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Tio Petros

Convergencia en topología

Hemos visto en el post anterior que sobre un mismo conjunto se pueden definir innumerables topologías diferentes, y que en función de qué topología estemos manejando, ocurrirán unas cosas u otras. Hemos visto que la noción aparentemente sencilla de interior de un conjunto varía completamente según la topología considerada.

Vimos que todos tenemos unas nociones topológicas previas, aunque no lo sepamos, y que éstas hacen referencia a la llamada topología usual ; aquella cuyos abiertos son bolas abiertas o uniones arbitrarias de ellas.

No quiero abandonar el tema sin mencionar un tema importante en el que la topología que definamos en también determinante: la convergencia de una sucesión.

Llamamos sucesión de elementos de un conjunto X a una aplicación del conjunto N de los números naturales en X, de forma que a cada natural i le corresponde el elemento ai.

En la figura siguiente tenemos una sucesión de puntos en espiral que "cae" hacia un punto p. Visualmente comprendemos que dicha sucesión converge al punto p: pero necesitamos una definición basada en conceptos topológicos.

Diremos que la sucesión (ai) converge a un punto p cuando todo entorno de p contiene a todos los elementos de la sucesión a partir de uno dado.




En la figura lo vemos claramente: tenemos dibujado un entorno Up del punto p, y vemos que a partir de A 6 , todos los puntos de la sucesión caen dentro de Up. Si hubiéramos tomado un entorno menor, simplemente tendríamos que haber esperado a un punto de índice más alto, pero la situación sería la misma.

Qué sucede en la topología extraña del post anterior?

Lo vemos en la figura siguiente:



También es convergente la sucesión, pero ahora resulta que tanto converge al punto p de antes como al punto q o al punto r , dibujados en rosa. Esto es así porque los entornos de los tres puntos son los mismos; no estamos en un espacio de Hausdorff , y por lo tanto existen puntos diferentes que no pueden ser separados por entornos diferentes. Parece absurdo admitir que una sucesión como la dada converge a un punto q o r , cuando ni siquiera se acerca a ellos, pero es que en dicha topología la noción de proximidad no es la que a nosotros nos parece normal...

En este espacio, la sucesión converge, pero lo hace a infinitos puntos, todos ellos con la misma componente x.

Aunque no lo demostraremos aquí, que un espacio sea de Hausdorff es tranquilizador: en todo espacio de Hausdorff , si una sucesión converge a un punto, dicho punto es único. En cierto modo un espacio de Hausdorff es un espacio de "buen comportamiento". Pero no siempre; vean el siguiente ejemplo de un espacio de Hausdorff:

Si consideramos la topología discreta , la más fina de las posibles; el espacio resultante es evidentemente de Hausdorff; pues todo subconjunto del plano es un abierto de la misma, y sin embargo resulta que la sucesión del ejemplo NO CONVERGE.

¿Cómo es esto?

Pues muy sencillo:

Repito la definición de sucesión convergente:


Diremos que la sucesión (ai) converge a un punto p cuando todo entorno de p contiene a todos los elementos de la sucesión a partir de uno dado.


Recordemos que un entorno de un punto es todo subconjunto que contiene un abierto que a su vez contiene al punto considerado.En la topología discreta , el propio punto es un abierto que se contiene a sí mismo, y ningún punto de la sucesión es exactamente el punto p, a pesar de que el acercamiento euclidiano al mismo es cada vez mayor, por lo que la sucesión en esta topología no converge.

No les parece todo esto impresionante?

Si la respuesta es NO, mantengan al menos la convicción de que la culpa es de quien esto les cuenta, no del tema en sí.
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11 comentarios

kari -

quiero saber mas acerca de lo espacios de hausdorff

Maria -

Hola a todos, podrian ofrecerm la demostracion d esto:
Sea (X, T ) un espacio 1AN y sea T' otra topologisa sobre X / T' contenida en T ¿ (X, T') 1AN?

josé querales -

yo me pregunto si toda sucesiòn converge a un punto entonces el espacio es de Hausdorff

mewt -

Pues claro que las sucesiones constantes son eventualmente constantes... una suc. es eventualmente constante cuando a partir de un determinado término se repiten todos. En las constantes se repiten todos ¡a partir del primero!
Y creeme, es mucho mejor usar definiciones que no te obliguen a estar separando casos por si se repiten o no los elementos...

Palimp -

UNa preguntita de profano ¿Las sucesiones constantes son también eventualmente constantes?
Esto me reafirma en lo que decía antes; sólo un matemático llamaría a 5,5,5,5,5... una sucesión!!

:P

mewt -

Palimp, hay una familia de sucesiones que son convergentes sea cual sea la topología, son las sucesiones constantes, de la forma p,p,p,p...
y sus primas hermanas las "eventualmente constantes", que son de la forma
p1,p2,p3,...,p_i,p,p,p,p,p...
(esto es, en un determinado momento se hacen constantes). La topología discreta se caracteriza porque las únicas sucesiones convergentes son las eventualmente constantes. La propiedad de Hausdorff, y el asunto de la convergencia están mucho más relacionados de lo que parece, y tenemos incluso algunas similitudes sorprendentes entre los espacios de Hausdorf y los "espacios métricos" (los de toda la vida, donde se puede hablar de distancia entre puntos) cuando sustituimos el concepto de "sucesión" por otra cosa un poco más general, que los topólogos denominan "red". Pero esto es otra historia, y debe ser contada en otra ocasión ;-)

TioPetros -

No, Palimp; no es obcecación tuya, sino mala redacción mía.
Corrijo la frase, porque al empezarla con "por ultimo..." parece que estoy hablando de otra cosa, cuando lo que quiero es precisamente poner un ejemplo de lo afirmado justo antes.

Palimp -

Ah, ya lo veo, problema mío (obcecación mental). Quieres decir que la topología discreta es un espacio de Hausdorff pero es rara porque no hay convergencia (es esta notación que tenéis los matemáticos; si la sucesión converge, lo hace en un sólo punto; si ninguna sucesión converge, se cumple la propiedad...)

Palimp -

No voy al día porque a tus posts hay que reservarles tiempo pero ME PARECE SORPRENDENTE.
Me hace gracia porque cuando estaba leyendo lo de la serie que converge en infinitos puntos pensaba ¡Ala, que curioso! Y luego lo preguntas...
Por cierto, dices vean el siguiente ejemplo de un espacio de Hausdorff: Y yo no veo nada ¿Problema mío o es que falta algo?

TioPetros -

No, Cluje. Esa historia me la reservo para dentro de poco. Prefería dejar ciertas basas topológicas establecidas para entrar en las definiciones tipo épsilon-delta, y ver las analogías.

Cluje -

Que yo diga que es impresionante no tiene mérito, me encanta. Una cosa que siempre me ha llamado la atención es lo que costó llegar al concepto de límite. Creo que la definición definitiva la establecío Weierstrass, pero fue realmente un parto. Has hablado de eso en algún post antiguo? Lo digo porque parece un tema interesante, y, pobre de mí, no he tenido tiempo aún de revisar todos tus archivos.
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