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Tio Petros

Grupos cíclicos (y 2)

Decíamos en el post anterior que un grupo cíclico era el que se generaba a partir de uno sólo de sus elementos, y escribíamos G=[a] para indicar que dicho elemento a de G era generador de todo el grupo.
Con el grupo de giros del selector de siete posiciones del post anterior quedaba claro: el giro de un paso g1 generaba todo G:

g12=g2
g13=g3
...
g17=g0.

Si seguimos operando, volvemos a encontrar g1,g2,..., y ahora se ve claramente el significado profundo del apelativo cíclico para este tipo grupos.

En suma: los productos de operar g1 consigo mismo son {g1,g2,g3,g4,g5,g6,g0}, que es el grupo entero.

SI lo intentamos con otro elemento, g2, por ejemplo, obtenemos:

{g2,g4,g6,g1,g3,g5,g0}, que vuelve a ser el grupo completo.

Podríamos hacer lo mismo con todos los elementos: cualquier elemento de G genera todo G, por lo tanto podemos escribir:

G=[g1]=[g2]=[g3]=[g4]=[g5]=[g6]=[g7].

Sin embargo esta situación no es la general: si el grupo original tuviera 8 elementos, el elemento g2 generaría al subgrupo H={g2,g4,g6,g0}, que es la mitad de todo el grupo original.

En el fondo la explicación es muy sencilla, y se ha apuntado en los comentarios del post anterior: a base de giros de orden par sólo podemos generar otros giros de orden par si es asimismo par el número de elementos del grupo original, y nunca generaremos uno impar. Lo mismo vale para los múltiplos de cualquier otro número diferente del dos.

El conjunto de todos los elementos generados por uno, sea o no sea el grupo total es siempre a su vez un grupo (subgrupo propio o impropio del original. Llamamos propio si es estrictamente menor que el de partido, e impropio si es él mismo. Pues bien: el Teorema de Lagrange recoge este aspecto en toda su generalidad.

Un enunciado light del mismo es:

Dado un grupo G de orden n, si H es un subgrupo de G entonces el orden de H, o(H) es divisor de n

Dado que el conjunto de elementos generado por un elemento es siempre un subgrupo, resulta que su número de elementos será siempre divisor del orden del grupo total o(G)=n.

Y sólo en el caso en que n sea primo (como en el ejemplo anterior, con n = 7), tendremos asegurado que cualquiera de los n elementos generará el grupo completo, porque al no tener ndivisores, el orden de los subgrupos será igual a n, salvo en el caso del elemento neutro g0, que tendrá orden 1, e incluirá al citado g0 él sólo.

Los grupos cíclicos tienen más propiedades que los hacen importantes: la primera es que son necesariamente abelianos (conmutativos), y la segunda es que el Teorema de Lagrange es inversible para ellos.

Lo primero quiere decir que gj*gk=gk*gj, para toda pareja de elementos de G, y lo segundo merece una explicación más tranquila:

El Teorema de Lagrange afirmaba que los subgrupos de un grupo G de orden n, de existir, tenían un orden m que era divisor de n.

Su inversión indica que dado m, para cada divisor n, existe un subgrupo con dicho número de elementos.

El teorema original lo cumplen todos los grupos, su inversión sólo algunos, los cíclicos entre ellos.

Ahora estamos en condiciones de demostrar un terorema interesante y muy sencillo, que afirma que Si el orden de un grupo es primo, entonces dicho grupo es cíclico

Lo demostramos:

Sea o(G)=p, con p primo.

Sea a un elemento de G, diferente del elemento neutro. H=[a] es un subgrupo generado por a, y su orden, por el teorema de Lagrange será divisor de p. Dado que p es primo y no puede ser o(H)=1 pues a no es el neutro, entonces necesariamente o(H)=p, con lo que H=G, y G=[a].

Con esto terminamos nuestra incursión en los grupos cíclicos. La teoría de grupos es una rama del álgebra muy abstracta. Normalmente un libro sobre este tópico es un tocho de cientos de páginas sin ilustración alguna. No obstante, y dada la belleza del asunto es evidente una vez más que la belleza de la matemática no está en las ilustraciones...

Salvo los preliminares de la teoría, el resto en profundidad es para verdaderos especialistas. Felices ellos que están en disposición de saborear tales frutos.

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HACE UN AÑO hablábamos de la matemática de la música. En una serie de tres post explicábamos los motivos por los que las notas musicales son siete (do,re,mi,fa,sol,la y si), doce si tenemos en cuenta sus correspondientes alteraciones; y no treinta o dieciocho.
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15 comentarios

CARLOS -

TIO PETROS YA RESOLVER LA CONGETURA DE GOLDBACH???
SALUDOS MUY BUEN BLOOG

ALEXANDRA -

hola me gustaria saber cuantos grupos existen de orden 18?

