarla si quieres
¿Y esta publicidad? Puedes eliminarla si quieres

9 comentarios

Tadalafil -

Yo pienso que todo ciclo llega a su fin, asi es como hay que ver a las matematicas, como un ciclo que podemos terminar en cualquier momento.

BrujoBlancoDelBosque -

Existe alguna otra biyección conocida entre el segmento y el cuadrado?.
Si es así, por favor, ¿me la indica?.

Agradecido.
BBB.

Wiguls -

vale

Goyo -

Se puede superar esta objeción buscando por separado una inyección de la recta en el plano y otra al contrario. Esto también demostraría la igualdad de cardinales.

Inyectar la recta en el plano es trivial y para inyectar el plano en la recta sí sirve el método descrito de intercalar las cifras decimales de ambas coordenadas.

Seguro que el autor del blog puede encontrar otra solución más elegante o al menos explicar esto mismo de forma que se entienda mejor.

Jorje -

Has cometido una pequeña omisión, que destroza la biyección; lo explicaré con un ejemplo:

Sea el punto de la recta:

0.15

Al descomponerlo obtenemos:

0.1
0.5

Sea el punto:

0.05909090909090...

Al descomponerlo se obtiene:

0.099999... = 0.1
0.5

Partiendo de dos puntos distintos de la recta, se llega al mismo punto en el plano, con lo que se invalida la biyección.

No penséis que soy un fenómeno: ¡Es que ya conocía esta demostración!

(Y enhorabuena por el blog.)

jose -

Pues a mi no se me ocurre cómo se pasa del cuadrado de lado 1 a todo el plano :/

Crystal -

Mis ojos ya no pueden abrirse más del asombro....

Gracias, Tio Petros, por presentarnos a Cantor.

Rimblow -

Sigo diciendo ¡OLE! Cantor, me fascina como puede demostar de una forma tan "fácil" algo que parece tan difícil...

Clyde -

Quería dejarte un comentario de apoyo ya que, gracias a tu blog entiendo muchas cosas que estoy estudiando en las asignaturas de Álgebra y Cálculo de mi Universidad. Además, por mucho que grite Borjmari, las matemáticas quedarán pese a su silencio mientras que sus grititos histéricos se olvidarán algún día.
¿Y esta publicidad? Puedes eliminarla si quieres