SUSANA -

Hola Tìo Petros, me gustarìa que asì como hablas de grupos ciclìcos, tambièn hablaras màs a fondo de grupos diclìcicos

martin -

¿Y los morfismos?

johann -

no ponen las propiedades
pongalas

Carl Philip -

Yo te llevaré la contraria, y no porque lo sugieras. Tus divulgaciones son excelentes. Martin Gardner, por decir alguien, tiene mucho publicado divulgando de pena. Tú lo haces infinitamente mejor. Que se pueda superar lo que haces, es sólo cosa de que te lo propongas. De no creer eso, no me hubiese ofrecido explícitamente a ser uno de los que la pongan en formato intercambiable.

Resumo: acepto tu deseo de no publicar, lamento la ceguera de las editoriales, y rechazo, con el mayor de los respetos, tu falta de estima por el valor de lo que haces. Quiera Bach que eso no suponga un motivo de disputa entre nosotros.

TioPetros -

Nico: John Allen Paulos es uno de los grandes!!! Me temo que no ha lugar a la comparación entre sus excelsos libro y este humildae blog. De todas formas, gracias por el cariño manifestado en tus palabras.
Carl: tu visión pesimista del asunto es exactamente la mía, pero además creo que mis "divulgaciones" tampoco dan de sí mucho más de lo que supone este blog...
Podría parecer que digo esto para que alguien me lleve la contraria, pero de verdad, no es el caso.
Con el contacto con mis lectores y los comentarios en el blog me siento suficientemente pagado, si es que hubiera algo que pagar, que lo dudo.

Carl Philip -

Yo compraría gustoso el libro, quizá más de un ejemplar —hay a quién regalarselo le haría bien—, y lo mantendría en la estantería de los más amados. Con todo, algo sé del mundo editorial y me temo que los beneficios serían escasos.

Lo ideal, en mi opinión, sería que una editorial asumiera el trabajo de selección, grafismo y maquetación —no Tio Petros, que le necesitamos aquí— y publicará. En su defecto, que algunos de sus admiradores — yo sería uno de ellos—, hiciésemos tal labor, generásemos PDFs y se los entregásemos a nuestro querido autor, que, si fuera gustoso, podría ponerlos en Internet a libre disposición.

El caso más justo sería que una editorial importante pagase con largueza por la idea y publicase un libro. Lamentablemente lo veo poco viable. Más lástima de como va el mundo.

Nico -

Hola Tío Petros. Si escribes un libro en papel, te garantizo que aquí tienes un comprador y proselitista. En cuanto a lo de la editorial, pues... ¿Por qué no contactas con la editorial Nivola? Publican muchos divulgativos sobre matemáticas, con distintos niveles. También Tusquets, en su colección Metatemas tiene publicado algún libro divulgativo de mates, como los de John Allen Paulos (para el que no lo haya leído, recomiendo vívamente "El hombre anumérico"). Algunos de los artículos de su "Más allá de los números", o de "Un matemático lee el periódico", me recuerdan a tu página en la sencillez de la exposición y en el tono desenfadado. Ánimo y suerte.

TioPetros -

Y por cierto: este blog no es infinito numerable: es finito y tiene que yo sepa 220 artículos a fecha de hoy. Metiendo un espacio en blanco en la ventada de búsqueda aparece el listado completo. ;-)

TioPetros -

Publicar un libro en papel?
Una vez me lo comento alguien, pero en fin...uno tiende a pensar que nadie lo iba a comprar.
No sé. De todas formas, el buscador de esta propia página proporcionado por blogia me parece bastante bueno. No obstante, si alguien sabe cómo hacer para publicar en papel, conseguir una editorial que quiera meterse en el ajo, etc,etc...

samu -

[OffTopic]

Tio Petros, vista la inmensa cantidad de material de esta web (que parece ser infinita numerable por lo menos). ¿Nunca has pensado en publicar un libro en papel? quizas haciendo una seleccion, quizas recogiendo tb algunos comentarios...
Es que leerlo en la pantalla es un poco engorroso.

En fin, o sino un buscador por que estaba buscando algo sobre geometrias no-euclideas y no encontre nada.

TioPetros -

Bueee, sí y no; Jorge.
Si el grupo cíclico es finito, entonces estamos en un grupo que es isomorfo al de restos módulo m.
Lo que sucede es que un grupo cíclico, con la nomenclatura al uso, puede ser infinito, isomorfo a (Z,+).

Jorge -

No soy un entendido pero, esto de los grupos cíclicos, ¿no es aritmética modular?

juan -

nooooo, no dejemos la teoria de grupos... aun nos quedan teoremas muy interesantes (vease el de cauchy, u otros)
bueno, habra que conformarse... aunque si dejamos los grupos ciclicos... de que nos hablara ahora tio petros? mmm, estoy impaciente...
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